La idea de ecuación surge en el momento en el que el hombre necesita encontrar las condiciones en las que un problema puede resolverse. Comienza cuando lo que quiere no es conocer el resultado de una operación, sino cuando se cuestiona cuáles deben ser los datos iniciales para que dicho resultado sea válido. La forma de su planteamiento no es trivial; de hecho, las primeras ecuaciones que nos encontramos a lo largo de la historia se deben a los egipcios.
En el papiro de Amhes, que data aproximadamente de año 1650 a. C., además de una mayoría de problemas de naturaleza aritmética, descubrimos otros equivalentes a lo hoy conocemos como de resolución de ecuaciones. Concretamente, y por hacer mención a alguno de los que contiene, el 24 pide el cálculo del valor de un cierto aha o montón sabiendo que dicho aha más un séptimo del aha es 19. Es fácil observar que el aha es lo que nosotros denominamos actualmente con la letra x, nuestra incógnita en una ecuación. Son problemas en los que se resuelven ecuaciones lineales en la forma a+ax=b donde a y b son números conocidos. La forma de resolución era por aproximación, daban un primer valor a la incógnita y por proporciones iban acercándose a la solución.
Las ecuaciones en Mesopotamia
Algunos siglos más tarde los babilonios no se centraron en las ecuaciones lineales de los egipcios pues probablemente las consideraron demasiado elementales. Resultaban mucho más interesantes para ellos la resolución de las ecuaciones en las que la incógnita aparecía elevada a una segunda potencia. Evidentemente los babilonios nunca resolvieron algebraicamente este tipo de ecuaciones, ésta se reserva al renacimiento, además solamente encontramos ejemplos de ellas en algunas Tablillas que han llegado hasta nuestros días. Por ejemplo en la Tablilla BM 13901 se puede leer:
«He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces el área, obteniendo 6; 15.» Donde 6; 15 está escrito en sistema sexagesimal, y podemos traducirlo por 6\frac{15}{60}, o bien 6\frac{1}{4}, o bien también \frac{25}{4}.
A continuación se muestra la forma de llegar a la solución:
a) Multiplicar 11 por \frac{25}{4}, obteniendo \frac{275}{4}.
b) Dividir 7 entre 2, que es \frac{7}{2}.
c) Elevar \frac{7}{2} al cuadrado, llegando a \frac{49}{4}.
d) Sumar lo anterior a \frac{275}{4} oteniendo \frac{324}{4}, que es exactamente 9.
e) Tomar su raíz cuadrada, \sqrt{9}, que es 3.
f) Restar \frac{7}{2}, dando \frac{11}{2}.
g) Dividir lo anterior entre 11, llegando a \frac{1}{2}
Es decir, la longitud del lado del cuadrado es \frac{1}{2} (en notación sexagesimal 0,30).
Puede el lector partir de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0, seguir los pasos anteriores. Llegará a la fórmula que la resuelve:
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Sin embargo, aunque entendemos que sabían resolver ecuaciones de segundo grado porque los ejemplos encontrados en las Tablillas no eran precisamente elementales, no encontramos justificación alguna de que tales procedimientos fueran correctos.
Pero además de las de segundo grado, los babilonios también resolvieron ecuaciones cúbicas, entre ellas algunas muy elementales como x^3=a, y otras no tanto, x^3+x^2=a. Además reconocieron a las bicuadradas, ax^4+bx^2=c, o también a las del tipo ax^8+bx^4=c, como de segundo grado. Tenemos razones obvias para pensar que el álgebra en Mesopotamia alcanzó un mayor nivel que la egipcia.
Las ecuaciones en Grecia
La matemática griega actuó de forma distinta a la babilónica en la resolución de ecuaciones. Para los griegos la resolución de problemas en los que aparecía una ecuación no pasaba por algoritmos numéricos, sino por la geometría. Aparece así lo que podíamos denominar el álgebra geométrica, que aparece incluida de forma bastante completa en los \emph{Elementos de Euclides}, y en un complemento de él, los Datos.
En ocasiones puede parecer artificiosa porque los griegos no sumaban las áreas a los volúmenes o a las longitudes ya que entendían que eran en esencia elementos distintos. Notemos que una forma equivalente de planteamiento de ecuaciones del tipo $x^2+c=bx$, que ya utilizaron los babilonios, era la de los sistemas x+y=b y x\cdot y=c. Los pitagóricos consideraban este problema eminentemente geométrico, pues no era más que calcular cómo debía dividirse un segmento de longitud b sabiendo que el rectángulo que se formara con la división tenía que tener área c.
Las ecuaciones cúbicas tampoco fueron un impedimento en la geometría griega. Utilizando las cónicas fueron capaces de resolver tales ecuaciones, sin embargo el interés que demostraron por ellas decreció después de Arquímedes.
Aunque el título del padre del álgebra moderna debería ser del matemático de origen árabe Al-Jwarizmi, del que hablaremos en líneas posteriores, lo cierto es que el honor se lo lleva Diofanto. La razón es que en su Arithmetica utiliza sistemáticamente ciertas abreviaturas para potencias, operaciones, e incluso para representar los números desconocidos o las incógnitas; aunque si bien es cierto en su obra se limita a la resolución de problemas, con gran artificio e ingenio en muchos de ellos, pero sin dar un procedimiento o método general.
A este respecto el álgebra geométrica de Euclides está más cerca de lo que nosotros conocemos como álgebra que lo puede estar la de Diofanto. Además, en muchos de los problemas se limitaba a dar una única solución aunque a nuestro modo de ver el problema pudiera tener más de una. Podemos pensar que Diofanto no estaba resolviendo ecuaciones en su obra, sino resolviendo problemas para los que planteaba una ecuación. Ésta podía tener más soluciones como ecuación, pero no más soluciones para el problema.
Las ecuaciones en China y Persia
En los Nueve Capítulos, del escriba Liu Hui en la China de los siglos II y I a. C., encontramos la resolución de ecuaciones lineales, de forma similar a como lo hacían los egipcios; e incluso la resolución aproximada de ecuaciones de grados mayores utilizando un procedimiento similar a lo que después se ha llamado el método de Horner. De hecho, en siglos posteriores, se han encontrado más textos de otros matemáticos chinos en los que quedaba claro que conocían este método.
Posteriormente, en los siglos VIII y IX un matemático de origen persa, Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, publicó el Al-jabr wa’l Muqalabah, donde desarrollaba la idea de trasponer términos de una parte a otra de una ecuación, además de la posibilidad de cancelar términos iguales situados en cada uno de los miembros; conceptos básicos y muy utilizados en el Álgebra moderna de hoy día. Además en dicha obra Al-Jwarizmi da una exposición completa de la resolución de las ecuaciones cuadráticas, aunque omitiendo las soluciones que fueran negativas o cero. Es curioso además que tales exposiciones no fueran consideradas por él como demostraciones pues en el mismo Al-jabr expone la necesidad de realizar las mismas utilizando la geometría, algo similar a como ya pensaban los griegos.
Las ecuaciones en el Renacimiento
Nos tenemos que trasladar unos cuantos siglos después, hasta el año 1545, en el que Girolamo Cardano (1501-1576) publica su Ars Magna. En dicha obra desarrolla no solo la solución de las ecuaciones cúbicas, sino también las cuárticas. No vamos a entrar en las discusiones históricas sobre el porqué fue Cardano el que lo hizo, solamente diremos que en realidad el descubridor original de las de grado 3 fue Niccolo Tartaglia (1501-1557). Aunque ni siquiera está claro si fue este matemático el que desarrolló todas las fórmulas de las ecuaciones cúbicas. Téngase en cuenta que una ecuación de grado 3 no era, en el siglo XVI, la misma que la que consideramos ahora. En aquel momento, sin considerar a los números negativos, tenían varias ecuaciones cúbicas distintas, y los procedimientos para su resolución diferían de una a otra. Diremos también que las de grado 4 se deben a Ludovico Ferrari (1522-1565), antiguo secretario de Cardano.
Cardano desarrolló en su Ars Magna que cualquier cúbica podía resolverse con operaciones aritméticas, raíces cuadradas y raíces cúbicas; y que cualquier cuártica seguía el mismo proceso, operaciones aritméticas, raíces cuadradas, raíces cúbicas y ahora raíces cuartas; así que, ¿por qué no pensar que las ecuaciones quínticas eran también resolubles de la misma forma?
Las ecuaciones en el siglo XIX
Este problema estuvo abierto durante muchísimo tiempo. Matemáticos importantes de siglos posteriores, como por ejemplo Lagrange, intentaron encontrar las fórmulas correspondientes pero fallaron en el intento. Hasta 1799 en la que un matemático italiano, Paolo Fuffini (1765-1822), publicó su Teoría general de ecuaciones, en la que »demostraba» que la solución algebraica de una ecuación de grado 5 no era posible. Sin embargo la prueba era sumamente extensa y aunque la envió a matemáticos importantes contemporáneos, se pensó que podría tener errores y fue obviada completamente.
No fue hasta 1823 en primer lugar, en el que un matemático noruego, Niels Henrik Abel (1802-1829) encontró una demostración de la imposibilidad de resolver algebraicamente la ecuación de grado 5; y hasta 1832 en segundo lugar con el trabajo de Evariste Galois (1811-1832) cuando dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación algebraica tuviera solución en radicales. Curiosamente este trabajo se perdió y fue publicado en 1946, y a título póstumo, por el conocido matemático francés Joseph Liouville (1809-1882).
Teorema de Galois
Sea p(x) un polinomio con coeficientes del cuerpo \mathbb{Q}, irreducible sobre \mathbb{Q}, entonces:
a) Si por lo menos una raíz de la ecuación p(x)=0 se expresa en radicales con los coeficientes de dicha ecuación, entonces el grupo de Galois de dicha ecuación es soluble sobre \mathbb{Q}.
b) Si el grupo de Galois de dicha ecuación p(x)=0 sobre el cuerpo \mathbb{Q} es soluble, con la particularidad de que la característica del cuerpo es igual a cero, o bien mayor que todos los órdenes de todos los factores de composición de dicho grupo, entonces todas las raíces de la ecuación se representan en radicales mediante sus coeficientes.
El teorema de Abel-Ruffini resultaba ser un corolario de éste último. Se cerraba de esta forma el problema de encontrar soluciones en radicales de una ecuación algebraica; independientemente de que, aplicando el Teorema fundamental del Álgebra, sepamos que existen tantas raíces reales o complejas como grado tenga la ecuación.
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Tema 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.
