Una ecuación diofántica puede ser considerada como una ecuación algebraica cuya solución se busca dentro del anillo de los números enteros o en su defecto dentro del cuerpo de los racionales. En esencia se suele también extender la definición a un conjunto de ecuaciones, o mejor dicho a un sistema de ecuaciones algebraicas, donde como podría esperarse el número de incógnitas supera al de ecuaciones, y también se suele extender el conjunto de soluciones pertenecientes a extensiones algebraicas de los racionales, números p-ádicos, etc.
Babilonia
Ya desde la antigüedad nos encontramos con el problema de resolver ecuaciones algebraicas dentro de los números enteros. De hecho en la antigua Babilonia, en la Tabilla Plimpton 322 podemos encontrarnos las primeras ternas pitagóricas de la historia.
Grecia y Diofanto de Alejandría
No obstante el mayor resurgimiento lo encontramos en la Grecia Antigua. Diofanto, matemático griego del siglo III, escribe en su obra Arithmetica la resolución de ecuaciones de segundo y tercer grado principalmente. Supone un cambio en cuanto a los métodos tradicionales griegos, de mayor tratamiento de los problemas y soluciones geométricas en detrimento de otros métodos menos visuales. En su Arithmetica, Diofanto da una resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas, algo en lo que se desmarca de las soluciones babilónicas, mucho más aproximadas. Dentro de ellas, las indeterminadas son las que tienen una mayor importancia. No obstante, no encontramos en esta obra una sistematización de los procedimientos de resolución de ecuaciones algebraicas, sino que contiene una colección de problemas, resueltos en términos numéricos determinados y precisos. Se desconoce si Diofanto pretendía con ello introducir procedimientos y métodos más generales.
Por poner un ejemplo, en uno de los problemas Diofanto calcula dos números tales que al sumar cualquiera de ellos con el cuadrado del otro se obtiene un cuadrado perfecto. En nuestra notación, se trata de buscar m,n tales que n^2+m=p^2 y m^2+n=q^2, siendo p,q dos enteros positivos. Es claro que este problema solamente tiene soluciones dentro del conjunto de los racionales.
En otro introduce la ecuación del tipo x^2=1+dy^2 con d entero (denominada erróneamente ecuación de Pell), aunque en todos los casos se limita a dar una solución, no en desarrollar todas las que puedan cumplir la ecuación. A este respecto Diofanto se limitó en su obra a resolver problemas, no ecuaciones.
Brahmagupta y Bhaskara
El primero en dar una solución general a la ecuación diofántica lineal, ax+by=c, con a y b primos entre sí, fue el matemático hindú Brahmagupta, quien también estudió la ya mencionada ecuación cuadrática x^2-dy^2=1. Sobre ella, el también matemático hindú Bhaskara (1114-1185) la resolvió en algunos casos particulares; no obstante no fue hasta el siglo XVIII, cuando Lagrange dio la solución completa para todos los casos.
Hilbert y sus 23 problemas
Cuando los matemáticos hablamos de ecuaciones diofánticas, de forma implícita reconocemos cierta dificultad en el proceso de resolverlas. Ya las más elementales no siempre tienen solución y aquellas que la tienen no suele ser trivial. Concretamente en uno de los 23 problemas que enunció Hilbert en la conferencia de 1900, el décimo para ser exactos, planteaba la posibilidad de idear un procedimiento que dilucidara si una ecuación algebraica con coeficientes enteros, es decir, una ecuación diofántica, tenía solución en \mathbb{Z} o en \mathbb{Q}.
Tuvieron que transcurrir setenta años para que un matemático ruso, Yuri Matiyasévich, demostrara que no existe ningún algoritmo que sea capaz de determinar si una ecuación diofántica la tiene. De hecho se puede escribir explícitamente una ecuación P(x,y_1,y_2,\ldots,y_n)=0 con coeficientes enteros en la que no se puede determinar si tiene soluciones.
Al margen de lo descubierto en el siglo XX y de lo desarrollado por babilonios, griegos, árabes e hindúes, la teoría general de la solución de las ecuaciones lineales con dos incógnitas fue desarrollada en el siglo XVII por el matemático francés Claude Gaspard Bachet (1612-1635). Posteriormente, matemáticos como Pierre de Fermat (1601-1665), William Brouncker (1620-1684), John Wallis (1616-1713) y otros del XVIII y comienzos del XIX como Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813) y Gauss (1777-1885) investigaron la ecuación diofántica del tipo:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
donde a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z}.
En los estudios de las ecuaciones diofánticas de grado superior a 2 con dos incógnitas, A. Thue (1863-1922), demostró que si n\geq 3 y a_0,a_1,\ldots,a_n,b\in\mathbb{Z}, la ecuación
a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\ldots +a_ny^n=b
no tiene solución o su número es finito, siempre que el polinomio P(t)=a_0t^n+a_1t^{n-1}+\ldots+a_{n-1}t+a_n sea irreducible en \mathbb{Q}..
Último Teorema de Fermat
Cuando aumentamos el número de incógnitas no podemos por menos que mencionar uno de los problemas más importantes que ha conocido la historia de los Matemáticas: el Teorema o Conjetura de Fermat. Al parecer este ilustre matemático del siglo XVIII dejó una nota en el margen de uno de los libros de la edición de Bachet de la Arithmetica de Diofanto anunciando una demostración de que la ecuación
x^n+y^n=z^n
no tenía soluciones para n\geq 3 dentro de los números enteros. La prueba no se encontró y el problema estuvo abierto durante más de tres siglos. No fue hasta finales del XX cuando un matemático británico, Andrew Wiles, demostró la tesis de Fermat. En realidad probó que toda curva elíptica podía parametrizarse por medio de funciones modulares, o dicho con otras palabras, demostró que toda curva elíptica era modular. Tristemente después de tanto tiempo, la demostración del Último teorema de Fermat no tuvo el romanticismo de ser la idea brillante de un matemático, sino más bien la conjunción de una serie de resultados concebidos y demostrados a lo largo de la segunda mitad del siglo XX.
Antes de comenzar con el estudio de los tipos de ecuaciones diofánticas diremos que en todo el tema trabajaremos con ecuaciones algebraicas con coeficientes en los números enteros, y cuyas soluciones las buscaremos también dentro de los enteros. Además, el lector podrá comprobar que todos los métodos conocidos para determinar la existencia de solución solo pueden aplicarse a un tipo concreto de ecuación, no existe generalización.
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