progresiones geométricas

Una sucesión de números reales es una aplicación de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ tal que denotamos como $a_1$ a la imagen del 1, como $a_2$ a la imagen del 2, y en general $a_n$ a la imagen de $n$ .

De forma natural también diremos que $a_1$ es el primer término de la sucesión, $a_2$ el segundo término y generalizando también $a_n$ es el enésimo término. Lo simbolizamos escribiendo: $\{a_n\}_{n=1}^\infty$

Es habitual definir una sucesión $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ de una de las dos formas siguientes:

De forma recurrente:

Es una regla que permite calcular cada término a partir de los anteriores. Por ejemplo $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ , con $a_1=1$ y $a_2=1$ (sucesión de Fibonacci); o también $a_n=\sqrt{a_n+1}$ , con $a_1=1$ .

De forma explícita:

Es una fórmula que permite hallar directamente cada término $a_n$ , a partir del lugar que ocupa, es decir, a partir de $n$ . En estos casos diremos que la sucesión está definida a partir de su término general. Por ejemplo: $a_n=n$ , que es la sucesión de los Naturales; o $a_n=n^2+2n+2$ , o incluso $a_n=\frac{1}{n-1}$ , aunque no se encuentre definida para $n=1$ .

Sin embargo, aunque las dos formas anteriores son las más habituales para definir una sucesión, lo cierto es que ésta puede venir dada por una regla que no parta de ninguna fórmula, ni tampoco de una forma recurrente. Por poner un ejemplo sencillo, podríamos considerar la sucesión que asigna a cada $n$ el enésimo decimal de la sucesión de decimales de $\pi$ . Es claro que de esta sucesión no conocemos más que un número finito de elementos, pero eso no quiere decir que tal sucesión no se encuentre bien definida, aunque no dependa de una fórmula concreta.

El desarrollo del tema al completo puedes encontrarlo en amazon, en formato kindle o en formato papel como prefieras. También aquí puedes encontrar la relación de los temas que he publicado hasta ahora; y en el siguiente enlace puedes descargarte las primeras páginas:

Tema 8. Sucesiones. Término general y forma recurrente. Progresiones aritméticas y geométricas. Aplicaciones.