Hola buenas. En esta entrada voy a resolver los problemas de la prueba práctica de la Oposición de Matemáticas de Secundaria en Castilla la Mancha, en el año 2018 y más concretamente en Toledo. Podéis descargar la prueba aquí.
Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes.
Bueno, retomemos este práctico. En esta ocasión fueron tres problemas. Es cierto que no tan complicados, por lo menos a mi modo de ver, como los vistos en otras convocatorias; sin embargo es también cierto que había que conocer algunos conceptos básicos de Probabilidad y Estadística o también algunas ideas sobre Teoría de Números.
Antes de ver los vídeos, mi consejo es que intentéis hacer los ejercicios. Sé que en muchos casos apenas se encuentra tiempo; pero es que la única forma de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas. Esto puede parecer de Perogrullo, pero de Perogrullo o no, os puedo asegurar que no existe otra manera.
Todos los métodos que podáis aprender, todos los procedimientos que podáis leer o estudiar en libros que “teóricamente” os enseñen a resolver problemas pasan por afirmar que la única forma de conseguirlo es resolviéndolos.
Por otra parte, a mí me gustaría añadir un pequeño consejo cuando os plantéis delante de uno; bien sea en la misma oposición o en casa, estudiando: leed el problema tranquilamente, entendedlo, analizadlo; y cuando estéis seguros de que lo comprendéis al dedillo, entonces plantearos formas de resolución de principio al fin, examinando el tiempo que podáis dedicar a cada forma y si con ella podréis acabar de resolverlo completamente. Dedicad a esta tarea varios minutos, hasta quince incluso; porque os aseguro que aunque penséis que es tiempo perdido, no lo será; sino que os permitirá cribar convenientemente las distintas posibilidades que tengáis para resolverlo, y hacerlo en mucho menor tiempo del que hubierais tardado en otro caso.
Problema 1: Teoría de Números
El primero de los ejercicios, uno relacionado con la teoría de números, con múltiplos y divisores, o con la teoría de grupos y anillos módulo un número entero, no era excesivamente complicado. Había que estudiar caso por caso, pero incluso así, el número de casos con que nos encontrábamos no suponía que el problema se alargase en demasía en el tiempo. Si se trataba con orden y lógica se podía resolver en no más de treinta minutos, lo que aparentemente permitía continuar con buenas perspectivas con el resto de ejercicios.
El problema decía así:
Demuestra que todos los términos de la sucesión \{a_n\}_n> 2 son múltiplos de 600, siendo:
\pmb{a_n=(n^2-1)(n^2+1)(n^4-16)n^2}
La forma de resolverlo pasaba por descomponer en factores primos el numero 600, y después comprobar que cualquiera de los términos de la sucesión contenía en su descomposición al menos los mismos factores elevados también al exponente en el que se encuentran en 600. Como dije antes no es difícil, y si se hace ordenadamente tampoco demasiado largo.
Otra posibilidad de resolución podría ser por inducción sobre n\in \mathbb{N}; aunque reconozco que este método no he llegado siquiera a intentarlo. Puedes intentarlo tú a ver que sale; mi percepción ante el problema y el procedimiento me dice que puede ser algo más difícil.
Problema 2: Geometría del Triángulo
Este segundo problema es el más elegante de los tres, el mas divertido, el más entretenido, y como podéis adivinar el que más me ha gustado.
Se trata de un problema eminentemente geométrico; concretamente se trata de demostrar que una recta, o un segmento que divide a un triángulo en dos polígonos de la misma área y el mismo perímetro debe pasar por el incentro del triángulo. Aunque lo redactaré después exactamente como se expuso en el examen, en las líneas anteriores ya ha quedado perfectamente descrito.
Es un problema elegante porque con imaginación y fantasía; y con conceptos sencillos como que el área de un triángulo es la base por la altura partido por dos, o que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo; podemos llegar fácilmente a su demostración.
El problema dice:
Demostrar que una recta d, que divide a un triángulo \pmb{ABC} en dos polígonos del mismo perímetro y de la misma área debe pasar por el centro de la circunferencia inscrita al triángulo \pmb{ABC}.
En el vídeo podéis ver su resolución, sin embargo yo recomiendo que intentéis resolverlo por vosotros mismos. Hacedlo, utilizando los conceptos básicos necesarios que describí antes, y a ver qué os sale.
Problema 3: Probabilidad y Estadística
El tercer problema es de Probabilidad y Estadística. Es el más feo de los tres. Un ejercicio puramente de integrales de funciones de densidad, de funciones de distribución y del cálculo de las medidas de una distribución continua: media, varianza, moda y mediana.
Si conocemos las fórmulas elementales de las distribuciones continuas entonces no deberíamos tener muchos problemas en su resolución.
El problema dice así:
Una variable aleatoria {\chi} tiene una función de densidad dada por:
![\[\pmb{f(x)=\left\{ \begin{array} {cc} 0 & \text{si } x\leq 0 \\ kxe^{-x^2} & \text{si } x>0 \end{array}}\]](https://i0.wp.com/jorgemorra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ed5669fd4a1b490d605ae9392c200a4_l3.png?resize=211%2C43&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
a) Hallar el valor de {k} para que. en efecto, sea una función de densidad de probabilidad.
b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria \pmb{\chi} y calcular {P(-1\leq \chi \leq 1)}.
c) Hallar el valor de la moda y de la mediana.
d) Hallar el valor esperado de {\chi} y su varianza.
Con estos vídeos se resuelven los tres problemas de la Oposición de Matemáticas de Secundaria en Castilla la Mancha, más concretamente en Toledo en junio de 2018.
Espero que se hayan entendido bien, y que os ayuden en vuestra empresa de conseguir aprobar.
Por último, en los siguientes enlaces tenéis las entradas a mi blog de otras pruebas prácticas que también las he resuelto:
Castilla la Mancha (Albacete 2015)
Comunidad Valenciana (Alicante 2009)
Un saludo.
Jorge.