En esta entrada encontrarás resueltos los problemas del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad Foral de Navarra de 2018.
Son un total de cuatro problemas ninguno de ellos difícil. Cuando los leí en un primer momento, me pareció que dos eran asequibles y con los otros dos podía encontrar al menos una forma de enfrentarme a ellos. De todas formas no es lo mismo intentar resolverlos en casita con un café, aire acondicionado y todo el tiempo del mundo que en una oposición con 40 grados y treinta minutos por problema.
Problema 1
El primero es de espacios vectoriales, concretamente de la suma de dos subespacios y de su intersección. No tuve la sensación de dificultad al leerlo. Aparentemente se trataba de trabajar con rangos de matrices, con sistemas de ecuaciones lineales y de encontrar bases de subespacios. Una complicación algo mayor que la que podemos encontrarnos en la EBAU, pero nada fuera de lo normal.
Si quieres profundizar en el tema de espacios vectoriales puedes hacerlo en el enlace:
Dados los siguientes subespacios vectoriales S_1 y S_1 de \mathbb{R}^4:
S_1=<(1,1,-2,1),(0,1,-1,2),(2,-1,-1,-4)> S_2=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:3x+az=0;\;\;x-2y-2t=0\}Hallar a para que S_1+S_2 sea distinto de \mathbb{R}^4. En este caso, obtener la dimensión y una base de S_1\cap S_2.
Problema 2
En el problema 2 se trataba de resolver una ecuación de grado 4. Lo primero que pensé era que el problema me iba a resultar difícil porque no recordaba las fórmulas de Ferrari para resolver una ecuación de este tipo. Lo bueno es que enseguida descubrí que no eran necesarias. El paso previo era efectuar un cambio de variable que simplificara la ecuación eliminando el término de grado 3, y al hacerlo la ecuación que resulta es simplemente una bicuadrática.
Puedes leer algo sobre el tema de ecuaciones algebraicas en el enlace:
Tema 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.
Dada la ecuación x^4+4x^3-2x^2-12x+k=0, con k\in\mathbb{R}. Se pide:
a) Discutir las soluciones de la ecuación en función de los valores del parámetro k.
b) Resolver la ecuación si k=-27.
Problema 3
El tercer problema es de envolventes. La característica principal de esta curva es que tiene buenas propiedades de tangencia con cada línea de la familia de la cual es la envolvente. Esta idea se concreta en un sistema de ecuaciones.
Demostrar que la astroide de ecuación x^{2/3}+y^{2/3}=L^{2/3} es la envolvente de la familia de segmentos móviles de longitud constante L, cuyos extremos se apoyan en los ejes de coordenadas.
Problema 4
El cuarto y último problema es de estadística. Nos dicen que la llegada del número de piezas por minuto a una máquina sigue una distribución de Poisson y nos formulan una pregunta sobre probabilidad condicionada. Además nos dan otra variable que indica el tiempo que transcurre entre la llegada de dos piezas pidiéndonos en este caso la función de distribución. Ninguna de las cuestiones era difícil, aunque en mi opinión la primera no estaba bien planteada.
El número de piezas por minuto que llegan a una máquina en una industria automovilística es una variable aleatoria X que sigue una distribución de Poisson de parámetro \lambda. Y el tiempo, en minutos, que transcurre entre las llegadas de un par de piezas, es una variable aleatoria T cuya función de densidad es:
f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}
\lambda^2te^{-\lambda t}&\text{si}&t\geq 0\\
0&\text{si}&t<0
\end{array}
\right.Suponiendo que \lambda=3 en ambas variables aleatorias. Se pide:
a) Si en un período de 120 segundos ya han llegado al menos 3 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que en ese período lleguen como mucho 2 piezas más?
b) Obtener la función de distribución de probabilidad acumulada de T, y utilizarla para calcular la probabilidad de que transcurran menos de 90 segundos entre las llegadas de un par de piezas.