Tema 7. Aproximación de números. Errores. Notación científica.

El error, cuando se trabaja con Matemática Aplicada, es algo que los matemáticos e ingenieros asumen habitualmente. Se desconocen las infinitas cifras decimales de números tan importantes como \pi o e, lo que implica que siempre que realicemos cálculos con dichos números necesitamos utilizar aproximaciones suyas. Se deduce de ello que, aunque sepamos a priori que los resultados obtenidos no serán exactos, necesitamos cuantificar de algún modo el error cometido con la aproximación tomada. Por otra parte, los errores que pueden cometerse, además de los previamente admitidos, pueden provenir de las mediciones de las magnitudes de los objetos, que estarán relacionados con los utensilios de medida o con el equipo (humano) que realiza la medida. Sabemos además que en idénticas condiciones y siguiendo el mismo procedimiento no se obtienen las mismas medidas en momentos distintos.

Estos problemas se resuelven en parte con la introducción de los conocidos métodos numéricos. Éstos pueden considerarse procedimientos matemáticos, cuyo objetivo es encontrar una aproximación que se ajuste a un límite de error previamente determinado. Tenemos que dejar claro que los métodos numéricos no permiten alcanzar una solución real del problema, sino solamente una aproximación.

En general en este tipo de procesos, el error total se limita controlando los errores parciales cometidos en cada paso del proceso. Un ejemplo de ello es la utilización del polinomio de Taylor para conocer el valor de una función en un punto.

Pongamos un ejemplo sencillo sobre logaritmos. Para ello vamos a enunciar un teorema que aproxima los logaritmos por polinomios. Solo vamos a enunciarlo, no a demostrarlo, pues no forma parte del desarrollo del tema.

Teorema: Para cada x\in (0,1) y para cada n\geq 1 se tiene que

\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\ldots+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\frac{1}{2}R_n(x)

donde R_n(x) es el error y puede ser acotado en la forma

\frac{x^{2n+1}}{2n+1}< R_n(x)\leq \frac{(2-x)x^{2n+1}}{(1-x)(2n+1)}

La fórmula y la restricción del error nos permite el cálculo del logaritmo que queramos con muy pocos cálculos, y lo que es más importante, con el grado de aproximación que queramos.

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular \ln(3). Como \ln(\sqrt{u})=\frac{1}{2}\ln(u), tomamos x, tal que

\frac{1+x}{1-x}=3

resultando x=1/2. Por consiguiente para n=3 por ejemplo:

\frac{1}{2}\ln 3=\frac{1}{2}+\frac{(1/2)^3}{3}+\frac{(1/2)^5}{5}+\frac{1}{2}R_3\left(\frac{1}{2}\right)

De lo que se deduce que

\ln 3=2\left(\frac{1}{2}+\frac{(1/2)^3}{3}+\frac{(1/2)^5}{5}\right)+R_3\left(\frac{1}{2}\right)

Efectuando los cálculos:

\ln 3=1+\frac{1}{12}+\frac{1}{80}+R_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{263}{240}+R_3\left(\frac{1}{2}\right)

Por el teorema anterior conocemos la cota del error,

\frac{(1/2)^7}{7}< R_3\left(\frac{1}{2}\right)\leq \frac{(2-1/2)(1/2)^{7}}{(1/2)\cdot 7}

esto es

\frac{1}{896}<R_3\left(\frac{1}{2}\right)\leq \frac{3/256}{7/2}

y finalmente

0,00112< R_3\left(\frac{1}{2}\right)\leq 0,0033

lo que implica que si tomamos como aproximación del logaritmo neperiano de 3 el valor \frac{263}{240}, serán exactas al menos sus dos primeras cifras decimales..

Con la aparición de los ordenadores, aumenta la celeridad de cálculos como el anterior. No obstante, debemos añadir que la creación de métodos numéricos no es algo propio del siglo XX, sino de mucho antes.

Procedimientos como la interpolación lineal para aproximar valores intermedios se utilizaban comunmente en la antigua Babilonia e incluso en culturas posteriores. Los babilonios, de hecho, aceptaban de buen grado soluciones aproximadas de números irracionales en sus ecuaciones cuadráticas. La Regula Falsi se utilizaba en el antiguo Egipto o en la antigua China; o el procedimiento de exhaución de Arquímedes en su aproximación a \pi, que recordemos que por medio de triángulos, cuadrados, pentágonos, etc, llegó a hacerlo acotándolo entre 3\frac{10}{71} y 3\frac{10}{70}. En la actualidad se conocen billones de decimales de \pi, sí, billones, si bien en la mayoría de los cálculos en los que interviene este conocido número, no son necesarios muchos más que su primera decena.

Los métodos de la tangente o de la cuerda resuelven ecuaciones utilizando iteracciones. En cada una se consigue una aproximación mayor a la solución y por tanto una disminución del error. La importancia de dichos métodos y de su aplicación se basa en la restricción que consigamos de éste.

Por otra parte, la introducción de la interpolación polinómica va a permitir el cálculo aproximado del valor de una función f en los valores que se desee. La idea es, partiendo de f y de unos elementos concretos, x_1,x_2,\ldots, x_n, sustituir f por un polinomio p de grado menor o igual que n, tal que p(x_i)=f(x_i) para i=1,2,\ldots n. Una vez que tengamos calculado el polinomio el objetivo será hallar aproximaciones de otros valores minimizando todo lo que se pueda el error cometido.

De todas formas, nuestro objetivo a lo largo del tema no serán los métodos numéricos nombrados hasta ahora. Hemos hecho solamente una mención a algunos procedimientos que permiten la aproximación de números, o en el caso de la interpolación polinómica, de funciones. Nosotros nos centraremos en el estudio del error cometido al aproximar un valor, y de la propagación del error.

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Tema 7. Aproximación de números. Errores. Notación científica.