¿Conoces el rompecabezas de las Torres de Hanói? ¿Sabes resolverlo? ¿Conoces el procedimiento?
Lo cierto es que no es nada difícil. El problema fue inventado o creado a finales del siglo XVIII (en la Wikipedia tenéis todos los datos). Se trata de mover unos discos ordenados de mayor a menor y que se encuentran apilados en una columna, a otra columna siguiendo unas reglas básicas.
En principio el número de columnas entre las cuales podemos realizar los movimientos son tres y nuestros discos, que se encuentran en la primera columna, deben trasladarse a la tercera.
Reglas para su resolución:
Son sencillas:
Sólo se puede mover un disco por movimiento.
Cada disco solo se puede colocar encima de otro disco de mayor tamaño.
De la pila o columna correspondiente solo se puede mover el disco que se encuentre encima de todos, es decir, el de menor tamaño de dicha pila.
Es evidente que el número de movimientos necesario para resolver el problema dependerá del número de discos. Es demostrable en este caso que con n discos tendremos:
En este primer vídeo se demuestra el resultado anterior:
Para el segundo vídeo explico cómo resolver el rompecabezas para tres y para cuatro discos.
En este tercer vídeo, mi hija Paula, que se ha interesado en el problema lo resuelve para cinco discos, con 31 movimientos. Ahora está intentando resolverlo para seis.
En este último vídeo lo resuelvo para ocho discos. Voy explicando el procedimiento, que consta como ya demostré en el primer vídeo, de 255 movimientos.
Espero que os hayan gustado todos y os haya interesado el rompecabezas. No es difícil su resolución y hay que reconocer que muy entretenido.
Si algo os ha parecido que no estaba correcto, o tenéis dudas al respecto, o si queréis hacer cualquier comentario, tenéis mi correo electrónico o podéis hacer cualquier comentario que creáis con
¿Cómo operar con logaritmos, potencias y radicales? ¿Sabes hacerlo?
Seguro que piensas que cuando se mezclan todas estas operaciones, los ejercicios se complican considerablemente.
En esta entrada vamos a trabajar con logaritmos, y también con potencias y radicales. La idea es utilizar su definición y sus propiedades para resolver cuatro ejemplos de menor a mayor dificultad.
Toda esta parte, que se estudia principalmente en 4ºESO, aunque también en 1º Bachillerato, es lo que denominamos aritmética, aunque siempre existe una parte algebraica también necesaria para poder resolver los ejercicios.
Los cuatro vídeos son de logaritmos, de menor a mayor dificultad; y en los cuatro vídeos deberemos utilizar propiedades de logaritmos, de radicales y de potencias.
En la mayoría de los casos los ejercicios no tienen un procedimiento único de resolución, es decir, que se pueden resolver utilizando distintas propiedades o incluso las mismas pero en otro orden. Puedes recordar las propiedades de los radicales y potencias en el post:
Y lo más importante: cualquiera de ellos puede caerte en el siguiente examen que tengas.
Primer vídeo
En el primer vídeo, resolveré un ejercicio relativamente sencillo; pero no básico. Utilizaré propiedades que enunciaré para recordarlas, y espero que lo entendáis y no os resulte difícil. Es un ejercicio estrictamente aritmético, en el que se pide el cálculo de una operación de sumas y restas.
Segundo vídeo
En este segundo vídeo, claramente más difícil que el anterior, nos encontramos con una operación aritmética, en la que intervienen potencias, radicales y por supuesto logaritmos.
Teniendo en cuenta las propiedades estudiadas no resulta extremadamente difícil, sin embargo debo reconocer que a primera vista puede asustar.
Tercer vídeo
Aquí introducimos parte del Álgebra. Ahora el ejercicio contiene también variables, lo que por una parte da la sensación de dificultad. Sin embargo el solo hecho de no tener que factorizar números, hace que sea más fácil de los que en un principio parece.
Cuarto vídeo
En este cuarto y último vídeo, resuelvo un ejercicio en el que se mezclan logaritmos, radicales, potencias e incluso expresiones algebraicas. La dificultad no aumenta por el hecho de utilizar letras. Si sigues simplemente las propiedades estudiadas hasta el momento no deberías tener dificultades en entenderlo.
En este post vamos a trabajar con radicales, vamos a efectuar las operaciones con radicales más comunes, que no son otras que la suma, la resta, la multiplicación, la división y la racionalización.
Es conocido que en principalmente en 4ºESO, es uno de los problemas principales que tienen los alumnos. En general aunque se estudian las propiedades de las potencias y de las radicales, lo cierto es que cuando tienen que aplicarlas surgen verdaderos problemas.
En general el alumno es capaz de entender las explicaciones de los profesores, pero luego en numerosos casos son incapaces de volver a realizarlas salvo que se las estudien de memoria, algo que en Matemáticas se desaconseja del todo.
La razón principal es que como ya dije en otros posts, las Matemáticas no son fáciles, y es estrictamente necesario realizar ejercicios prácticamente a diario, algo que una mayoría de los alumnos no hacen.
Te propongo por lo menos, que cuando tengas cerca un examen de radicales, refresques un poco la memoria visualizando estos vídeos, y volviendo a realizar los ejercicios que has estado haciendo a lo largo del tema.
Primer vídeo.
En el primer vídeo verás como se resuelve una operación de sumas y restas de radicales, en los que previamente se han tenido que extraer factores para que los radicales sean semejantes.
Segundo vídeo
En el segundo vídeo vamos a trabajar con los productos de radicales con distinto índice. Por una de las propiedades de los radicales es necesario que para multiplicarlos tengan el mismo índice, así que será necesario reducirlos previamente a índice común.
Tercer vídeo
Aquí resolveré un ejercicio relativamente corriente que suele obtenerse en cursos de bachillerato. Dicho ejercicio no es otro que el producto de radicales cuadrados, en los que se utiliza la propiedad distributiva o las identidades notables.
Cuarto vídeo
En este cuarto vídeo se tratará la racionalización. Racionalizar una fracción con radicales es »eliminar» las raíces del denominador. Para ello se suele multiplicar por la misma raíz (si es cuadrada), o por la que sea necesaria para que en el denominador solamente quede un número.
En ocasiones, cuando en el denominador hay sumas o restas, será necesario multiplicar el numerador y denominador, por el conjugado del denominador. Obtendríamos así una suma por diferencia que como identidad notable resulta una diferencia de cuadrados. De esta forma nos »desharíamos» de las raíces en los denominadores de las fracciones.
En este caso, como ya explico en el vídeo, es preferible racionalizar antes de hacer la operación de suma, puesto que el cálculo del mínimo común múltiplo con radicales es algo más complicado.
Quinto vídeo
En este último video de la serie, realizaremos productos y cocientes de radicales de distinto índice, pero con letras. Las operaciones que vamos a realizar ahora son con radicales, pero en cierto modo también son algebraicas.
El ejercicio no es mucho más complicado con letras que con números. De hecho en ocasiones el hecho de tener que trabajar con letras simplifica las operaciones puesto que en estos casos no es necesario factorizar.
Como en otro vídeo anterior, tendremos que reducir a índice común para poder efectuar las operaciones de producto y cociente. También tenéis que tener claras las operaciones con potencias puesto que todos estos casos se utilizan en numerosas ocasiones.
Espero que os hayan gustado los vídeos, y los hayáis entendido. Mi recomendación ahora es que volváis a hacer los cinco ejercicios parando el vídeo; y después comprobéis si la solución que habéis obtenido es la misma que a mí.
La representación de radicales de índice 2 utilizando el teorema de Pitágoras, no es tema de este post, aunque sí es un contenido de 4ºESO. Si quieres puedes conocer su procedimiento en el enlace:
Bueno, si tenéis alguna duda, o si queréis hacer algún comentario podéis hacerlo sin problema; o si queréis escribirme un correo electrónico con vuestras dudas podéis hacerlo e intentaré contestar en cuanto pueda.
