Geometria del Triángulo

24/02/201901/11/2019

Oposiciones Matemáticas. Extremadura. Badajoz (2000)

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En esta entrada voy a resolver el ejercicio práctico de las oposiciones de Matemáticas en la Comunidad de Extremadura, en Badajoz, en el año 2000.

Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

También podéis encontrar temas desarrollados en los enlaces:

Este práctico constaba de cuatro problemas o ejercicios. Ninguno de ellos especialmente complicado, y con tiempo os daréis cuenta que podéis resolverlos sin excesivas complicaciones.

Problema 1

El primer de ellos es un problema de espacios duales.

Sea $E$ el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos y sea $\{w_1,w_2,w_3\}$ la base dual de la base canónica $\{1,x,x^2\}$ .

Consideramos la base del espacio dual $E^*$ definida por las aplicaciones $\overline{w_1}$ , $\overline{w_2}$ y $\overline{w_3}$ :

$\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1p(x)dx$

$\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1x\cdot p(x)dx$

$\overline{w}_3(p(x)):=\int_0^1x^2\cdot p(x)dx$

(a) Halla las coordenadas de $\overline{w}_1$ , $\overline{w}_2$ y $\overline{w}_3$ en la base $\{w_1,w_2,w_3\}$ .

(b) Determina la base de $E$ para la que $\{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\overline{w}_3\}$ es su base dual.

Su resolución pasa por conocer conceptos importantes en Matemáticas, como es el de espacio dual. El conjunto de las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre el cuerpo en el que está construido tiene estructura a su vez de espacio vectorial; y es lo que se denomina el «espacio dual» asociado al espacio vectorial original. La demostración de que verifica las propiedades de e.v. no es complicada e invito a que lo intentéis vosotros mismos sin necesidad de consultar ningún libro de Algebra Lineal. Es curioso a su vez, que la dimensión que tiene dicho espacio coincide, en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita, con la dimensión de su espacio original. Sin embargo en el caso de e.v. de dimensión infinita, este hecho no es cierto.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Espacios Duales

Por otra parte, aunque en el problema solo se incide sobre la parte algebraica, siempre se puede considerar la parte topológica. En este caso, cuando trabajemos con espacios vectoriales topológicos, es decir, espacios vectoriales en los que asociamos una topología (dada habitualmente por una norma o una métrica), bien espacios de Banach, o espacios de Hilbert; los espacios duales asociados también mantienen la misma dimensión e incluso topologías análogas siempre que ésta sea finita; y distintas siempre que las dimensiones sean infinitas. Los e.v.t. se estudian principalmente en los textos de Análisis Funcional.

Problema 2

El segundo problema de este examen práctico es de Geometría en el plano. Consiste en calcular el área de un polígono definido a partir de otro del cual ya conocemos su superficie. Una vez que hayamos hecho el dibujo, que por otra parte no es muy difícil, el procedimiento para resolver el problema no es nada complicado. Se trata de «dividir» la superficie a calcular en triángulos y calcular el área de dichos triángulos. Si se siguen los pasos adecuados se llega al resultado sin excesiva complicación.

Sea un cuadrilátero convexo de vértices $ABCD$ y superficie $Sm^2$ . Se prolonga el lado $AB$ por el punto $B$ hasta un punto $M$ de forma que la longitud de $BM$ se igual a la mitad de la longitud del lado $AB$ . Análogamente se prolonga el lado $BC$ por el punto $C$ hasta el punto $N$ de forma que $CN=\frac{1}{2}BC$ . El lado $CD$ se polonga por $D$ hasta $P$ tal que $DP=\frac{1}{2}CD$ y por ultimo el lado $DA$ se prolonga por $A$ hasta $Q$ , tal que $AQ=\frac{1}{2}DA$ .
Halla la superficie del cuadrilátero de vértices $MNPQ$ .

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Geometría

Como en todos los ejercicios que resuelvo en los vídeos, mi recomendación es que intentéis hacerlos vosotros antes de ver la resolución. A los problemas, y esto es algo que ya me habéis oído decir en numerosas ocasiones, hay que dedicarles mucho tiempo; hay que empaparse de ellos porque es la única forma de aprender a hacerlos.

Problema 3

En el tercer problema nos piden que calculemos el volumen de un sólido definido a partir de los tres planos coordenados y del movimiento de una recta que se apoya en otras dos rectas. Es una superficie reglada. Es posiblemente el ejercicio más difícil de este práctico.

Calcula el volumen del sólido limitado por los planos cartesianos y por la superficie reglada engendrada por el movimiento de una recta que se conserva paralela al plano $XOZ$ , apoyándose en las rectas $r_1:{x=0,z=2}$ y $r_2:{z=0 \text{ y pasa por los puntos }A(3,0,0) \text{ y } B(0,4,0)}$

Oposiciones Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 3: Volumen de una superficie reglada.

Las superficies regladas son aquellas superficies que se definen por el movimiento de una recta que se apoya en dos curvas. Los cilindros de revolución son ejemplos de superficies regladas, los conos de revolución también. Pero no solamente aquellas que puedan provenir de la revolución de una recta alrededor de un eje son superficies regladas. Imaginemos un cilindro en el que las bases, (la «tapa» inferior y la superior) fueran dos elipses, es decir, dos superficies limitadas por dos elipses. En este caso no estamos con una superficie de revolución pero sí con una superficie reglada.

La dificultad de este problema es saber representar correctamente el sólido del cual queremos calcular su volumen. Después, tendremos que resolver una integral triple, de la que lo más difícil será calcular los límites de integración.

Problema 4

El cuarto y último problema es de probabilidad. Es un sencillo ejercicio de diagramas en árbol.

De una urna que contiene $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras, dos jugadores hacen extracciones alternativas reemplazando cada uno su bola antes de la siguiente extracción. Gana el jugador que consigue sacar primero una bola blanca.
Calcula la probabilidad de ganar que tiene cada uno de los jugadores.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 4: Probabilidad

La mayor complicación que os encontraréis aquí es que tendréis que efectuar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. El desarrollo de las probabilidades hasta llegar a las sumas infinitas es sencillo. Aplicando Laplace y el sentido común se llega sin dificultad al resultado.

Si quieres hacer algún comentario o alguna sugerencia puedes hacerlo rellenando el siguiente formulario:

06/10/201811/04/2020

Oposiciones Matemáticas Castilla la Mancha. Toledo 2018

Hola buenas. En esta entrada voy a resolver los problemas de la prueba práctica de la Oposición de Matemáticas de Secundaria en Castilla la Mancha, en el año 2018 y más concretamente en Toledo. Podéis descargar la prueba aquí.

Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes.

Bueno, retomemos este práctico. En esta ocasión fueron tres problemas. Es cierto que no tan complicados, por lo menos a mi modo de ver, como los vistos en otras convocatorias; sin embargo es también cierto que había que conocer algunos conceptos básicos de Probabilidad y Estadística o también algunas ideas sobre Teoría de Números.

Antes de ver los vídeos, mi consejo es que intentéis hacer los ejercicios. Sé que en muchos casos apenas se encuentra tiempo; pero es que la única forma de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas. Esto puede parecer de Perogrullo, pero de Perogrullo o no, os puedo asegurar que no existe otra manera.

Todos los métodos que podáis aprender, todos los procedimientos que podáis leer o estudiar en libros que “teóricamente” os enseñen a resolver problemas pasan por afirmar que la única forma de conseguirlo es resolviéndolos.

Por otra parte, a mí me gustaría añadir un pequeño consejo cuando os plantéis delante de uno; bien sea en la misma oposición o en casa, estudiando: leed el problema tranquilamente, entendedlo, analizadlo; y cuando estéis seguros de que lo comprendéis al dedillo, entonces plantearos formas de resolución de principio al fin, examinando el tiempo que podáis dedicar a cada forma y si con ella podréis acabar de resolverlo completamente. Dedicad a esta tarea varios minutos, hasta quince incluso; porque os aseguro que aunque penséis que es tiempo perdido, no lo será; sino que os permitirá cribar convenientemente las distintas posibilidades que tengáis para resolverlo, y hacerlo en mucho menor tiempo del que hubierais tardado en otro caso.

Problema 1: Teoría de Números

El primero de los ejercicios, uno relacionado con la teoría de números, con múltiplos y divisores, o con la teoría de grupos y anillos módulo un número entero, no era excesivamente complicado. Había que estudiar caso por caso, pero incluso así, el número de casos con que nos encontrábamos no suponía que el problema se alargase en demasía en el tiempo. Si se trataba con orden y lógica se podía resolver en no más de treinta minutos, lo que aparentemente permitía continuar con buenas perspectivas con el resto de ejercicios.

El problema decía así:

Demuestra que todos los términos de la sucesión $\{a_n\}_n> 2$ son múltiplos de 600, siendo:

$\pmb{a_n=(n^2-1)(n^2+1)(n^4-16)n^2}$

La forma de resolverlo pasaba por descomponer en factores primos el numero 600, y después comprobar que cualquiera de los términos de la sucesión contenía en su descomposición al menos los mismos factores elevados también al exponente en el que se encuentran en 600. Como dije antes no es difícil, y si se hace ordenadamente tampoco demasiado largo.

Otra posibilidad de resolución podría ser por inducción sobre $n\in \mathbb{N}$ ; aunque reconozco que este método no he llegado siquiera a intentarlo. Puedes intentarlo tú a ver que sale; mi percepción ante el problema y el procedimiento me dice que puede ser algo más difícil.

Problema 2: Geometría del Triángulo

Este segundo problema es el más elegante de los tres, el mas divertido, el más entretenido, y como podéis adivinar el que más me ha gustado.

Se trata de un problema eminentemente geométrico; concretamente se trata de demostrar que una recta, o un segmento que divide a un triángulo en dos polígonos de la misma área y el mismo perímetro debe pasar por el incentro del triángulo. Aunque lo redactaré después exactamente como se expuso en el examen, en las líneas anteriores ya ha quedado perfectamente descrito.

Es un problema elegante porque con imaginación y fantasía; y con conceptos sencillos como que el área de un triángulo es la base por la altura partido por dos, o que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo; podemos llegar fácilmente a su demostración.

El problema dice:

Demostrar que una recta $d$ , que divide a un triángulo $\pmb{ABC}$ en dos polígonos del mismo perímetro y de la misma área debe pasar por el centro de la circunferencia inscrita al triángulo $\pmb{ABC}$ .

En el vídeo podéis ver su resolución, sin embargo yo recomiendo que intentéis resolverlo por vosotros mismos. Hacedlo, utilizando los conceptos básicos necesarios que describí antes, y a ver qué os sale.

Problema 3: Probabilidad y Estadística

El tercer problema es de Probabilidad y Estadística. Es el más feo de los tres. Un ejercicio puramente de integrales de funciones de densidad, de funciones de distribución y del cálculo de las medidas de una distribución continua: media, varianza, moda y mediana.

Si conocemos las fórmulas elementales de las distribuciones continuas entonces no deberíamos tener muchos problemas en su resolución.

El problema dice así:

Una variable aleatoria ${\chi}$ tiene una función de densidad dada por:

$\pmb{f(x)=\left\{ \begin{array} {cc} 0 & \text{si } x\leq 0 \\ kxe^{-x^2} & \text{si } x>0 \end{array}}$

a) Hallar el valor de ${k}$ para que. en efecto, sea una función de densidad de probabilidad.

b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria $\pmb{\chi}$ y calcular ${P(-1\leq \chi \leq 1)}$ .

c) Hallar el valor de la moda y de la mediana.

d) Hallar el valor esperado de ${\chi}$ y su varianza.

Con estos vídeos se resuelven los tres problemas de la Oposición de Matemáticas de Secundaria en Castilla la Mancha, más concretamente en Toledo en junio de 2018.

Espero que se hayan entendido bien, y que os ayuden en vuestra empresa de conseguir aprobar.

Por último, en los siguientes enlaces tenéis las entradas a mi blog de otras pruebas prácticas que también las he resuelto:

Castilla la Mancha (Albacete 2015)

Comunidad Valenciana (Alicante 2009)

Extremadura (Badajoz 2000)

Castilla y León (2018)

Un saludo.

Jorge.