El concepto de función es sin duda uno de los más importantes de todas las matemáticas. Junto con el de número, y en concordancia con él, son la base de prácticamente todas las ramas de esta ciencia; es básico en todas las áreas puras y se utiliza para describir el entorno en el que vivimos.
No podemos afirmar que se conociera en el mundo antiguo aunque los babilonios, egipcios y luego griegos representaran tablas en las que aparecía una variable dependiendo de otra. Estas tablas de mediciones pueden considerarse hoy día funciones, no obstante podemos pensar que el concepto de relación entre dos variables de tipo general no era conocido todavía hace 5000 años.
La Edad Media no es buen ejemplo de innovación científica ni de adelantos que sorprendieran al mundo. Su oscurantismo se vio reflejado también en las Matemáticas. No fue hasta la Edad Moderna cuando se empezaron a desarrollar los números reales y el Análisis Matemático. El resultado, como cabe esperar, es la introducción de las funciones como concepto elemental, pero todavía sin tener una definición concreta y clara con la que trabajar.
La función como dependencia entre variables
Ni Descartes, ni Fermat, ni Newton o Leibnitz definieron una función real como la conocemos hoy día. Se limitaron a trabajar con ecuaciones en una o varias variables, en las que podría reconocerse una dependencia entre las variables; pero de este al concepto de función había todavía un pequeño trecho que caminar. El desarrollo del cálculo infinitesimal requería de variables que dependían funcionalmente y se dieron cuenta que toda la teoría que se podría crear a partir de concepto de diferenciabilidad debería contener implícitamente la idea de lo que debería ser una función.
A lo largo del XVIII y principios del XIX observamos referencias al término de función en textos de numerosos matemáticos, sin que ninguno de estos dé una definición concisa de aquel. Así, por ejemplo encontramos menciones con Bernouilli, que habla de \emph{función de alguna indeterminada}, o con Euler diciendo que una función era \emph{cualquier relación entre x e y que se encuentre representada en el plano por medio de una curva}. Fíjese el lector, que aún con la idea preconcebida de lo que querían que fuese una función, todavía no tenían una definición concreta.
Fue ya a mediados del XIX, con Lobachevsky, cuando este generaliza la idea y añade que para dotar de dependencia a dos variables no es necesaria la inclusión de una fórmula.
Concretamente dice:
»El concepto general de función requiere que por función de x se entienda el número que adopta cada x y que junto que x varía gradualmente. El valor de la función puede ser dado por una expresión analítica o por cierta condición que proporcione un medio para comprobar todos los números y elegir uno de ellos; o, por último, tal dependencia puede existir y permanecer incógnita»
Lobachevski introduce dos ideas: la primera es que implícitamente está hablando de dominio; y la segunda es que no son necesarias ni fórmulas ni ecuaciones para definir funciones.
Años más tarde Dirichlet da una definición de función lo más cercana a la que conocemos hoy día. De hecho es conocido su ejemplo de una función que no es continua en ningún punto de su dominio:
Función de Dirichlet
f(x)=\left\{\begin{matrix}{1\text{ si }x\in\mathbb{Q}}\\{0\text{ si }x\in\mathbb{I}}\end{matrix}\right.En este tema nos centraremos indudablemente en las funciones reales de variable real, que son una parte relativamente pequeña de la gran variedad de funciones que nos podemos encontrar. Tengamos en cuenta que la idea de función es tan general, que se encuentra inmersa en todo cuanto podamos escribir o leer en matemáticas.
Concepto general de función
Dados dos conjuntos X e Y, cuando a cada elemento de X le hacemos corresponder un único elemento del conjunto Y, estaremos definiendo una función. Habitualmente denotamos a las funciones con letras, y aunque se las puede denominar con el nombre que queramos solemos utilizar la primera letra de la palabra función, es decir, la f. Cuando tenemos varias funciones definidas seguimos el orden alfabético, y a la segunda le llamamos g, y así sucesivamente. A este respecto, los matemáticos somos poco imaginativos.
Escribiremos como f(x) el elemento del conjunto Y al cual hemos hecho corresponder el elemento x, esto es, y=f(x). Diremos que y depende de x, o dicho de otra forma que los elementos del conjunto Y dependen de los del conjunto X. También podemos expresarlo diciendo que la variable del conjunto Y es la variable dependiente, y la del conjunto X la variable independiente. Solemos en este caso escribir también f:X\longrightarrow Y.
Función elemental
Dentro de todas las funciones reales de variable real que podemos encontrar, haremos una mención especial a las llamadas funciones elementales.
La definición de este tipo de funciones comienza con el planteamiento de los matemáticos del siglo XIX, en especial de Joseph Liouville (1809-1882), de distinguir aquellas funciones que tienen primitiva elemental. Entendemos por esta, aquella función que surge a raíz de las operaciones habituales de suma, diferencia, producto, cociente y composición de: polinomios, exponenciales, logaritmos, funciones irracionales y funciones trigonométricas y sus inversas.
Originalmente Liouville solamente consideró a los polinomios, exponenciales y logaritmos, las irracionales y las trigonométricas surgieron a partir de las operaciones entre las anteriores. Para esto habría que tener en cuenta que en los trabajos en los cuales expuso toda esta teoría, las funciones eran complejas, y las funciones trigonométricas por ejemplo pueden ponerse en función de exponenciales complejas.
Nosotros no vamos a enunciar el conocido Teorema de Liuoville, porque es más una serie de trabajos que un teorema en sí. La teoría, de integración en términos finitos, o integración en términos de funciones elementales, se generalizó años más tarde, en 1946, con los trabajos de Alexander Ostrowski (1893-1986) y finalmente, en 1968, con Maxwell Rosenlicht (1924-1999) quien publicó un resultado puramente algebraico de los trabajos de Liouville y Ostrowski.
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