Los conceptos de logaritmo y exponencial están íntimamente relacionados. Ahora, después de su invención hace casi cuatro siglos, sabemos que en cierto modo un concepto es el inverso del otro.
Pero no adelantemos acontecimientos. Podemos precisar que la creación de los logaritmos se debe a dos matemáticos de finales del XVI y comienzos del XVII: John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552–1632). Aunque todo el mérito se lo llevó Napier pues fue el primero en publicar sus resultados, que hizo en 1614 con la obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos), es incluso posible que Bürgi tuviera conocimientos previos de estos antes que Napier, pero el hecho de que su publicación fuera seis años más tarde le ha relegado la historia a un papel secundario.
En la actualidad se utilizan principalmente dos logaritmos, o mejor dicho dos bases de logaritmo, el neperiano en honor a Napier y el de base 10 o decimal a raíz del clérigo y matemático inglés Henry Briggs (1561-1630). Aunque Napier llegó a sugerir la posibilidad de una tabla basada en las igualdades \log 1=0 y \log 10=1, fue Briggs el que llevó a cabo el desarrollo de esta idea en su obra Logarithmorum chilias prima, en el que escribió los logaritmos de los primeros 1000 números naturales con una aproximación de catorce cifras decimales. En trabajos posteriores amplió el cálculo hasta los cien mil primeros naturales.
Las funciones logarítmica y exponencial, que surgieron después de todo el desarrollo de los logaritmos, podemos encontrarlas en la Naturaleza, en la Economía y en general en la Matemática aplicada.
De forma natural el desarrollo y definición de ambas funciones comienza con el de la función logarítmica. La exponencial surge a raíz de ella, como su inversa. Nosotros seguiremos el desarrollo natural comenzando por los logaritmos. El porqué no es casual, bien podríamos hacerlo partiendo de la función exponencial y a partir de aquí definir la logarítmica. El problema de esta forma surge al intentar extender la exponencial a los números irracionales.
Tomemos por ejemplo las potencias de 10:
10,10^2, 10^3, 10^4,\cdots, 10^n
Sabemos cómo son los términos de la anterior sucesión, cada uno de ellos tiene tantos ceros como indica el exponente. Esto permite definir la exponencial de base 10 cuando el exponente es un número natural.
Además es fácil comprobar que para los naturales 10^n\cdot 10^m=10^{n+m}. Si pretendemos conservar esta propiedad para los enteros, podemos extender al cero:
10^0\cdot 10^n=10^{0+n}=10^ncon lo que
10^0=1
Y a los números negativos:
10^{-n}=\frac{1}{10^n}
ya que
10^n\cdot 10^{-n}=10^{n-n}=10^0=1
Es sencillo seguir con los racionales. Tomemos 1/q\in\mathbb{Q}
\underbrace{10^{1/q}\cdot 10^{1/q}\cdot\ldots\cdot10^{1/q}}_{q \text{ veces}}=10^{\frac{1}{q}+\ldots+\frac{1}{q}}=10^1=10De esta forma
(10^{1/q})^q=10con lo que
10^{1/q}=\sqrt[q]{10}Ahora es fácil seguir con p/q\in\mathbb{Q}
10^{p/q}=\sqrt[q]{10^p}El problema lo tenemos cuando queremos saltar a los irracionales, esto es 10^x\cdot 10^y=10^{x+y}. Esta extensión no es posible algebraicamente, necesitaríamos salir de aquí e introducir la continuidad de una función que ni siquiera hemos llegado a definir. Esto no quiere decir que no sea posible este camino, claro que lo es, y en numerosos textos de Análisis se sigue, no obstante nosotros hemos pensado que es más sencillo y natural hacerlo por el camino que sigue la mayoría de los autores, es decir, a partir de la función logarítmica.
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Tema 22. Funciones exponenciales y logarítmicas. Situaciones reales en las que aparecen.