Polinomios - Jorge Morra

Hola, muy buenas.

Pues eso…

¿Sabes factorizar polinomios en una variable? ¿Conoces el concepto de raíz de un polinomio? ¿O el concepto de factor?

Son tres ideas que están íntimamente relacionadas, y se utilizan para descomponer un polinomio en producto de polinomios de grado más pequeño.

Los conceptos de raíz y factor, que se tratan aquí, también puedes estudiarlos en otra entrada de este blog: problemas-de-divisibilidad-de-polinomios en la que puedes estudiar la relación tan estrecha entre la divisibilidad y la factorización.

La factorización de polinomios es uno los pilares del Álgebra, puesto que debemos de tener en cuenta la relación tan directa que existe entre el Cuerpo de Fracciones de los números Enteros, que no es más que el conjunto de los Racionales, y el Cuerpo de fracciones de los Polinomios, que son las famosas fracciones algebraicas. Ambos conjuntos denominados comúnmente en Álgebra como el Cuerpo de Fracciones de un Dominio de Integridad. Tengamos en cuenta que tanto el conjunto de los Enteros como el de los Polinomios con coeficientes en los Enteros tienen la estructura algebraica de un Dominio de Integridad.

Sin embargo, no quiero que este post se convierta en una mala clase magistral de Álgebra, sino que sea más bien una ayuda para que todos aquellos estudiantes que tengan problemas a la hora de descomponer un polinomio en producto de polinomios de grado menor, tengan en estos vídeos una ayuda para tal procedimiento.

Es cierto también que es un error relativamente común entre los estudiantes, pensar que cuando extraemos un número entero como factor común de un polinomio, lo estamos factorizando realmente, y lo cierto es que no es así.

La factorización implica que la descomposición de un cierto «P(x)» debe ser en polinomios de grado mayor o igual a uno, como por ejemplo:

P(x)=(x-1)(x+2)(3x-2)

Y además como se puede observar, también con coeficientes enteros.

La factorización en polinomios con coeficientes reales que incluyan obviamente radicales no es tema de esta entrada, y aunque su estudio está muy relacionado, no es algo que se estudie en Secundaria ni en Bachillerato.

En los tres vídeos que podéis ver a continuación se expone el procedimiento estándar para factorizar un polinomio. Procedimiento que es el que se explica en 3ºESO, en 4ºESO e incluso en Bachillerato.

Primer vídeo: raíces simples

En el primero de los vídeos la descomposición es en factores simples, es decir en factores de grado uno. El procedimiento es el de la división por Ruffini para buscar posibles raíces y por tanto posibles factores.

Segundo vídeo: raíz doble y polinomio de segundo grado irreducible (raíces complejas)

En el segundo de los vídeos nos encontramos con un factor de segundo grado irreducible y una raíz doble que implica un factor de primer grado elevado al cuadrado.

Tercer vídeo: raíces simples racionales

Y en el tercer y último vídeo el polinomio a factorizar tiene raíces racionales, lo que conlleva necesariamente su búsqueda resolviendo una ecuación de segundo grado puesto que por otro método encontrar dichas raíces es poco menos que imposible.

No mucho más que decir en esta entrada, solamente que espero que os hayan gustado los vídeos.

Por último si tenéis algún comentario que hacerme podéis hacerlo más abajo, o bien escribirme un correo electrónico; como prefiráis.

Un saludo.

Jorge.

Tres métodos diferentes para resolver un problema de divisibilidad de polinomios.

Hola, muy buenas.

Las ideas que subyacen detrás de la divisibilidad de polinomios y el concepto de raíz de un polinomio están íntimamente relacionadas. Este hecho permite que los ejercicios de divisibilidad o de raíces se puedan resolver utilizando diferentes métodos.

En este post vamos a resolver un problema en el que se pide el cálculo de dos incógnitas dentro de un polinomio que cumple unas condiciones concretas de divisibilidad.

Cuando estudias 4ºESO ó 1ºBachillerato, y en particular la divisibilidad de polinomios, los profesores somos bastante exigentes en cuando al conocimiento mínimo con las operaciones básicas entre ellos. Entre estas operaciones están la suma, la resta, el producto y el cociente. Sin embargo, estos procedimientos ya se empiezan a estudiar en 2ºESO, y cuando llegáis a Bachillerato se os pide que vuestros cálculos y operaciones con polinomios e incluso fracciones algebraicas sean mucho más correctos. En otras palabras, nos volvemos más exigentes y os empezamos a pedir que entendáis los conceptos y no tanto los procedimientos.

El ejemplo que voy a resolver en el video es el típico que suele caer en muchos de los exámenes de Secundaria o de Bachillerato. Obviamente, según el curso, el problema tiene una dificultad diferente, aunque en esencia el procedimiento a tratar en ambos es el mismo.

Consideremos el siguiente polinomio:

Se trata de calcular los valores de «m» y «n» para que P(x) sea divisible entre:

Este problema se puede resolver de diferentes formas, y su dificultad estriba más en los cálculos que en el entender los conceptos. En el video explico cómo calcular las incógnitas que se piden de tres formas distintas.

Primera forma:

En ella aplicamos directamente el procedimiento de la división de polinomios. Para ello se llevan las incógnitas hasta el final y después se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas relativamente sencillo.

Segunda forma:

Aquí se aplica la propiedad transitiva que tiene la relación de divisibilidad de polinomios. Se cumple que si un polinomio P(x) es divisible entre otro Q(x) y éste último es divisible entre un tercer polinomio T(x), entonces se puede afirmar que P(x) es divisible entre T(x). Esta forma simplifica algunos de los cálculos puesto que después es posible aplicar la regla de Ruffini. En el vídeo lo entenderás mucho mejor.

Tercera forma:

Y por último utilizando el concepto de raíz de un polinomio. La idea es que si P(x) es divisible entre Q(x) entonces todas las raíces que tenga Q(x) son también raíces de P(x). Aplicando a continuación el hecho de que el valor numérico de un polinomio para con sus raíces es cero, se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se resuelve fácilmente.

No quiero extenderme más, estoy seguro de que en el vídeo lo entenderéis todo mucho mejor. En cualquier caso, si os surgen dudas siempre podéis dejar un comentario o enviarme un correo electrónico con vuestras impresiones.