Tres métodos diferentes para resolver un problema de divisibilidad de polinomios.
Hola, muy buenas.
Las ideas que subyacen detrás de la divisibilidad de polinomios y el concepto de raíz de un polinomio están íntimamente relacionadas. Este hecho permite que los ejercicios de divisibilidad o de raíces se puedan resolver utilizando diferentes métodos.
En este post vamos a resolver un problema en el que se pide el cálculo de dos incógnitas dentro de un polinomio que cumple unas condiciones concretas de divisibilidad.
Cuando estudias 4ºESO ó 1ºBachillerato, y en particular la divisibilidad de polinomios, los profesores somos bastante exigentes en cuando al conocimiento mínimo con las operaciones básicas entre ellos. Entre estas operaciones están la suma, la resta, el producto y el cociente. Sin embargo, estos procedimientos ya se empiezan a estudiar en 2ºESO, y cuando llegáis a Bachillerato se os pide que vuestros cálculos y operaciones con polinomios e incluso fracciones algebraicas sean mucho más correctos. En otras palabras, nos volvemos más exigentes y os empezamos a pedir que entendáis los conceptos y no tanto los procedimientos.
El ejemplo que voy a resolver en el video es el típico que suele caer en muchos de los exámenes de Secundaria o de Bachillerato. Obviamente, según el curso, el problema tiene una dificultad diferente, aunque en esencia el procedimiento a tratar en ambos es el mismo.
Consideremos el siguiente polinomio:
Se trata de calcular los valores de «m» y «n» para que P(x) sea divisible entre:
Este problema se puede resolver de diferentes formas, y su dificultad estriba más en los cálculos que en el entender los conceptos. En el video explico cómo calcular las incógnitas que se piden de tres formas distintas.
Primera forma:
En ella aplicamos directamente el procedimiento de la división de polinomios. Para ello se llevan las incógnitas hasta el final y después se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas relativamente sencillo.
Segunda forma:
Aquí se aplica la propiedad transitiva que tiene la relación de divisibilidad de polinomios. Se cumple que si un polinomio P(x) es divisible entre otro Q(x) y éste último es divisible entre un tercer polinomio T(x), entonces se puede afirmar que P(x) es divisible entre T(x). Esta forma simplifica algunos de los cálculos puesto que después es posible aplicar la regla de Ruffini. En el vídeo lo entenderás mucho mejor.
Tercera forma:
Y por último utilizando el concepto de raíz de un polinomio. La idea es que si P(x) es divisible entre Q(x) entonces todas las raíces que tenga Q(x) son también raíces de P(x). Aplicando a continuación el hecho de que el valor numérico de un polinomio para con sus raíces es cero, se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se resuelve fácilmente.
No quiero extenderme más, estoy seguro de que en el vídeo lo entenderéis todo mucho mejor. En cualquier caso, si os surgen dudas siempre podéis dejar un comentario o enviarme un correo electrónico con vuestras impresiones.
Un saludo.
Jorge.