Hola, muy buenas.
En este tercer post voy a explicar cómo podemos encontrar o calcular una base de un subespacio vectorial de dimensión finita que se encuentre generado por un conjunto finito de vectores; y además cómo escribir una ecuaciones de dicho espacio.
Lo cierto es que me decidí a escribirlo porque una ex-alumna me planteó algunas dudas sobre un posible examen final del Grado que está haciendo. Dentro de dicha prueba, la primera cuestión estaba relacionada con obtener una base de un subespacio del espacio vectorial real de cuatro dimensiones. De dicho subespacio nos daban cinco vectores »generadores»; y se tenía que encontrar una base y por defecto la dimensión del subespacio.
Además se pedían unas ecuaciones paramétricas y otras cartesianas o implícitas de dicho subespacio.
Supongamos un espacio vectorial de dimensión »m»; y consideremos dentro de él otro subespacio vectorial generado en este caso por un número finito de vectores, »n», por ejemplo. Para calcular la dimensión basta considerar la matriz formada por dichos vectores y estudiar su rango. Es obvio que no podrá ser mayor que »n», y es obvio también que no podrá ser mayor que la dimensión del espacio que le contiene, es decir, no podrá ser mayor que »m».
El cálculo es muy sencillo, basta escribir la matriz de los vectores generadores del subespacio y calcular su rango. Éste valor, »k» por ejemplo, será la dimensión del espacio. Para calcular la base escogemos del sistema generador dado, los vectores que son linealmente independientes y que son los que nos han permitido afirmar que el rango de la matriz es »k».
Las ecuaciones paramétricas se obtienen teniendo en cuenta que cualquier vector del subespacio se obtiene como combinación lineal de los vectores de la base.
Cuando hayamos obtenido las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones implícitas o cartesianas se escriben resolviendo el sistema obtenido con las paramétricas, teniendo en cuenta que en dicho sistema las incógnitas serán los parámetros que nos definen el subespacio.
Es claro también que si el subespacio es de dimensión 1, es decir una recta, las ecuaciones paramétricas solamente contendrán un parámetro; si es de dimensión 2, dos parámetros; si es 3, tres parámetros y así sucesivamente.
Lo escrito hasta ahora se puede encontrar en cualquier libro de Álgebra Lineal, y seguramente mucho mejor explicado que como lo he hecho yo. Por tanto, lo mejor es que si tenéis dudas veáis el video siguiente: »Cómo calcular una base y unas ecuaciones de un subespacio vectorial»: