La Trigonometría puede considerarse en sus inicios como la medida del triángulo. A partir de ella conocemos al seno, coseno y tangente. Posteriormente aparecieron algunas funciones más, además de sus inversas en los conjuntos dónde era posible definirlas.
Aunque encontramos indicios suyos en los textos de matemáticos hindúes de mediados del primer milenio no fue hasta el siglo XV cuando, por motivos puramente comerciales en la navegación y mejoras en las observaciones astronómicas, comenzó a asentarse. En este momento el objetivo principal era obtener tablas de senos, cosenos o tangentes con la mayor precisión posible. Después con estas tablas se podían efectuar productos relativamente complejos transformándolos previamente en sumas.
En esta introducción vamos a comenzar con las ideas básicas, como habitualmente se imparten en los cursos de Secundaria: a partir el concepto de semejanza y del teorema de Tales (Tales de Mileto 624-546 a. C.). Después, a lo largo del tema trataremos las funciones circulares e hiperbólicas de una forma singularmente distinta.
Recordemos que dicho teorema afirma que si una pareja de rectas es cortada por una familia de rectas paralelas, entonces aparecen ciertas razones de proporcionalidad entre los segmentos que se determinan. La siguiente imagen resulta más explícita:
Se verifica que:
\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}o también
\frac{AA'}{OA'}=\frac{BB'}{OB'}=\frac{CC'}{OC'}
De donde es trivial demostrar a continuación
\frac{AA'}{OA}=\frac{AA'/OA'}{OA/OA'}=\frac{BB'/OB}{OB/OB'}=\frac{BB'}{OB}
y de la misma forma con CC' obteniendo finalmente:
\frac{AA'}{OA}=\frac{BB'}{OB}=\frac{CC'}{OC}
Si las rectas que cortan a r y s lo hacen perpendicularmente a una de ellas, por ejemplo a s, tenemos unas proporciones que podemos asociarlas a un ángulo concreto puesto que los triángulos que se forman son rectángulos en uno de sus ángulos.
Así:
\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}
y también
\frac{AA'}{OA'}=\frac{BB'}{OB'}=\frac{CC'}{OC'}
Estas proporciones dependen exclusivamente del ángulo \alpha. A partir de aquí se definen tres funciones (se denominan habitualmente razones trigonométricas):
\text{coseno de }\alpha=\cos\alpha=\frac{OA}{OA'}
\text{seno de }\alpha=\sin\alpha=\frac{AA'}{OA'}
\text{tangente de }\alpha=\tg\alpha=\frac{AA'}{OA}
Simplificando las expresiones, y considerando un único triángulo rectángulo tendríamos:
donde
\sin\alpha=\frac{a}{c}\;,\;\;\cos\alpha=\frac{b}{c}\;\;\;\text{ y }\;\;\tg\alpha=\frac{a}{b}
A partir de aquí es sencillo calcular las razones trigonométricas de ángulos conocidos. Así para \alpha=45^o, se obtendría \cos 45^o=\sqrt{2}/2, \sin 45^o=\sqrt{2}/2 y \tg 45^o=1. De forma sencilla se calcularían también para \alpha=60^o y \alpha=30^o por ejemplo.
Curiosamente, aplicando el teorema de Pitágoras a la figura anterior podría demostrarse una de las principales identidades trigonométricas:
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
No obstante, con la definición dada hasta ahora el dominio de estas funciones se quedaba reducido a los posibles ángulos de un triángulo rectángulo, y esto se restringía a mayores que 0^o y menores que 90^o. La generalización a cualquier ángulo vino en parte por un matemático francés del siglo XVI, François Viète (1540-1603). A partir de este matemático comenzaron a aparecer nuevas identidades trigonométricas, debidas principalmente a un mayor énfasis en el cálculo analítico y menos en el cálculo de la resolución de triángulos. Entre estas nuevas identidades encontramos un grupo que se denominaron posteriormente prostaféresis. Básicamente se trataba de un algoritmo que permitía efectuar el producto o cociente de números, o la aproximación de estos, mediante identidades trigonométricas que transformaban productos en sumas.
Con la circunferencia goniómetrica el dominio de definición de las funciones seno, coseno y tangente se extendió al de todos los números reales. El seno era su proyección sobre el eje Y, el coseno sobre el eje X y la tangente la extensión sobre una recta paralela al eje Y situada sobre el punto de coordenadas (1,0). No vamos a hacer una definición exhaustiva de esto, pues estamos en una introducción y el lector puede encontrarlo en cualquier libro de texto de Secundaria o Bachillerato.
Veamos solamente un caso concreto, en el que Viète, utilizando la circunferencia goniométrica y considerando los ángulos en radianes y no en grados, dedujo la igualdad:
\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cdot \cos\frac{x-y}{2}
En efecto, es trivial que \sin x=AD y \sin y=CD. Entonces:
\sin x+\sin y=AD+CD=AC
Pero del triángulo ABC, rectángulo en C, puede verse que
\cos\alpha=\frac{AC}{AB}
con lo que AC=AB\cdot \cos\alpha.
Pero sabemos, utilizando la geometría elemental sobre la circunferencia, que todos los ángulos situados sobre esta y que abarquen el mismo arco miden lo mismo; pero además este valor es la mitad del ángulo central. Así, \alpha es la mitad de x-y, y tendremos que
\sin x+\sin y=AB\cdot \cos\alpha=AB\cdot\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
Por otra parte, la mediatriz del segmento AB pasa necesariamente por el centro de la circunferencia y divide el triángulo OAB en dos triángulos rectángulos en E. Si extendemos dicho segmento OE, cortará a la circunferencia en el punto F, de tal forma que ahora la longitud del arco AF es precisamente (x+y)/2. En definitiva:
AE=\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)
y así
AB=2AE=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)
con lo que
\begin{equation}
\sin x+\sin y=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
\end{equation}
Fórmulas similares pueden obtenerse utilizando métodos parecidos. De todos modos, a partir de la identidad anterior se llega fácilmente a las conocidas de transformaciones de sumas en productos o productos en sumas estudiadas en Bachillerato. Estas últimas llevan el nombre de fórmulas de Werner.
Años más tarde fue Abraham de Moivre (1667-1754) el que relacionó las funciones trigonométricas con los números complejos al demostrar la identidad:
(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx
En la misma época, otro matemático que también se interesó por las funciones trigonométricas fue Roger Cotes (1682-1716) introduciendo en su obra Harmonie Mensurarum la propiedad de la periodicidad además de una tabla de integrales. En dicha obra encontramos la relación
\ln(\cos\alpha+i\sin\alpha)=-1
Al igual que los Elementos es la obra clave de la Geometria, o el Al-jabr del Álgebra, puede considerarse el Introductorio in Analysin Infinitorum de Euler (1707-1783), publicado en 1748, la pieza clave del Análisis. Aquí introduce el concepto básico de función como idea fundamental. Es más, no existe una diferencia esencial en la forma de tratar actualmente a las funciones trigonométricas y sus inversas de la que expuso Euler en su obra.
Como curiosidad, Euler considera el seno de un ángulo como un número y no tanto como un segmento, que era como se contemplaba antes. De hecho lo trata como la suma de una serie:
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldotsy a partir de aquí y de series análogas obtiene las conocidas identidades\footnote{Ya eran conocidas por Cotes y De Moivre. Cotes de hecho la enunció en 1714, aunque Euler sí que obtuvo la archiconocida ecuación e^{i\pi}+1=0, donde, como se suele decir, se relacionan los cinco números más importantes de las Matemáticas.}:
\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}e^{ix}=cos x+i\sin xPor otra parte, otro matemático aleman, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) fue el primero que demostró la irracionalidad de \pi, si bien es cierto que para su trascendencia tuvo que esperarse todavía algunos años más. De hecho, en 1775 la Academia de Ciencias de París dejó de admitir trabajos que demostraban la supuesta cuadratura del círculo. Pero si el gran matemático suizo Leonhard Euler fue el primero que trabajó con las funciones trigonométricas relacionándolas con la circunferencia x^2+y^2=1, Lambert hizo lo mismo con la hipérbola x^2-y^2=1 desarrollando las equivalentes funciones hiperbólicas: \sinh, \cosh y \tanh, así como el desarrollo de una nueva geometría hiperbólica. Y de forma análoga a las identidades de Euler, Lambert hizo lo propio:
\sinh=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
\cosh=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
e^x=\sinh x+\cosh x
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