Categoría: Trigonometría

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Oposiciones Matemáticas. Práctico de la Comunidad de Madrid 2018.

Hola, muy buenas.

En esta entrada voy a resolver los ejercicios del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad de Madrid en 2018. Esta prueba constaba de cuatro ejercicios. El primero era de geometría y trigonometría, el segundo de funciones, el tercero de series de potencias y determinantes y el último de probabilidad.

Además en las siguientes entradas puedes encontrar otros prácticos también resueltos:

En el práctico de Madrid ninguno de los cuatro ejercicios era excepcionalmente difícil. La realidad es que con algunas pequeñas cuestiones que se salían de lo impartido en 2º de Bachillerato, una gran parte de los contenidos eran propios de dicho curso.

Ejercicio 1.

Sean C y C' dos circunferencias concéntricas de radios r y r' respectivamente, con r<r'. En la corona limitada por C y C' existen ocho circunferencias donde cada C_i es tangente a C_{i+1} para i=1,2\ldots 7, y C_8 es también tangente a C_1. Determine el valor de \frac{r'}{r}.

Ejercicio 2

Sean a y b dos números reales positivos. Demuéstrese que si a<b<e entonces a^b<b^a, y que si e<a<b entonces a^b>b^a.

Ejercicio 3

Calcule el límite en el infinito de la sucesión A_n, siendo A_n el siguiente determinante:

A_n=\left|\begin{array}{crrrrrr}1&-\frac{1}{2}&0&0&0&\ldots&0\\ x&1&-\frac{1}{3}&0&0&\ldots&0 \\ x^2&0&1&-\frac{1}{4}&0&\ldots&0 \\ x^3&0&0&1&-\frac{1}{5}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x^{n-2}&0&0&0&0&1&-\frac{1}{n}\\ x^{n-1}&0&0&0&0&0&1 \end{array}\right|

Ejercicio 4

Un juego de dados tiene las siguientes reglas: se tiran dos dados equilibrados, numerados del 1 al 6, hasta que sumen 4 o 7; si suma 4 gana el tirador, mientras que pierde si la suma es 7. Determine la probabilidad de ganar en dicho juego.

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¿Sabes calcular el radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo utilizando el teorema del seno?

Uno de los teoremas más importantes de la Trigonometría, (que es el teorema del seno), tiene una relación más que curiosa con el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo dado.

Esta mañana, bueno para ser exactos debería decir ayer; expliqué en un grupo de 1º de Bachillerato de Ciencias dos importantes teoremas de Trigonometría Plana, a saber: el Teorema del Seno y el Teorema del Coseno (el Teorema de la Tangente suelo omitirlo).

Al acabar la explicación que por otra parte ya conocían del año pasado, resolví un par de ejemplos y puse cuatro ejercicios para que los hicieran en casa aplicando dichos teoremas.

Es curioso que en ocasiones los profesores de Matemáticas (y con esto no quiero decir que lo hagan todos, aunque yo sí que me incluyo), cuando ponemos tareas para casa analizamos mental y rápidamente el procedimiento a seguir en dichas tareas. Si dicho procedimiento nos parece apropiado que lo afiancen los alumnos ponemos entonces los problemas pertinentes.

Pues bien, ayer puse para resolver en casa cuatro problemas de aplicación de los teoremas que mencioné antes: el del seno y el del coseno.

Cual es mi sorpresa esta mañana, cuando en uno de ellos el procedimiento no era tan sencillo como pensé en un primer momento.

Obviamente se quedó sin resolver, porque en el aula no puedes llegar a dedicarle más que unos minutos; y si en ese tiempo no logras encontrar la forma de resolverlo tienes que dejarlo para el día siguiente; detener la clase no es conveniente. Pero también se generó un interesante debate en el aula, en el que se aportaron posibles soluciones al problema, aunque en este caso ninguna de ellas válida.

Relación entre el teorema del seno y el radio de la circunferencia circunscrita.

Al finalizar la hora, uno de los alumnos se me acercó y me dijo que para resolverlo se podría utilizar la siguiente fórmula:

Yo reconozco que no la conocía, era la primera vez que veía esa relación entre el teorema del seno de un triángulo y el radio de la circunferencia que lo circunscribe. Sin embargo, debo afirmar que me pareció maravillosa su sencillez.

No conocer la fórmula hirió mi orgullo, :-), así que les dije que haría un vídeo demostrándola: o ella o yo. Y como vencí en el »duelo», en este primer vídeo demuestro la igualdad:

Y en el segundo la aplico para resolver el problema en cuestión:

No sé qué mas aportar o decir. Solo que me gustaría que hayáis comprendido los procedimientos en ambos vídeos y que sepáis aplicarlos en problemas similares.

Ya sabéis que me podéis hacer los comentarios que consideréis.

Un saludo.

Jorge