En el edificio de las Matemáticas un concepto es el básico y precursor de todos los restantes, el de conjunto. Cualquier concepto, cualquier teorema, cualquier definición se basa en la premisa de conocer correctamente el concepto de conjunto. Es más, sabemos que todos los resultados o proposiciones con los que podamos trabajar en Matemáticas pueden definirse formalmente a partir de los conjuntos. Esto es, por supuesto, inviable desde el punto de vista práctico pues la combinación de definiciones, axiomas y proposiciones más sencillas nos hacen llegar a teoremas demasiado complicados como para que podamos volver a los fundamentos de una manera inmediata.
George Cantor (1845-1918) definió en el siglo XIX un conjunto como »cualquier colección, considerada como un todo, de objetos definidos y separados en nuestra intuición o en nuestro pensamiento». Esta definición, aceptada originalmente por intuitiva por la comunidad matemática tuvo en el fondo cierta controversia; si bien es cierto también, que los resultados obtenidos por Cantor no fueron invalidados cuando se trabajó con una definición más formal de conjunto.
El hecho fue que, considerar un conjunto como una familia de elementos que verifiquen una propiedad concreta, que por la propia definición de Cantor, podríamos considerar válido, condujo a diferentes paradojas.
Partamos del conjunto de todos los conjuntos, X, que es intuitivamente aceptable, pues no parece complicado pensar en un conjunto que englobe todos los conjuntos. Pero aquí ya llegamos a una contradicción, pues el mismo Cantor ya había demostrado que la potencia de un conjunto, es decir, el conjunto de sus partes tenía un cardinal estrictamente mayor que el propio conjunto, luego
card(X)<card(\mathcal{P}(X))
Esto implicaba necesariamente que X\subsetneq \mathcal{P}(X) lo que nos lleva a contradicción puesto que X era originalmente el conjunto de todos los conjuntos.
La paradoja más conocida fue la de Bertrand Russell (1872-1970), conocida como la Paradoja del Barbero. El planteamiento es muy sencillo: en un pueblo hay un barbero que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos; la pregunta que nos hacemos es: ¿quién afeita al barbero?.
Es cierto que puede parecer más un juego de palabras que proviene del mismo lenguaje, pero si ahondamos en la abstracción que percibimos detrás, llegamos a que en el fondo el problema se encuentra en la definición que tenemos de conjunto.
En primer lugar, la definición de Cantor adolecía de algo necesario en Matemáticas, es decir, de formalidad. Se creía que se podía considerar un conjunto como una familia de elementos que cumpliera una condición previa.
C=\{x\in X: \mathcal{R}(x) \text{ es cierta }\}
Sin embargo Russell consideró un conjunto A con una relación peculiar, la de no-pertenencia:
A=\{x\in X: x\notin x\}
Aparentemente no se estaba incurriendo en ninguna contradicción puesto que no se había hecho otra cosa más que definir una condición sobre unos elementos x de otro conjunto X.
Ahora nos cuestionamos: ¿A es parte de A? es decir, ¿A\in A?
La respuesta queda lejos de ser trivial, y de hecho es una de las paradojas más conocidas de las matemáticas.
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Tema 11. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.