En esta entrada voy a resolver el examen de la UNED de la asignatura Álgebra Lineal I; concretamente de febrero de 2016, y en este caso de la segunda semana. En Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números podéis encontrar otro post en el que resuelvo el examen de esta asignatura de febrero de 2018.
La asignatura de Álgebra Lineal está dividida en dos. Una primera, del primer cuatrimestre, llamada Álgebra Lineal I, y una segunda del segundo cuatrimestre llamada Álgebra Lineal II. Como veis los matemáticos no nos esforzamos mucho en caracterizar las asignaturas por nombres; de hecho recuerdo que en mi carrera tuve Geometría I, Geometría II, Geometría III, Geometría IV y Geometría V; ¿para qué cambiar, no?
Pero bueno…, bromas aparte, es cierto que los contenidos que se imparten y estudian en Álgebra Lineal I, no son los mismos que en Álgebra Lineal II, aunque es verdad que la base son los espacios vectoriales y las aplicaciones entre dichos espacios, es decir, los homomorfismos.
El examen podéis descargarlo aquí, y cómo podéis observar consta de tres ejercicios prácticos y una pregunta teórica, en la que hay que definir algunos conceptos.
La pregunta teórica se resuelve estudiando, sí, estudiando. Puede parecer de perogrullo, pero la teoría hay que estudiarla para poder entender los conceptos, y hay que dedicarle mucho tiempo porque aunque pueda parecer una tontería, cuando entiendes verdaderamente un concepto los problemas te parecen nimiedades.
Ejercicio 1
Los restantes tres ejercicios son más difíciles. El primero es un ejercicio teórico, un posible corolario que podríamos encontrarnos en un texto cualquiera de Álgebra Lineal.
Es una demostración en toda regla. Se nos plantean unas condiciones iniciales y nos piden que demostremos unas condiciones finales. Básicamente es un «si y sólo si», o cómo también podemos encontrarnos «una condición necesaria y suficiente» de que algo ocurra para que algo ocurra. Es posible que éste sea el más díficil para todos aquellos que empiezan en el grado porque al principio no es sencillo entender qué es lo que me están pidiendo ni cómo me lo están pidiendo.
No puedo dar muchas recomendaciones sobre cómo se resuelven este tipo de problemas. Nos están pidiendo una demostración, y debemos hacerla de la misma forma y con los mismos argumentos que podemos encontramos en un texto de Álgebra Lineal. Nos va a parecer muy difícil en un primer momento porque no estamos acostumbrados a ello, pero con el tiempo y viendo muchas demostraciones de teoremas, lemas y corolarios acabaremos aprendiendo a hacerlo y a conocer diferentes métodos para lograrlo.
Ejercicio 2
El segundo es un problema práctico. Se trata de trabajar con las matrices 2×2 y con dos subespacios suyos. Su resolución no es difícil si observamos que podemos «trasladarnos» al espacio vectorial 
y trabajar en dicho espacio.
Al movernos al espacio , estamos en un lugar más asequible y más conocido. Podemos hacerlo por la isomorfía que existe entre ambos, y curiosamente podemos hacerlo enumerando y ordenando las coordenadas de las matrices y las coordenadas de los vectores de , aunque desconozcamos cuál es el isomorfismo que les hace esencialmente idénticos.
Ejercicio 3
El tercer y último ejercicio es otro problema, concretamente de aplicaciones lineales, o como prefiero llamarlas, de homomorfismos.
Aunque en todos o en la inmensa mayoría de los textos de Álgebra Lineal los conceptos de aplicación lineal y homomorfismo son idénticos, a mí me gusta diferenciarlos. Yo defino un homomorfismo una aplicación entre espacios vectoriales que conserva la estructura; y defino una aplicación lineal como una aplicación entre un espacio vectorial y el cuerpo en el que se contruye. Se puede considerar a un cuerpo como un espacio vectorial; y es por ello que no estaríamos hablando de conceptos distintos (el de aplicación lineal y homomorfismo); pero cuando la aplicación es sobre 
, la idea que subyace detrás no es la de conservar la estructura. Recordad a este respecto los espacios duales de los espacios vectoriales; que no son más que los espacios de las aplicaciones lineales sobre el cuerpo del espacio vectorial.
De todas formas el nombre que le pongamos es, obviamente, lo de menos. Cuando en Matemáticas se estudia un conjunto, y por tanto se estudia su estructura con operaciones internas o externas que contenga, se estudian después las aplicaciones que conservan dicha estructura. Los homomorfismos son dichas aplicaciones.