En el desarrollo de este tema no nos vamos a centrar en límites de funciones reales de variable real, sino que vamos a generalizarlas. En una primera parte nuestras funciones estarán definidas sobre espacios métricos, sabiendo que, en este caso, no podremos desarrollar todo con excesiva profundidad.
Tenemos que entender tres o cuatro conceptos básicos necesarios para comprender lo que ocurre con las funciones reales de variable real.
En primer lugar el concepto de límite de una función y por extensión el de continuidad están asociados al concepto de topología. Es necesario saber cuándo dos puntos están cerca uno del otro y también es necesario decir cuándo un límite se aleja al infinito. La topología nos informa de la cercanía de dos puntos, así que con ella estaremos en condiciones de hablar de límites en un punto y de continuidad.
En segundo lugar, además de las funciones definidas sobre espacios métricos, también estudiaremos aquellas definidas en \mathbb{R} y con valores en \mathbb{R}, y este espacio es un espacio muy particular. La topología en \mathbb{R}, la que utilizamos de forma habitual en Análisis, es la de los intervalos abiertos, (a,b)=\{x\in\R:a<x<b\}; y esta proviene de la distancia asociada al valor absoluto, d(x,y)=|x-y|. Se conoce como la topología usual en \mathbb{R}.
Y en tercer lugar, y aunando las dos ideas anteriores; una métrica en un espacio induce una topología asociada que se denomina topología métrica. Así pues, las topologías que necesitamos en dos espacios X_1 y X_2 para estudiar los límites y la continuidad de funciones entre dichos espacios provendrán de métricas definidas sobre ellos.
Comencemos por el principio, definiendo el concepto de métrica o distancia.
Definición:
Dado un conjunto X, diremos que la aplicación
d:X\times X\longrightarrow \R^+\cup {0}
es una distancia si verifica:
- Para cualquier x,y\in X se tiene que d(x,y)\geq 0 (d(x,y)=0 si y solo si x=y). Es decir, la distancia entre dos puntos distintos es siempre positiva; y si es cero es que son el mismo punto.
- Para cualquier x,y\in X se tiene $d(x,y)=d(y,x)$; o dicho de otra forma, la distancia es una aplicación simétrica.
- Para cada x,y,z\in X se tiene d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z); conocida como la »desigualdad triangular»
Al espacio (X,d) se le llama espacio métrico.
Como ejemplo, la aplicación valor absoluto f(x)=|x| define una métrica en \R:
\begin{array}{cccl}
d:&\R\times\R&\longrightarrow &\R^+\cup{0}\\
&(x,y)&\longmapsto&d(x,y)=|x-y|\end{array}El siguiente paso es preguntarse: ¿para qué necesitamos una métrica? La respuesta natural es: para medir distancias entre puntos; pero en realidad, ¿por qué necesitamos medir distancias entre puntos?, pues porque necesitamos saber cuánto de »cerca» se encuentran dos puntos en un espacio.
Insistimos en que tiene que tener en cuenta el lector que si queremos hablar de límites de funciones o de sucesiones, y queremos hablar de convergencia, es imprescindible saber la »cercanía» existente entre puntos o la »lejanía» de estos. Y es aquí cuando entra la topología.
Definición:
Dado un conjunto X diremos que una familia \mathcal{G} de subconjuntos de X es una topología si se cumple:
a) \emptyset,X\in\mathcal{G}. Es decir, el conjunto vacío y el total son elementos de la topología.
b) La unión arbitraria de elementos de \mathcal{T} es un elemento de \mathcal{T}, esto es, si {G_i}_{i\in I}\subset \mathcal{G}, entonces
\bigcup_{i\in I}G_i\in \mathcal{T}
c) La intersección finita de elementos de \mathcal{T} es también un elemento de \mathcal{T}, es decir, si {G_j}_{j\in J}\subset \mathcal{G}, J finito, entonces:
\bigcap_{j\in J}G_j\in \mathcal{T}A cada elemento de la topología se le llama »abierto», por lo que las propiedades anteriores se pueden traducir en: el vacío y el total son abiertos, la unión arbitraria de abiertos es también un abierto y la intersección finita de abiertos es abierta.
Por definición, y lo incluiremos también, al complementario de un abierto se le llama cerrado.
Definición
Diremos que un conjunto C\subset (X,d) es un cerrado si su complementario es un elemento de la topología, es decir, =X-C=X\setminus C=\overline{C}\in\mathcal{T}
Continuemos ahora con la introducción de los abiertos a partir de una métrica, es decir, con la definición de topología asociada a una métrica. Comenzamos con la definición de bola.
Definición:
Dado un espacio métrico, (X,d), llamaremos bola abierta de centro x_o\in X y radio r>0, al subconjunto de X:
\mathcal{B}(x_o,r)=\{x\in X:d(x,x_o)<r \}Definición:
Dado un espacio métrico, (X,d), diremos que un subconjunto G es abierto, es decir, G\in\mathcal{T}_d si para cada elemento x_o\in G existe un cierto r_o tal que \mathcal{B}(x_o,r_o)\subset G.
Lo interesante es que el conjunto de abiertos definidos a partir de la definición anterior tiene la estructura de una topología; es decir, el vacío y el total son abiertos, la unión arbitraria de abiertos es abierta y la intersección finita también es abierta.
Teorema
Si (X,d) es un espacio métrico, entonces
\mathcal{T}=\{G\subset X:\forall x\in G, \exists r>0 \text{ tal que }B(x,r)\subset G\}
es una topología en X.
De esta forma, un espacio métrico es a su vez un espacio topológico, con una topología asociada, que denotaremos (X,\mathcal{T}_{d}), o sencillamente (X,d), si damos por hecho que la topología es la que viene dada por d.
Una vez que tenemos algunas de las características básicas de los espacios métricos, uno de los pasos naturales que siguen a continuación es estudiar las funciones que »conservan» las métricas, o en este caso que »conservan» las topologías. Estas funciones son conocidas como funciones continuas.
De todas formas, no adelantemos acontecimientos. Necesitamos la introducción de otro concepto topológico, el de punto de acumulación. Así pues:
Definición:
Dado (X,d) un espacio métrico y dado x_o\in X, diremos que x_o es un punto de acumulación de X si para todo \epsilon>0 se cumple [/katex](\mathcal{B}(x_o,\epsilon)\setminus{x_o})\cap X\neq \emptyset[/katex].
\end{defin}
En esencia, un punto x_o es de acumulación cuando podemos encontrar puntos de X tan cerca de él como queramos. Al conjunto de puntos de acumulación de X se le denota como X'.
Es importante señalar que un punto de acumulación no tiene porqué pertenecer al conjunto, es decir, el hecho de afirmar que x_o\in X' no implica necesariamente que x_o\in X. Un ejemplo de ello son los extremos del intervalo (a,b)\subset \R con la topología usual en los reales. Es trivial que a y b son de acumulación y no pertenecen al intervalo.
Cuando se estudian los puntos de acumulación de un conjunto con una topología, en realidad lo que se está diciendo es que es posible encontrar una sucesión de dicho conjunto que converja y lo haga precisamente a dicho punto de acumulación. Recordemos brevemente el concepto de límite de una sucesión en un espacio topológico.
Definición:
Dado (X,\mathcal{T}) un espacio topológico y {x_n}\subset X una sucesión. Diremos que {x_n} converge a x_o\in X y lo denotaremos \lim_{n\to \infty}x_n=x_o, si para cada abierto G de la topología que contenga al punto x_o\in G\in\mathcal{T}, existe un cierto n_o tal que para todo n>n_o se cumple que x_n\in G.
Esta definición es correcta, pero no es necesario ser tan estrictos. En realidad se puede demostrar que si se cumple para unos abiertos especiales, entonces se cumple para todos. Estos abiertos especiales son los que se llaman base de la topología.
No todos los espacios topológicos tienen la posibilidad de tener base; no obstante, en el caso de los espacios métricos, sí; las bolas son los abiertos que forman la base de su topología. Por tanto, la definición de límite de una sucesión quedaría así:
Definición:
Dado (X,d) un espacio métrico y {x_n}\subset X una sucesión. Diremos que {x_n} converge a x_o\in X y lo denotaremos \lim_{n\to \infty}x_n=x_o, si para cada \epsilon>0 existe un cierto n_o tal que para todo n>n_o se tiene d(x_n,x_o)<\epsilon.
La siguiente proposición nos ayuda a comprender en mayor medida el concepto de punto de acumulación.
Proposición:
Dado (X,d) espacio métrico, se cumple que x_o\in X', si y solo si existe una sucesión {x_n}\subset X con x_n\neq x_o para todo n y tal que {x_n} converge a x_o.
Demostración: Comenzaremos con la condición necesaria. En efecto, por ser punto de acumulación para cada \frac{1}{n}>0 existe x_n\in X, x_n\neq x_o tal que d(x_n,x_o)<\frac{1}{n}.
Dado \epsilon>0, sea n_o\in\N tal que \frac{1}{n_o}<\epsilon (esto es posible por la propiedad arquimediana\footnote{La idea del Axioma de Arquímedes es que no existen elementos infinitamente grandes ni infinitamente pequeños. En el conjunto de los reales, el axioma se denomina Propiedad Arquimediana y se enuncia de la siguiente forma: dados x,y\in \R, x,y>0, existe n\in\N tal que nx>y.} de mathbb{R}). Por tanto, para n>n_o resulta que d(x_n,x_o)<\frac{1}{n}<\frac{1}{n_o}<\epsilon.
La condición suficiente es trivial.
Ya estamos en condiciones de comenzar el tema, tenemos las definiciones y los conceptos mínimos para empezar a desarrollar resultados. Nuestro tema no tiene que ver con límites de sucesiones, aunque estas se vayan a encontrar presentes de forma implícita (y en algún caso explícita), a lo largo de todas las secciones.
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Tema 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades. Teorema de Bolzano. Ramas infinitas.