Series de potencias - Jorge Morra

20/03/202020/03/2020

Oposiciones Matemáticas. Práctico de la Comunidad de Madrid 2018.

Hola, muy buenas.

En esta entrada voy a resolver los ejercicios del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad de Madrid en 2018. Esta prueba constaba de cuatro ejercicios. El primero era de geometría y trigonometría, el segundo de funciones, el tercero de series de potencias y determinantes y el último de probabilidad.

Además en las siguientes entradas puedes encontrar otros prácticos también resueltos:

En el práctico de Madrid ninguno de los cuatro ejercicios era excepcionalmente difícil. La realidad es que con algunas pequeñas cuestiones que se salían de lo impartido en 2º de Bachillerato, una gran parte de los contenidos eran propios de dicho curso.

Ejercicio 1.

Sean $C$ y $C'$ dos circunferencias concéntricas de radios $r$ y $r'$ respectivamente, con $r<r'$ . En la corona limitada por $C$ y $C'$ existen ocho circunferencias donde cada $C_i$ es tangente a $C_{i+1}$ para $i=1,2\ldots 7$ , y $C_8$ es también tangente a $C_1$ . Determine el valor de $\frac{r'}{r}$ .

Ejercicio 2

Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Demuéstrese que si $a<b<e$ entonces $a^b<b^a$ , y que si $e<a<b$ entonces $a^b>b^a$ .

Ejercicio 3

Calcule el límite en el infinito de la sucesión $A_n$ , siendo $A_n$ el siguiente determinante:

$A_n=\left|\begin{array}{crrrrrr}1&-\frac{1}{2}&0&0&0&\ldots&0\\ x&1&-\frac{1}{3}&0&0&\ldots&0 \\ x^2&0&1&-\frac{1}{4}&0&\ldots&0 \\ x^3&0&0&1&-\frac{1}{5}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x^{n-2}&0&0&0&0&1&-\frac{1}{n}\\ x^{n-1}&0&0&0&0&0&1 \end{array}\right|$

Ejercicio 4

Un juego de dados tiene las siguientes reglas: se tiran dos dados equilibrados, numerados del 1 al 6, hasta que sumen 4 o 7; si suma 4 gana el tirador, mientras que pierde si la suma es 7. Determine la probabilidad de ganar en dicho juego.

04/04/201801/11/2019

Oposiciones Matemáticas Alicante 2009. Parte Práctica

En este post encontraréis vídeos en los que resuelvo los problemas de la parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas en la Comunidad Valenciana; y más concretamente en el 2009 y en la provincia de Alicante.

Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes.

Si os interesan también otras pruebas prácticas os dejo algunos enlaces con otras entradas de exámenes también resueltos:

Oposiciones Matemáticas Albacete 2015

Oposiciones Matemáticas Toledo 2018

Extremadura (Badajoz 2000)

Castilla y León (2018)

Aquí os vais a encontrar un total de cinco vídeos. En el primero hago solamente una introducción a los ejercicios que se proponen; y en él hablo y comento cada uno de ellos sin entrar en profundidad en su forma de resolución.

Los restantes contienen los problemas resueltos. Reconozco que con diferente dificultad cada uno de ellos; algo que ya comento en los vídeos. En definitiva, espero que no tengáis problemas en las explicaciones; pero como siempre digo, podéis enviarme una observación en el canal de youtube donde estarán colgados, o bien en este blog, o bien en el correo electrónico; lo que prefiráis.

Introducción.

Problema nº1

Sea $M_{3}(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden 3,

(i) Demostrar que el conjunto $A$ de las matrices reales antisimétricas de orden 3 es un subespacio vectorial de $M_{3}(\mathbb{R})$ y obtener razonadamente una base canónica de este subespacio.

(ii) Si $A\longrightarrow P_3(\mathbb{R})$ es la aplicación lineal definida mediante

$\text{T}\left \{ \left (\begin{array} {ccc} 0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0 \end{array} \right) \right \}:=ax+bx^2+cx^3$

hallar la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base canónica de $A$ y a la base canónica $\{1,x,x^2,x^3\}$ de $P_3(\mathbb{R})$ , y escribir la ecuación matricial de la aplicación lineal.

(iii) Hallar el núcleo y la imagen de esta aplicación lineal y demostrar que es un isomorfismo sobre el conjunto imagen $Im(\text{T})$ .

(iv) Comprobar que se cumple el Teorema de las dimensiones.

Este problema se resuelve utilizando el Álgebra Lineal y los conceptos mínimos sobre homomorfismos entre espacios vectoriales. Es sabido que todos los espacios vectoriales de una misma dimensión son isomorfos; para eso basta definir una aplicación que lleve una base de uno de ellos en una base del otro y comprobar que dicha aplicación es en realidad biyectiva. Aplicando el teorema que afirma que $V/ker f$ es isomorfo a $Im f$ , siendo $f$ un homomorfismo se llega sin dificultad al resultado que pide el problema.

Problema nº2

Sean dos segmentos AB y BC de igual longitud d que están articulados por el punto B. El punto A está sobre el origen de coordenadas y el punto C varía sobre el eje OX positivo. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de un punto P situado sobre el segmento BC a una distancia p del punto C. Dibujar el lugar.

Es, con diferencia, el de mayor dificultad de los cuatro. Sin embargo en apariencia no parece muy complicado pues enseguida me di cuenta que el lugar geométrico era una elipse, o en este caso (aunque luego no lo digo en el vídeo), un cuarto de elipse. Pero cuando se trabaja con ecuaciones de segundo grado con cuatro o cinco variables la «cosa» se complica; y a mí se me complicó.

Dediqué al problema más tiempo que a lo dedicado a los otros tres juntos; desde luego bastante más de tres horas, y utilizando las ecuaciones cartesianas no conseguí resolverlo.

Cuando finalmente obtuve un resultado que parecía válido me di cuenta que no era correcto; así que tuve que volver a empezar, pero ahora cambié las coordenadas cartesianas por coordenadas polares; y con la demostración de un resultado de trigonometría aplicado a triángulos isósceles llegué a la elipse buscada.

Problema nº3

Calcular la longitud del arco de curva $y=\ln\frac{e^x-1}{e^x+1}$ comprendido entre los puntos de abscisa 2 y 4.

En este ejercicio se pide calcular la longitud del arco de una curva (que resulta ser una función), entre dos puntos de abscisa 2 y 4. Es necesario conocer la fórmula que nos da la longitud, que viene dada por una integral; y es necesario también conocer el cambio de variable a efectuar, así como la resolución de integrales racionales. Yo no conozco de memoria dicha fórmula, y en el vídeo muestro cómo se puede deducir utilizando los conocimientos mínimos sobre integrales definidas, áreas y longitudes.

Problema nº4

Se lanza un dado hasta que aparezcan tres resultados distintos. Calcular el número medio de lanzamientos que hay que realizar.

Este último problema es de probabilidad en el que utilizo la Regla de Laplace. Para calcular tanto los casos favorables como los posibles utilizo la Combinatoria explicando cada uno de los pasos.

Sin embargo la cuestión que plantea el problema no es la probabilidad de que los lanzamientos se detengan en la tirada enésima, sino la media del número de lanzamientos que hay que realizar. Como no tenemos un número máximo de tiradas, éste nunca acaba, lo que conlleva la suma de una serie de infinitos términos. Para sumar dicha serie utilizo las series de potencias y algunos teoremas de integrales o derivadas de series uniformemente convergentes.

Espero que todos los vídeos os hayan gustado, que se hayan entendido sin demasiados problemas y que os faciliten la tarea de estudiar la parte práctica de la oposición.

Ya sabéis que podéis hacer cualquier comentario en el blog, en el canal de Youtube, o en mi correo electrónico.

Un saludo.

Jorge

11/10/201705/04/2018

¿Polinomio de Taylor? ¿Funciones analíticas? ¿Conoces la relación entre el Polinomio de Taylor y las Funciones Analíticas?

En este post vamos a introducir dos nuevos conceptos en Matemáticas: ¿para qué sirve el Polinomio de Taylor? y ¿qué son las Funciones Analíticas?

El concepto de Función Analítica está profundamente estudiado, tanto en el cuerpo de los números Complejos como en el de los números Reales. La idea que subyace detrás de la definición de una función analítica es la de poder estudiarla sustituyéndola por otra función más sencilla con la que podamos operar con más facilidad.

Las funciones más sencillas son los polinomios; podemos derivarlos e integrarlos sin dificultad, conocer sus máximos o mínimos con poco más que estudiar su grado, calcular sus valores en puntos concretos con pocas operaciones… Podemos en general estudiarlos de forma relativamente sencilla.

Así que si aproximamos una función en un punto por medio de un polinomio conoceremos cómo es dicha función estudiando al polinomio en ese punto.

De ahí sale la idea entonces. Taylor consideró, allá por el siglo XVIII que había funciones que en puntos de su dominio podían aproximarse por un polinomio concreto. Dicho polinomio, que posteriormente se llamó el Polinomio de Taylor, dependía de la cantidad de veces que la función era derivable en dichos puntos. Sin embargo, el hecho de que aproximara a la función dependía además de que a medida que aumentáramos su grado, el valor en puntos cercanos se acercaba a cero.

Teorema de Taylor

Este resultado es lo que se considera el Teorema de Taylor; que afirma que la condición necesaria y suficiente para que una función sea analítica en un punto, es que sea derivable infinitas veces en dicho punto, y que el resto del Polinomio de Taylor de grado n tienda a cero cuando n tienda a infinito; todo ello en un entorno suficientemente pequeño de dicho punto.

Obviamente, lo escrito hasta ahora puede confundir al que lo está leyendo; y no quiero que eso ocurra. Piensa solamente que las funciones analíticas son aquellas que pueden ser aproximadas por polinomios en puntos concretos. El objetivo es trabajar con los polinomios que las aproximan que con dichas funciones.

En el cuerpo de los Complejos las condiciones que implican que una función sea analítica son menos restrictivas y no se van a estudiar en este post, ni en el video que tienes a continuación.

En dicho video analizaremos someramente los conceptos que he estado tratando hasta ahora con un ejemplo de la función analítica por excelencia que es la exponencial. Espero que os guste, y que si tenéis dudas o si queréis hacer algún comentario hacedlo; y si os puedo ayudar o queréis que profundice más en el tema, solo tenéis que decírmelo.

Por último, en la entrada:

Oposiciones Matemáticas Alicante 2009. Parte Práctica

podéis encontrar un problema en el que se utiliza la serie de Taylor para resolverlo. Concretamente el cuarto; y aunque es de probabilidad, la suma de las series que hay que realizar son en realidad series de Taylor.

Un saludo.

Jorge