Una sucesión de números reales es una aplicación de \mathbb{N} en \mathbb{R} tal que denotamos como a_1 a la imagen del 1, como a_2 a la imagen del 2, y en general a_n a la imagen de n.
De forma natural también diremos que a_1 es el primer término de la sucesión, a_2 el segundo término y generalizando también a_n es el enésimo término. Lo simbolizamos escribiendo: \{a_n\}_{n=1}^\infty
Es habitual definir una sucesión \{a_n\}_{n=1}^\infty de una de las dos formas siguientes:
De forma recurrente:
Es una regla que permite calcular cada término a partir de los anteriores. Por ejemplo a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, con a_1=1 y a_2=1 (sucesión de Fibonacci); o también a_n=\sqrt{a_n+1}, con a_1=1.
De forma explícita:
Es una fórmula que permite hallar directamente cada término a_n, a partir del lugar que ocupa, es decir, a partir de n. En estos casos diremos que la sucesión está definida a partir de su término general. Por ejemplo: a_n=n, que es la sucesión de los Naturales; o a_n=n^2+2n+2, o incluso a_n=\frac{1}{n-1}, aunque no se encuentre definida para n=1.
Sin embargo, aunque las dos formas anteriores son las más habituales para definir una sucesión, lo cierto es que ésta puede venir dada por una regla que no parta de ninguna fórmula, ni tampoco de una forma recurrente. Por poner un ejemplo sencillo, podríamos considerar la sucesión que asigna a cada n el enésimo decimal de la sucesión de decimales de \pi. Es claro que de esta sucesión no conocemos más que un número finito de elementos, pero eso no quiere decir que tal sucesión no se encuentre bien definida, aunque no dependa de una fórmula concreta.
El desarrollo del tema al completo puedes encontrarlo en amazon, en formato kindle o en formato papel como prefieras. También aquí puedes encontrar la relación de los temas que he publicado hasta ahora; y en el siguiente enlace puedes descargarte las primeras páginas:
En esta entrada encontraréis los vídeos en los que resuelvo los problemas de la parte práctica de las oposiciones de Matemáticas de la comunidad de Castilla y León; concretamente del año 2018.
En su momento me llamaron la atención porque oí que la dificultad del mismo había sido excesiva. Sin embargo hasta este mes de octubre no me he decidido finalmente a resolverlos; después a hacer los vídeos, editarlos y subirlos al canal que tengo en YouTube.
Es verdad que si los comparamos los problemas con los de Madrid o de Castilla la Mancha, también del año 2018, ganan abrumadoramente, porque de media son claramente más difíciles. Dicho esto, también creo que aunque es literalmente imposible hacerlos todos en el tiempo que os dan, no es complicado hacer dos o con algo de suerte incluso tres. Es verdad también que centrarse en los más fáciles no es factible puesto que en el examen desconoces cuáles son asequibles y cuáles no. Podéis descargaros el práctico aquí.
Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:
La idea consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones se encuentran restringidas a algunos números enteros.
Problema 2
El segundo problema es, en mi opinión, el más complicado de los cinco. Nos dan una función continua y positiva definida sobre el intervalo unidad; y después nos piden que demostremos que existe un punto en el que f(x)=f(x+f(x)). Bueno, el problema no dice exactamente esto, pero sí es su esencia.
Sea f:[0,1]\rightarrow [0,\infty] una función continua tal que f(0)=f(1)=0 y \forall x\in (0,1), f(x)>0. Demostrar que existe un cuadrado con dos vértices en el intervalo (0,1) del eje de abscisas y los otros dos en la gráfica de f.
Problema 3
Aquí se nos pide que realicemos el producto infinito de una sucesión recurrente. Cuando tengamos que realizar la suma de una serie infinita o un producto infinito de una sucesión, tendremos que recurrir en la mayoría de las ocasiones a conocimientos ajenos a lo que nos están pidiendo. Curiosamente en este problema no se da el caso. Podremos resolverlo recordando el producto de otra sucesión muy conocida, que es la de Viète.
Dada la sucesión (x_n)_{n\in \mathbb{N}} definida recurrentemente por x_1=\sqrt{2} y </em>\forall n\in \mathbb{N}: x_{n+1}=\sqrt{\frac{2x_n}{1+x_n}}Calcular: \prod_{n=1}^\infty x_n
Problema 4
Los problemas 4 y 5 forman parte del mismo ejercicio, lo que significa que puntuando sobre 10, cada uno de ellos vale 1,25. El 4º es sobre un lugar geométrico, en el que se utilizan conceptos de geometría de la circunferencia y del triángulo. No es nada difícil, podéis comprobarlo vosotros mismos.
Sea \mathcal{C} una circunferencia y en ella dos puntos distintos, no diametralmente opuestos A y B. Describir el lugar geométrico del ortocentro de los triángulos ABC, siendo C un punto de \mathcal{C} distinto de A y B.
Problema 5
Este último problema forma parte junto con el 4º, del ejercicio 4. También vale 1,25 puntos y es, después del segundo, de los más largos. Es un problema de probabilidad y se trata de valorar cuánto puede valer un cierto a positivo para que se cumplan una serie de condiciones. Nos enfrentamos a un planteamiento no muy complicado que sí tiene diferentes casos y unas cuantas operaciones relativamente sencillas. Al final, lo cicho: algo largo.
Se eligen aleatoriamente los números b,c\in[0,a]. La probabilidad de que la distancia en el plano complejo de las raíces del polinomio z^2+bz+c no sea mayor que 1, no es menor que 0,25, hallar a.
No existen fórmulas para aprender a resolver problemas, salvo haber resuelto muchos. Mi recomendación es que intentéis el práctico vosotros mismos, sin ver ninguno de los vídeos; y solo después de haber dedicado bastante tiempo a cada problema visualizar como los resuelvo yo.
Por último deciros que podéis hacerme llegar cualquier comentario, bien a través del blog, bien a través de mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.
