El concepto de número es posiblemente el concepto más importante que podemos encontrarnos en todo el edificio de las matemáticas. Se forma a través de un prolongado desarrollo histórico, a partir de cuando el hombre es capaz de diferenciar una parte de varias; y concluye cuando las necesidades internas de la propia ciencia necesita de su concreción. El surgimiento y la formación de este concepto tuvieron lugar a la par del nacimiento y desarrollo de las matemáticas.
Al comienzo se trataba únicamente de la necesidad de poder contar y diferenciar objetos de forma abstracta. En muchas culturas la introducción de los primeros números no se hizo abstrayendo el concepto de lo que querían diferenciar sino que en la propia palabra o expresión se incluía lo que se contaba; así, tres árboles tenía una expresión distinta que tres animales; puesto que posiblemente para el hombre primitivo no era necesario saber contar para establecer si un cierto conjunto estaba completo.
Es de rigor afirmar que independientemente de los comienzos, la necesidad de contar objetos conjunto al surgimiento del concepto abstracto de número natural. Las primeras formas nacen básicamente por la necesidad de transmitir información acerca de la cantidad de elementos de un conjunto concreto; utilizando en algunos casos partes del cuerpo humano, palos, piedras, muescas, nudos en cuerdas, etc. A este respecto se han encontrado huesos en Europa con marcas que bien pudieran ser formas de registrar un calendario lunar. Sin embargo hasta que no se introduce la escritura no encontramos los primeros vestigios de los primeros sistemas de numeración que abstraían el concepto de número natural.
El paso siguiente de la abstracción es la forma de escribir el número, y para ello comienzan a surgir los primeros sistemas de numeración. El proceso de formación del que utilizamos en la actualidad ha sido el final de una serie muy entremezclada de sistemas de numeración diversos y con distintas posibilidades. En épocas muy cercanas en el tiempo podemos encontrarnos diferentes formas de denotar los números y las operaciones que podían hacer entre ellos.
A lo largo de la historia los pueblos han ido adoptando el concepto de número natural y han trabajado con él de distintas formas. La misma ciencia es la que a partir del siglo XV comienza a necesitar ampliar el concepto de natural a un nuevo conjunto, el de los enteros, al introducir dos nuevas ideas: el cero y los negativos. Posteriormente fueron necesarias nuevas ampliaciones por la necesidad de las propias matemáticas. Los enteros al resolver ecuaciones que en los números naturales no tenían solución; los racionales como cuerpo de fracciones del dominio de integridad de los enteros; los reales como único cuerpo ordenado, arquimediano y completo que incluye a los racionales; los complejos como extensión algebraica de los reales resolviendo aquellas ecuaciones con raíces negativas; y por último los cuaterniones como necesarios para interpretar y operar con magnitudes físicas que requirieran de varias coordenadas.
A comienzos del siglo XIX, como consecuencia de los grandes éxitos del cálculo diferencial, muchos matemáticos pensaron que era necesario argumentar las bases del análisis, es decir, la teoría de los límites. El número natural se concebía como un conjunto finito de unidades, el racional, como una razón de ciertas magnitudes, el real, como la longitud de un segmento en la recta y el complejo como un punto en el plano. Sí estaba claro que cada nuevo conjunto de números tenía que ser una extensión algebraica del anterior, lo que implicaba que las operaciones definidas tenían que conservarse de unos a otros.
Desde esta perspectiva se formuló el llamado »principio de permanencia de las leyes formales del cálculo». Esta máxima indicaba que cada vez que construyera un nuevo sistema numérico, más amplio que el inicial, las operaciones debían generalizarse de modo que se conservaran las leyes de las operaciones que ya tenían los números.
Esta idea, junto con la opinión generalizada de que la construcción de las matemáticas debía pasar por el método axiomático basado en la teoría de conjuntos, indujo a los matemáticos de finales del XIX a definir nuevos sistemas numéricos utilizando la noción de »extensión de un sistema algebraico». Para este proceso se entendía que los axiomas no eran más que las relaciones y operaciones algebraicas satisfechas por un conjunto en unas determinadas condiciones. Así por ejemplo se definen los naturales, o incluso los reales.
El principio de permanencia podría formularse de la siguiente forma:
Definición: Principio de permanencia
El sistema algebraico A' se denomina extensión del sistema algebraico A si el conjunto fundamental de A es un subconjunto del conjunto fundamental de A', siempre que exista una aplicación biyectiva del conjunto de las relaciones del sistema A' en el conjunto de las relaciones del sistema A y, si para cualquier juego de elementos del sistema A, en cuyo caso de cumple alguna relación de este sistema, se verifica la correspondiente relación del sistema A'.
En esencia este principio viene a decir que en toda ampliación del concepto de número deben conservarse las leyes formales (conmutativa, asociativa,…) de las operaciones aritméticas.
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Tema 10. Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Evolución histórica y problemas que resuelve cada una.
