Álgebra Lineal - Jorge Morra

06/12/202006/12/2020

Tema 19. Determinantes. Propiedades. Aplicación al cálculo del rango de una matriz

Aunque se definen a partir de las matrices, los determinantes no comienzan su andadura hasta después de haberlo hecho éstas. Lo cierto es que a lo largo de la historia han ido apareciendo esporádicamente con unos u otros pueblos. En la antigua China, en los Nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas, aparecen las primeras menciones a las matrices y a los determinantes. Concretamente en el capítulo séptimo se aplica la Regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) introdujo los determinantes en algunos de sus trabajos. Su idea era básicamente la resolución de ecuaciones lineales y lo llamó resultante. Curiosamente algunos años antes un matemático japonés, Seki Kowa (1642-1708), había llegado a los mismos resultados que Leibnitz. Algo sorprendente porque las matemáticas en Japón no tenían el alcance al que ya habían llegado en occidente.

Años después Colin Maclaurin (1698-1746) elaboró un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes, concretamente la conocida Regla de Cramer, que ya hemos nombrado anteriormente. No obstante la notación utilizada por Maclaurin era más farragosa que la que después utilizó Cramer. Esto derivó en que finalmente dicha regla se denominara con el nombre de este último. En cualquier caso ni Cramer ni Maclaurin hablaban en su desarrollo de nada parecido a los determinantes.

En años posteriores matemáticos tan importantes como Laplace (1749-1827) o Vandermonde (1735-1796) los incluyeron en algunos de sus trabajos. Concretamente éste último introdujo su famoso determinante en 1772, en su obra «Memoria sobre la resolución de ecuaciones«. El origen de la teoría de los determinantes puede concretarse en 1812, en una memoria de Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Aqui, este ilustre matemático llegó a demostrar que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes.

Pero Cauchy no desarrolló el determinante utilizando permutaciones, ni tampoco con los menores complementarios, o como luego se denominó Regla de Laplace (distinta de la de probabilidades), sino que lo hizo con un complicado procedimiento partiendo de $n$ números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y utilizando los productos entre ellos y sus diferencias. De todas formas el trabajo de 1812 no fue el único en el que Cauchy utilizó los determinantes, sino que en otros posteriores los usó para resolver problemas geométricos o físicos.

Años después, en 1841 un matemático alemán, Carl Gustav Jakov Jacobi (1804-1851), publicó varios tratados sobre determinantes en los que generalizaba los términos o elementos permitiendo que fueran funciones además de números y formalizaba el procedimiento algorítmico de su desarrollo. Ese mismo año fue Cayley el que los denotó como ha llegado hasta nuestros días, con dos barras verticales; y en 1958 los utilizó para el cálculo de la matriz inversa.

El desarrollo del tema al completo puedes encontrarlo en amazon, en formato kindle o en formato papel como prefieras. También aquí puedes encontrar la relación de los temas que he publicado hasta ahora; y en el siguiente enlace puedes descargarte las primeras páginas:

Tema 19. Determinantes. Propiedades. Aplicación al cálculo del rango de una matriz .

11/09/202011/09/2020

Práctico Oposiciones Matemáticas Navarra 2018

En esta entrada encontrarás resueltos los problemas del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad Foral de Navarra de 2018.

Son un total de cuatro problemas ninguno de ellos difícil. Cuando los leí en un primer momento, me pareció que dos eran asequibles y con los otros dos podía encontrar al menos una forma de enfrentarme a ellos. De todas formas no es lo mismo intentar resolverlos en casita con un café, aire acondicionado y todo el tiempo del mundo que en una oposición con 40 grados y treinta minutos por problema.

Problema 1

El primero es de espacios vectoriales, concretamente de la suma de dos subespacios y de su intersección. No tuve la sensación de dificultad al leerlo. Aparentemente se trataba de trabajar con rangos de matrices, con sistemas de ecuaciones lineales y de encontrar bases de subespacios. Una complicación algo mayor que la que podemos encontrarnos en la EBAU, pero nada fuera de lo normal.

Si quieres profundizar en el tema de espacios vectoriales puedes hacerlo en el enlace:

Tema 12. Espacios vectoriales. Variedades lineales. Aplicaciones entre espacios vectoriales. Teorema de isomorfía

Dados los siguientes subespacios vectoriales $S_1$ y $S_1$ de $\mathbb{R}^4$ :

S_1=<(1,1,-2,1),(0,1,-1,2),(2,-1,-1,-4)>

S_2=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:3x+az=0;\;\;x-2y-2t=0\}

Hallar $a$ para que $S_1+S_2$ sea distinto de $\mathbb{R}^4$ . En este caso, obtener la dimensión y una base de $S_1\cap S_2$ .

Problema 2

En el problema 2 se trataba de resolver una ecuación de grado 4. Lo primero que pensé era que el problema me iba a resultar difícil porque no recordaba las fórmulas de Ferrari para resolver una ecuación de este tipo. Lo bueno es que enseguida descubrí que no eran necesarias. El paso previo era efectuar un cambio de variable que simplificara la ecuación eliminando el término de grado 3, y al hacerlo la ecuación que resulta es simplemente una bicuadrática.

Puedes leer algo sobre el tema de ecuaciones algebraicas en el enlace:

Tema 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.

Dada la ecuación $x^4+4x^3-2x^2-12x+k=0$ , con $k\in\mathbb{R}$ . Se pide:

a) Discutir las soluciones de la ecuación en función de los valores del parámetro $k$ .

b) Resolver la ecuación si $k=-27$ .

Problema 3

El tercer problema es de envolventes. La característica principal de esta curva es que tiene buenas propiedades de tangencia con cada línea de la familia de la cual es la envolvente. Esta idea se concreta en un sistema de ecuaciones.

Demostrar que la astroide de ecuación $x^{2/3}+y^{2/3}=L^{2/3}$ es la envolvente de la familia de segmentos móviles de longitud constante $L$ , cuyos extremos se apoyan en los ejes de coordenadas.

Problema 4

El cuarto y último problema es de estadística. Nos dicen que la llegada del número de piezas por minuto a una máquina sigue una distribución de Poisson y nos formulan una pregunta sobre probabilidad condicionada. Además nos dan otra variable que indica el tiempo que transcurre entre la llegada de dos piezas pidiéndonos en este caso la función de distribución. Ninguna de las cuestiones era difícil, aunque en mi opinión la primera no estaba bien planteada.

El número de piezas por minuto que llegan a una máquina en una industria automovilística es una variable aleatoria $X$ que sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$ . Y el tiempo, en minutos, que transcurre entre las llegadas de un par de piezas, es una variable aleatoria $T$ cuya función de densidad es:

f(t)=\left\{\begin{array}{ccc} \lambda^2te^{-\lambda t}&\text{si}&t\geq 0\\ 0&\text{si}&t<0 \end{array} \right.

Suponiendo que $\lambda=3$ en ambas variables aleatorias. Se pide:

a) Si en un período de 120 segundos ya han llegado al menos 3 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que en ese período lleguen como mucho 2 piezas más?

b) Obtener la función de distribución de probabilidad acumulada de $T$ , y utilizarla para calcular la probabilidad de que transcurran menos de 90 segundos entre las llegadas de un par de piezas.

24/02/201901/11/2019

Oposiciones Matemáticas. Extremadura. Badajoz (2000)

[mathjax]

En esta entrada voy a resolver el ejercicio práctico de las oposiciones de Matemáticas en la Comunidad de Extremadura, en Badajoz, en el año 2000.

Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

También podéis encontrar temas desarrollados en los enlaces:

Este práctico constaba de cuatro problemas o ejercicios. Ninguno de ellos especialmente complicado, y con tiempo os daréis cuenta que podéis resolverlos sin excesivas complicaciones.

Problema 1

El primer de ellos es un problema de espacios duales.

Sea $E$ el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos y sea $\{w_1,w_2,w_3\}$ la base dual de la base canónica $\{1,x,x^2\}$ .

Consideramos la base del espacio dual $E^*$ definida por las aplicaciones $\overline{w_1}$ , $\overline{w_2}$ y $\overline{w_3}$ :

$\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1p(x)dx$

$\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1x\cdot p(x)dx$

$\overline{w}_3(p(x)):=\int_0^1x^2\cdot p(x)dx$

(a) Halla las coordenadas de $\overline{w}_1$ , $\overline{w}_2$ y $\overline{w}_3$ en la base $\{w_1,w_2,w_3\}$ .

(b) Determina la base de $E$ para la que $\{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\overline{w}_3\}$ es su base dual.

Su resolución pasa por conocer conceptos importantes en Matemáticas, como es el de espacio dual. El conjunto de las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre el cuerpo en el que está construido tiene estructura a su vez de espacio vectorial; y es lo que se denomina el «espacio dual» asociado al espacio vectorial original. La demostración de que verifica las propiedades de e.v. no es complicada e invito a que lo intentéis vosotros mismos sin necesidad de consultar ningún libro de Algebra Lineal. Es curioso a su vez, que la dimensión que tiene dicho espacio coincide, en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita, con la dimensión de su espacio original. Sin embargo en el caso de e.v. de dimensión infinita, este hecho no es cierto.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Espacios Duales

Por otra parte, aunque en el problema solo se incide sobre la parte algebraica, siempre se puede considerar la parte topológica. En este caso, cuando trabajemos con espacios vectoriales topológicos, es decir, espacios vectoriales en los que asociamos una topología (dada habitualmente por una norma o una métrica), bien espacios de Banach, o espacios de Hilbert; los espacios duales asociados también mantienen la misma dimensión e incluso topologías análogas siempre que ésta sea finita; y distintas siempre que las dimensiones sean infinitas. Los e.v.t. se estudian principalmente en los textos de Análisis Funcional.

Problema 2

El segundo problema de este examen práctico es de Geometría en el plano. Consiste en calcular el área de un polígono definido a partir de otro del cual ya conocemos su superficie. Una vez que hayamos hecho el dibujo, que por otra parte no es muy difícil, el procedimiento para resolver el problema no es nada complicado. Se trata de «dividir» la superficie a calcular en triángulos y calcular el área de dichos triángulos. Si se siguen los pasos adecuados se llega al resultado sin excesiva complicación.

Sea un cuadrilátero convexo de vértices $ABCD$ y superficie $Sm^2$ . Se prolonga el lado $AB$ por el punto $B$ hasta un punto $M$ de forma que la longitud de $BM$ se igual a la mitad de la longitud del lado $AB$ . Análogamente se prolonga el lado $BC$ por el punto $C$ hasta el punto $N$ de forma que $CN=\frac{1}{2}BC$ . El lado $CD$ se polonga por $D$ hasta $P$ tal que $DP=\frac{1}{2}CD$ y por ultimo el lado $DA$ se prolonga por $A$ hasta $Q$ , tal que $AQ=\frac{1}{2}DA$ .
Halla la superficie del cuadrilátero de vértices $MNPQ$ .

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Geometría

Como en todos los ejercicios que resuelvo en los vídeos, mi recomendación es que intentéis hacerlos vosotros antes de ver la resolución. A los problemas, y esto es algo que ya me habéis oído decir en numerosas ocasiones, hay que dedicarles mucho tiempo; hay que empaparse de ellos porque es la única forma de aprender a hacerlos.

Problema 3

En el tercer problema nos piden que calculemos el volumen de un sólido definido a partir de los tres planos coordenados y del movimiento de una recta que se apoya en otras dos rectas. Es una superficie reglada. Es posiblemente el ejercicio más difícil de este práctico.

Calcula el volumen del sólido limitado por los planos cartesianos y por la superficie reglada engendrada por el movimiento de una recta que se conserva paralela al plano $XOZ$ , apoyándose en las rectas $r_1:{x=0,z=2}$ y $r_2:{z=0 \text{ y pasa por los puntos }A(3,0,0) \text{ y } B(0,4,0)}$

Oposiciones Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 3: Volumen de una superficie reglada.

Las superficies regladas son aquellas superficies que se definen por el movimiento de una recta que se apoya en dos curvas. Los cilindros de revolución son ejemplos de superficies regladas, los conos de revolución también. Pero no solamente aquellas que puedan provenir de la revolución de una recta alrededor de un eje son superficies regladas. Imaginemos un cilindro en el que las bases, (la «tapa» inferior y la superior) fueran dos elipses, es decir, dos superficies limitadas por dos elipses. En este caso no estamos con una superficie de revolución pero sí con una superficie reglada.

La dificultad de este problema es saber representar correctamente el sólido del cual queremos calcular su volumen. Después, tendremos que resolver una integral triple, de la que lo más difícil será calcular los límites de integración.

Problema 4

El cuarto y último problema es de probabilidad. Es un sencillo ejercicio de diagramas en árbol.

De una urna que contiene $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras, dos jugadores hacen extracciones alternativas reemplazando cada uno su bola antes de la siguiente extracción. Gana el jugador que consigue sacar primero una bola blanca.
Calcula la probabilidad de ganar que tiene cada uno de los jugadores.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 4: Probabilidad

La mayor complicación que os encontraréis aquí es que tendréis que efectuar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. El desarrollo de las probabilidades hasta llegar a las sumas infinitas es sencillo. Aplicando Laplace y el sentido común se llega sin dificultad al resultado.

Si quieres hacer algún comentario o alguna sugerencia puedes hacerlo rellenando el siguiente formulario:

04/10/2017

Base y ecuaciones de un subespacio vectorial. Subespacios vectoriales de dimensión finita.

Hola, muy buenas.

En este tercer post voy a explicar cómo podemos encontrar o calcular una base de un subespacio vectorial de dimensión finita que se encuentre generado por un conjunto finito de vectores; y además cómo escribir una ecuaciones de dicho espacio.

Lo cierto es que me decidí a escribirlo porque una ex-alumna me planteó algunas dudas sobre un posible examen final del Grado que está haciendo. Dentro de dicha prueba, la primera cuestión estaba relacionada con obtener una base de un subespacio del espacio vectorial real de cuatro dimensiones. De dicho subespacio nos daban cinco vectores »generadores»; y se tenía que encontrar una base y por defecto la dimensión del subespacio.

Además se pedían unas ecuaciones paramétricas y otras cartesianas o implícitas de dicho subespacio.

Supongamos un espacio vectorial de dimensión »m»; y consideremos dentro de él otro subespacio vectorial generado en este caso por un número finito de vectores, »n», por ejemplo. Para calcular la dimensión basta considerar la matriz formada por dichos vectores y estudiar su rango. Es obvio que no podrá ser mayor que »n», y es obvio también que no podrá ser mayor que la dimensión del espacio que le contiene, es decir, no podrá ser mayor que »m».

El cálculo es muy sencillo, basta escribir la matriz de los vectores generadores del subespacio y calcular su rango. Éste valor, »k» por ejemplo, será la dimensión del espacio. Para calcular la base escogemos del sistema generador dado, los vectores que son linealmente independientes y que son los que nos han permitido afirmar que el rango de la matriz es »k».

Las ecuaciones paramétricas se obtienen teniendo en cuenta que cualquier vector del subespacio se obtiene como combinación lineal de los vectores de la base.

Cuando hayamos obtenido las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones implícitas o cartesianas se escriben resolviendo el sistema obtenido con las paramétricas, teniendo en cuenta que en dicho sistema las incógnitas serán los parámetros que nos definen el subespacio.

Es claro también que si el subespacio es de dimensión 1, es decir una recta, las ecuaciones paramétricas solamente contendrán un parámetro; si es de dimensión 2, dos parámetros; si es 3, tres parámetros y así sucesivamente.

Lo escrito hasta ahora se puede encontrar en cualquier libro de Álgebra Lineal, y seguramente mucho mejor explicado que como lo he hecho yo. Por tanto, lo mejor es que si tenéis dudas veáis el video siguiente: »Cómo calcular una base y unas ecuaciones de un subespacio vectorial»: