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¿Sabes factorizar polinomios en una variable?

Hola, muy buenas.

Pues eso…

¿Sabes factorizar polinomios en una variable? ¿Conoces el concepto de raíz de un polinomio? ¿O el concepto de factor?

Son tres ideas que están íntimamente relacionadas, y se utilizan para descomponer un polinomio en producto de polinomios de grado más pequeño.

Los conceptos de raíz y factor, que se tratan aquí, también puedes estudiarlos en otra entrada de este blog: problemas-de-divisibilidad-de-polinomios en la que puedes estudiar la relación tan estrecha entre la divisibilidad y la factorización.

La factorización de polinomios es uno los pilares del Álgebra, puesto que debemos de tener en cuenta la relación tan directa que existe entre el Cuerpo de Fracciones de los números Enteros, que no es más que el conjunto de los Racionales, y el Cuerpo de fracciones de los Polinomios, que son las famosas fracciones algebraicas. Ambos conjuntos denominados comúnmente en Álgebra como el Cuerpo de Fracciones de un Dominio de Integridad. Tengamos en cuenta que tanto el conjunto de los Enteros como el de los Polinomios con coeficientes en los Enteros tienen la estructura algebraica de un Dominio de Integridad.

Sin embargo, no quiero que este post se convierta en una mala clase magistral de Álgebra, sino que sea más bien una ayuda para que todos aquellos estudiantes que tengan problemas a la hora de descomponer un polinomio en producto de polinomios de grado menor, tengan en estos vídeos una ayuda para tal procedimiento.

Es cierto también que es un error relativamente común entre los estudiantes, pensar que cuando extraemos un número entero como factor común de un polinomio, lo estamos factorizando realmente, y lo cierto es que no es así.

La factorización implica que la descomposición de un cierto «P(x)» debe ser en polinomios de grado mayor o igual a uno, como por ejemplo:

P(x)=(x-1)(x+2)(3x-2)

Y además como se puede observar, también con coeficientes enteros.

La factorización en polinomios con coeficientes reales que incluyan obviamente radicales no es tema de esta entrada, y aunque su estudio está muy relacionado, no es algo que se estudie en Secundaria ni en Bachillerato.

En los tres vídeos que podéis ver a continuación se expone el procedimiento estándar para factorizar un polinomio. Procedimiento que es el que se explica en 3ºESO, en 4ºESO e incluso en Bachillerato.

Primer vídeo: raíces simples

En el primero de los vídeos la descomposición es en factores simples, es decir en factores de grado uno. El procedimiento es el de la división por Ruffini para buscar posibles raíces y por tanto posibles factores.

Segundo vídeo: raíz doble y polinomio de segundo grado irreducible (raíces complejas)

En el segundo de los vídeos nos encontramos con un factor de segundo grado irreducible y una raíz doble que implica un factor de primer grado elevado al cuadrado.

Tercer vídeo: raíces simples racionales

Y en el tercer y último vídeo el polinomio a factorizar tiene raíces racionales, lo que conlleva necesariamente su búsqueda resolviendo una ecuación de segundo grado puesto que por otro método encontrar dichas raíces es poco menos que imposible.

No mucho más que decir en esta entrada, solamente que espero que os hayan gustado los vídeos.

Por último si tenéis algún comentario que hacerme podéis hacerlo más abajo, o bien escribirme un correo electrónico; como prefiráis.

Un saludo.

Jorge.

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¿Cómo operar con logaritmos, potencias y radicales? Cuatro ejemplos para aprender a operar con logaritmos.

Hola de nuevo.

¿Cómo operar con logaritmos, potencias y radicales? ¿Sabes hacerlo?

Seguro que piensas que cuando se mezclan todas estas operaciones, los ejercicios se complican considerablemente.

En esta entrada vamos a trabajar con logaritmos, y también con potencias y radicales. La idea es utilizar su definición y sus propiedades para resolver cuatro ejemplos de menor a mayor dificultad.

Toda esta parte, que se estudia principalmente en 4ºESO, aunque también en 1º Bachillerato, es lo que denominamos aritmética, aunque siempre existe una parte algebraica también necesaria para poder resolver los ejercicios.

Los cuatro vídeos son de logaritmos, de menor a mayor dificultad; y en los cuatro vídeos deberemos utilizar propiedades de logaritmos, de radicales y de potencias.

En la mayoría de los casos los ejercicios no tienen un procedimiento único de resolución, es decir, que se pueden resolver utilizando distintas propiedades o incluso las mismas pero en otro orden. Puedes recordar las propiedades de los radicales y potencias en el post:

Operar con Radicales: sumas, productos, racionalización

Y lo más importante: cualquiera de ellos puede caerte en el siguiente examen que tengas.

Primer vídeo

En el primer vídeo, resolveré un ejercicio relativamente sencillo; pero no básico. Utilizaré propiedades que enunciaré para recordarlas, y espero que lo entendáis y no os resulte difícil. Es un ejercicio estrictamente aritmético, en el que se pide el cálculo de una operación de sumas y restas.

Segundo vídeo

En este segundo vídeo, claramente más difícil que el anterior, nos encontramos con una operación aritmética, en la que intervienen potencias, radicales y por supuesto logaritmos.

Teniendo en cuenta las propiedades estudiadas no resulta extremadamente difícil, sin embargo debo reconocer que a primera vista puede asustar.

Tercer vídeo

Aquí introducimos parte del Álgebra. Ahora el ejercicio contiene también variables, lo que por una parte da la sensación de dificultad. Sin embargo el solo hecho de no tener que factorizar números, hace que sea más fácil de los que en un principio parece.

 

Cuarto vídeo

En este cuarto y último vídeo, resuelvo un ejercicio en el que se mezclan logaritmos, radicales, potencias e incluso expresiones algebraicas. La dificultad no aumenta por el hecho de utilizar letras. Si sigues simplemente las propiedades estudiadas hasta el momento no deberías tener dificultades en entenderlo.

 

 

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Operar con Radicales: sumas, productos, racionalización ¿Conoces sus propiedades pero te cuesta trabajo saber aplicarlas?

En este post vamos a trabajar con radicales, vamos a efectuar las operaciones con radicales más comunes, que no son otras que la suma, la resta, la multiplicación, la división y la racionalización.

Es conocido que en principalmente en 4ºESO, es uno de los problemas principales que tienen los alumnos. En general aunque se estudian las propiedades de las potencias y de las radicales, lo cierto es que cuando tienen que aplicarlas surgen verdaderos problemas.

En general el alumno es capaz de entender las explicaciones de los profesores, pero luego en numerosos casos son incapaces de volver a realizarlas salvo que se las estudien de memoria, algo que en Matemáticas se desaconseja del todo.

La razón principal es que como ya dije en otros posts, las Matemáticas no son fáciles, y es estrictamente necesario realizar ejercicios prácticamente a diario, algo que una mayoría de los alumnos no hacen.

Te propongo por lo menos, que cuando tengas cerca un examen de radicales, refresques un poco la memoria visualizando estos vídeos, y volviendo a realizar los ejercicios que has estado haciendo a lo largo del tema.

Primer vídeo.

En el primer vídeo verás como se resuelve una operación de sumas y restas de radicales, en los que previamente se han tenido que extraer factores para que los radicales sean semejantes.

Segundo vídeo

En el segundo vídeo vamos a trabajar con los productos de radicales con distinto índice. Por una de las propiedades de los radicales es necesario que para multiplicarlos tengan el mismo índice, así que será necesario reducirlos previamente a índice común.

Tercer vídeo

Aquí resolveré un ejercicio relativamente corriente que suele obtenerse en cursos de bachillerato. Dicho ejercicio no es otro que el producto de radicales cuadrados, en los que se utiliza la propiedad distributiva o las identidades notables.

Cuarto vídeo

En este cuarto vídeo se tratará la racionalización. Racionalizar una fracción con radicales es »eliminar» las raíces del denominador. Para ello se suele multiplicar por la misma raíz (si es cuadrada), o por  la que sea necesaria para que en el denominador solamente quede un número.

En ocasiones, cuando en el denominador hay sumas o restas, será necesario multiplicar el numerador y denominador, por el conjugado del denominador. Obtendríamos así una suma por diferencia que como identidad notable resulta una diferencia de cuadrados. De esta forma nos »desharíamos» de las raíces en los denominadores de las fracciones.

En este caso, como ya explico en el vídeo, es preferible racionalizar antes de hacer la operación de suma, puesto que el cálculo del mínimo común múltiplo con radicales es algo más complicado.

 

Quinto vídeo

En este último video de la serie, realizaremos productos y cocientes de radicales de distinto índice, pero con letras. Las operaciones que vamos a realizar ahora son con radicales, pero en cierto modo también son algebraicas.

El ejercicio no es mucho más complicado con letras que con números. De hecho en ocasiones el hecho de tener que trabajar con letras simplifica las operaciones puesto que en estos casos no es necesario factorizar.

Como en otro vídeo anterior, tendremos que reducir a índice común para poder efectuar las operaciones de producto y cociente. También tenéis que tener claras las operaciones con potencias puesto que todos estos casos se utilizan en numerosas ocasiones.

Espero que os hayan gustado los vídeos, y los hayáis entendido. Mi recomendación ahora es que volváis a hacer los cinco ejercicios parando el vídeo; y después comprobéis si la solución que habéis obtenido es la misma que a mí.

La representación de radicales de índice 2 utilizando el teorema de Pitágoras, no es tema de este post, aunque sí es un contenido de 4ºESO. Si quieres puedes conocer su procedimiento en el enlace:

Cómo representar números irracionales en la recta real

Por último, en la siguiente entrada tenéis algunas operaciones con radicales más.

¿Cómo operar con logaritmos, potencias y radicales?

Bueno, si tenéis alguna duda, o si queréis hacer algún comentario podéis hacerlo sin problema; o si queréis escribirme un correo electrónico con vuestras dudas podéis hacerlo e intentaré contestar en cuanto pueda.

Un saludo.

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Cómo resolver problemas de divisibilidad de polinomios Divisibilidad de polinomios. Raíces de un polinomio.

Tres métodos diferentes para resolver un problema de divisibilidad de polinomios.

Hola, muy buenas.

Las ideas que subyacen detrás de la divisibilidad de polinomios y el concepto de raíz de un polinomio están íntimamente relacionadas. Este hecho permite que los ejercicios de divisibilidad o de raíces se puedan resolver utilizando diferentes métodos.

En este post vamos a resolver un problema en el que se pide el cálculo de dos incógnitas dentro de un polinomio que cumple unas condiciones concretas de divisibilidad.

Cuando estudias 4ºESO ó 1ºBachillerato, y en particular la divisibilidad de polinomios, los profesores somos bastante exigentes en cuando al conocimiento mínimo con las operaciones básicas entre ellos. Entre estas operaciones están la suma, la resta, el producto y el cociente. Sin embargo, estos procedimientos ya se empiezan a estudiar en 2ºESO, y cuando llegáis a Bachillerato se os pide que vuestros cálculos y operaciones con polinomios e incluso fracciones algebraicas sean mucho más correctos. En otras palabras, nos volvemos más exigentes y os empezamos a pedir que entendáis los conceptos y no tanto los procedimientos.

El ejemplo que voy a resolver en el video es el típico que suele caer en muchos de los exámenes de Secundaria o de Bachillerato. Obviamente, según el curso, el problema tiene una dificultad diferente, aunque en esencia el procedimiento a tratar en ambos es el mismo.

Consideremos el siguiente polinomio:

Se trata de calcular los valores de «m» y «n» para que P(x) sea divisible entre:

Este problema se puede resolver de diferentes formas, y su dificultad estriba más en los cálculos que en el entender los conceptos. En el video explico cómo calcular las incógnitas que se piden de tres formas distintas.

Primera forma:

En ella aplicamos directamente el procedimiento de la división de polinomios. Para ello se llevan las incógnitas hasta el final y después se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas relativamente sencillo.

Segunda forma:

Aquí se aplica la propiedad transitiva que tiene la relación de divisibilidad de polinomios. Se cumple que si un polinomio P(x) es divisible entre otro Q(x) y éste último es divisible entre un tercer polinomio T(x), entonces se puede afirmar que P(x) es divisible entre T(x). Esta forma simplifica algunos de los cálculos puesto que después es posible aplicar la regla de Ruffini. En el vídeo lo entenderás mucho mejor.

Tercera forma:

Y por último utilizando el concepto de raíz de un polinomio. La idea es que si P(x) es divisible entre Q(x) entonces todas las raíces que tenga Q(x) son también raíces de P(x). Aplicando a continuación el hecho de que el valor numérico de un polinomio para con sus raíces es cero, se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se resuelve fácilmente.

No quiero extenderme más, estoy seguro de que en el vídeo lo entenderéis todo mucho mejor. En cualquier caso, si os surgen dudas siempre podéis dejar un comentario o enviarme un correo electrónico con vuestras impresiones.

Un saludo.

Jorge.

 

 

 

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¿Polinomio de Taylor? ¿Funciones analíticas? ¿Conoces la relación entre el Polinomio de Taylor y las Funciones Analíticas?

En este post vamos a introducir dos nuevos conceptos en Matemáticas: ¿para qué sirve el Polinomio de Taylor? y ¿qué son las Funciones Analíticas?

El concepto de Función Analítica está profundamente estudiado, tanto en el cuerpo de los números Complejos como en el de los números Reales. La idea que subyace detrás de la definición de una función analítica es la de poder estudiarla sustituyéndola por otra función más sencilla con la que podamos operar con más facilidad.

Las funciones más sencillas son los polinomios; podemos derivarlos e integrarlos sin dificultad, conocer sus máximos o mínimos con poco más que estudiar su grado, calcular sus valores en puntos concretos con pocas operaciones… Podemos en general estudiarlos de forma relativamente sencilla.

Así que si aproximamos una función en un punto por medio de un polinomio conoceremos cómo es dicha función estudiando al polinomio en ese punto.

De ahí sale la idea entonces. Taylor consideró, allá por el siglo XVIII que había funciones que en puntos de su dominio podían aproximarse por un polinomio concreto. Dicho polinomio, que posteriormente se llamó el Polinomio de Taylor, dependía de la cantidad de veces que la función era derivable en dichos puntos. Sin embargo, el hecho de que aproximara a la función dependía además de que a medida que aumentáramos su grado, el valor en puntos cercanos se acercaba a cero.

Teorema de Taylor

Este resultado es lo que se considera el Teorema de Taylor; que afirma que la condición necesaria y suficiente para que una función sea analítica en un punto, es que sea derivable infinitas veces en dicho punto, y que el resto del Polinomio de Taylor de grado n tienda a cero cuando n tienda a infinito; todo ello en un entorno suficientemente pequeño de dicho punto.

Obviamente, lo escrito hasta ahora puede confundir al que lo está leyendo; y no quiero que eso ocurra. Piensa solamente que las funciones analíticas son aquellas que pueden ser aproximadas por polinomios en puntos concretos. El objetivo es trabajar con los polinomios que las aproximan que con dichas funciones.

En el cuerpo de los Complejos las condiciones que implican que una función sea analítica son menos restrictivas y no se van a estudiar en este post, ni en el video que tienes a continuación.

En dicho video analizaremos someramente los conceptos que he estado tratando hasta ahora con un ejemplo de la función analítica por excelencia que es la exponencial. Espero que os guste, y que si tenéis dudas o si queréis hacer algún comentario hacedlo; y si os puedo ayudar o queréis que profundice más en el tema, solo tenéis que decírmelo.

Por último, en la entrada:

Oposiciones Matemáticas Alicante 2009. Parte Práctica

podéis encontrar un problema en el que se utiliza la serie de Taylor para resolverlo. Concretamente el cuarto; y aunque es de probabilidad, la suma de las series que hay que realizar son en realidad series de Taylor.

Un saludo.

Jorge

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Base y ecuaciones de un subespacio vectorial. Subespacios vectoriales de dimensión finita.

Hola, muy  buenas.

En este tercer post voy a explicar cómo podemos encontrar o calcular una base de un subespacio vectorial de dimensión finita que se encuentre generado por un conjunto finito de vectores; y además cómo escribir una ecuaciones de dicho espacio.

Lo cierto es que me decidí a escribirlo porque una ex-alumna me planteó algunas dudas sobre un posible examen final del Grado que está haciendo. Dentro de dicha prueba, la primera cuestión estaba relacionada con obtener una base de un subespacio del espacio vectorial real de cuatro dimensiones. De dicho subespacio nos daban cinco vectores »generadores»; y se tenía que encontrar una base y por defecto la dimensión del subespacio.

Además se pedían unas ecuaciones paramétricas y otras cartesianas o implícitas de dicho subespacio.

Supongamos un espacio vectorial de dimensión »m»; y consideremos dentro de él otro subespacio vectorial generado en este caso por un número finito de vectores, »n», por ejemplo. Para calcular la dimensión basta considerar la matriz formada por dichos vectores y estudiar su rango. Es obvio que no podrá ser mayor que »n», y es obvio también que no podrá ser mayor que la dimensión del espacio que le contiene, es decir, no podrá ser mayor que »m».

El cálculo es muy sencillo, basta escribir la matriz de los vectores generadores del subespacio y calcular su rango. Éste valor, »k» por ejemplo, será la dimensión del espacio. Para calcular la base escogemos del sistema generador dado, los vectores que son linealmente independientes y que son los que nos han permitido afirmar que el rango de la matriz es »k».

Las ecuaciones paramétricas se obtienen teniendo en cuenta que cualquier vector del subespacio se obtiene como combinación lineal de los vectores de la base.

Cuando hayamos obtenido las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones implícitas o cartesianas se escriben resolviendo el sistema obtenido con las paramétricas, teniendo en cuenta que en dicho sistema las incógnitas serán los parámetros que nos definen el subespacio.

Es claro también que si el subespacio es de dimensión 1, es decir una recta, las ecuaciones paramétricas solamente contendrán un parámetro; si es de dimensión 2, dos parámetros; si es 3, tres parámetros y así sucesivamente.

Lo escrito hasta ahora se puede encontrar en cualquier libro de Álgebra Lineal, y seguramente mucho mejor explicado que como lo he hecho yo. Por tanto, lo mejor es que si tenéis dudas veáis el video siguiente: »Cómo calcular una base y unas ecuaciones de un subespacio vectorial»:

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Cómo representar números irracionales en la recta real

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Hola de nuevo.

En este post tengo la intención de explicar cómo se representan los números Irracionales en la recta Real. Ante todo hay que darse cuenta de que todos los números reales están asociados con un único punto de la recta real, y que a cada punto de la recta real se le asocia un único número Real.

Este hecho nos hace pensar que podríamos representar en ella todos los números reales y aparentemente así podría ser.

Comenzando con los números Naturales, siguiendo con los Enteros, y luego con los Racionales (fracciones), nos damos cuenta de que no tenemos excesivos problemas en su representación; sin embargo al llegar a los Irracionales, aquí sí que nos encontramos con algunos o bastantes inconvenientes.

De hecho la representación de Pi no es posible, ya lo intentaron los griegos hace casi dos mil años y no lo consiguieron. El problema de los griegos no fue otro que el llamado de la Cuadratura del Círculo, que no pudieron resolver, y que solo a finales del siglo XIX se demostró que no era posible. Este resultado demostraba que Pi no es posible representarlo con una regla y un compás; y por ser un número muy especial se le llamó trascendente. Mas tarde se comprobó que como número Irracional no era el único.

Para concretar te diré que aquí aprenderás a representar solamente las raíces cuadradas, que al fin y al cabo es lo que te van a pedir en 3º ó en 4º de Secundaria; eso sí, aprenderás a representar cualquier raíz cuadrada que quieras porque el procedimiento que te voy a explicar sirve para todas.

Este video es el primero de una serie que quiero hacer para explicar algunos de los procedimientos y conceptos que se imparten en los Institutos, e incluso en las asignaturas de Cálculo o Álgebra Lineal de algunos Grados. Es obvio que si tienes dudas del procedimiento que explico en éste, o si quieres que profundice en algún tema que te pueda parecer difícil, no tienes más que hacer un comentario solicitándolo o bien suscribirte y enviarme un correo electrónico con las dudas que tengas.

Por último, ya sabemos que una imagen vale más que mil palabras, pues imaginaos un vídeo…

 

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Las Matemáticas no son fáciles… ... y quien diga lo contrario miente.

La ecuación de Euler

Me imagino que debo ser de aquellas personas que disfrutan ciertamente con las Matemáticas y que en el fondo se lo pasan bien resolviendo problemas.

Cuando tenía poca edad, a los seis o siete años me enseñaron a dividir. Mi abuelo se encargó de que aprendiera aquel procedimiento que en ese momento de poco me iba a servir, y uno de los pocos recuerdos que tengo es utilizar las tablas de multiplicar para conocer el número necesario que debía ir en el cociente.

Poco más tarde, en el colegio, descubrí que muchos de mis compañeros me preguntaban sobre algunas operaciones que nos mandaban como deberes los maestros; y aunque esta fue la tónica general durante toda la escuela y todo el Bachillerato, la verdad es que hasta que no acabé la licenciatura en Matemáticas no me di cuenta de que en realidad se me daban bien.

Me imagino que este hecho fue el que me indujo a pensar que en realidad no podían ser difíciles, porque yo no me consideraba ningún lumbreras y no tenía especiales problemas con ellas.

Pues no es cierto, bueno, que no soy un lince sí que es cierto, pero que no son difíciles no lo es. La triste realidad es que una mayoría significativa de la sociedad las considera difíciles. Fijémonos que solamente en los colegios e institutos el porcentaje de alumnos que las suspende a lo largo del curso o en verano es muy superior a cualquier otra asignatura. Triplica a algunas como Música, Educación Física o Educación Plástica, duplica a otras como Geografía e Historia, Lengua e incluso inglés (aunque ésta última también tiene en los suspensos su talón de Aquiles), y podríamos decir que la única que se le acerca es la Física, pero que en la mayoría de los casos solamente se acerca, no llega a alcanzarla.

Es más, aquellos alumnos que brillan en otras asignaturas con notables y sobresalientes no alcanzan las mismas notas en Matemáticas y si lo hacen es estudiándolas y trabajándolas el doble de tiempo.

No es posible decir con estos datos que las Matemáticas son fáciles, porque no lo son; y como dije al principio, aquel que diga lo contrario está mintiendo.

Soy profesor de Secundaria desde hace bastantes años, conozco la asignatura, conozco el sistema y conozco a los alumnos; y la idea que tengo con este Blog es resolver todas aquellas dudas que les vayan surgiendo  y que considere que de alguna forma no sean puntuales de algunos de ellos, sino que sean generales, que sean dudas de procedimientos, de resolución de problemas, de conceptos…

Escribir en Matemáticas es complicado, se necesitan procesadores de textos especiales porque la simbología y el lenguaje que se utiliza no se encuentra en los teclados que utilizamos; así que una de las posibilidades es grabar vídeos y colgarlos en Youtube. Desde este Blog encontraréis algunas explicaciones y los enlaces a los vídeos correspondientes.

Bueno, espero que os guste.

Jorge.