Los polinomios comienzan su andadura junto a lo que se ha denominado en Matemáticas el Álgebra Abstracta. Los orígenes de nuestra ciencia tienen su principio en la aritmética; fijémonos que era tan necesario aprender a contar como qué era lo que se quería contar.
Los números naturales y posteriormente las fracciones fueron los primeros pasajeros de las civilizaciones antiguas. Después se añadió la geometría, y a medida que fue avanzando la ciencia se incorporaron otras disciplinas relacionadas con ambas.
La incorporación del Álgebra tuvo su lugar en el momento en el que el hombre necesitó extrapolar los conocimientos puramente aritméticos a aquellos que constituían suposiciones; en esencia cuando sustituyó el número por la letra. Así surgieron las ecuaciones, que justifican su existencia a la necesidad de resolver problemas concretos. Pero en aquella Álgebra no entraban todavía los polinomios, estaba limitada a la resolución de ecuaciones.
El término Álgebra proviene de la principal obra del matemático de origen persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (con el tiempo, y a raíz del nombre de este gran matemático, se introdujo el concepto de algoritmo, término que designa un método o procedimiento sistemático de cálculo), allá por el año 820. En dicha obra al-Jwarizmi resuelve ecuaciones de primer y segundo grado dando una técnica para ello. Recordemos a este respecto que aunque los griegos ya conocían las soluciones de estas ecuaciones, nunca utilizaron los métodos que nos encontramos en el tratado de al-Jwarizmi.
Curiosamente el término Álgebra proviene concretamente de al-yabr, que no era más que la operación algebraica de pasar los términos negativos de un miembro de una ecuación al otro miembro transformándolos en positivos. Dichos términos eran, en algunos casos, lo que llamamos indeterminadas o variables.
El paso siguiente fue lo que convirtió el Álgebra conocida hasta ese momento en lo que ahora definimos como Álgebra Abstracta. Esto se hizo al concebir que cada término de una ecuación tuviera entidad propia.
Pero para que todo tuviese sentido era necesario introducir las operaciones entre las indeterminadas o las variables con las que se estaba trabajando. Así, era necesario conocer por ejemplo qué significaba x^2+x, aunque esta expresión no encontrara un problema aritmético detrás que justificara su existencia. Las indeterminadas podrían ser varias, no limitarse a una de ellas, x, y, z, etc., y las operaciones no tendrían que limitarse a la suma o el producto conocidos en la aritmética. Aparecen entonces nuevas leyes de composición entre elementos, con nuevas propiedades que forman y constituyen diferentes estructuras como grupos, anillos, cuerpos, etc. El trabajo con indeterminadas dentro de estos nuevos conjuntos es lo que a grandes rasgos denominamos polinomios.
El estudio de estos nuevos conceptos matemáticos pasa lógicamente por conocer las propiedades que tienen y las operaciones que podemos realizar con ellos. Su construcción se basa en otra estructura algebraica en la cual se apoyan, y que suele ser un anillo. Se puede demostrar, y en el tema se desarrolla, que la familia de polinomios en una o varias indeterminadas sobre un anillo A, que se suele denotar como A[X], verifica propiedades análogas aunque en algunos casos no obtenga la misma estructura.
Es posible demostrar que si el anillo A es un dominio de factorización única, entonces también lo será su anillo de polinomios. La posibilidad de ser dominio euclídeo o dominio de ideales principales es más restrictiva pero posible con unas condiciones iniciales.
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