imagen de un homomorfismo

En esta entrada voy a resolver el examen de la UNED de la asignatura Álgebra Lineal I; concretamente de febrero de 2016, y en este caso de la segunda semana. En Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números podéis encontrar otro post en el que resuelvo el examen de esta asignatura de febrero de 2018.

La asignatura de Álgebra Lineal está dividida en dos. Una primera, del primer cuatrimestre, llamada Álgebra Lineal I, y una segunda del segundo cuatrimestre llamada Álgebra Lineal II. Como veis los matemáticos no nos esforzamos mucho en caracterizar las asignaturas por nombres; de hecho recuerdo que en mi carrera tuve Geometría I, Geometría II, Geometría III, Geometría IV y Geometría V; ¿para qué cambiar, no?

Pero bueno…, bromas aparte, es cierto que los contenidos que se imparten y estudian en Álgebra Lineal I, no son los mismos que en Álgebra Lineal II, aunque es verdad que la base son los espacios vectoriales y las aplicaciones entre dichos espacios, es decir, los homomorfismos.

El examen podéis descargarlo aquí, y cómo podéis observar consta de tres ejercicios prácticos y una pregunta teórica, en la que hay que definir algunos conceptos.

La pregunta teórica se resuelve estudiando, sí, estudiando. Puede parecer de perogrullo, pero la teoría hay que estudiarla para poder entender los conceptos, y hay que dedicarle mucho tiempo porque aunque pueda parecer una tontería, cuando entiendes verdaderamente un concepto los problemas te parecen nimiedades.

Ejercicio 1

Los restantes tres ejercicios son más difíciles. El primero es un ejercicio teórico, un posible corolario que podríamos encontrarnos en un texto cualquiera de Álgebra Lineal.

Es una demostración en toda regla. Se nos plantean unas condiciones iniciales y nos piden que demostremos unas condiciones finales. Básicamente es un «si y sólo si», o cómo también podemos encontrarnos «una condición necesaria y suficiente» de que algo ocurra para que algo ocurra. Es posible que éste sea el más díficil para todos aquellos que empiezan en el grado porque al principio no es sencillo entender qué es lo que me están pidiendo ni cómo me lo están pidiendo.

No puedo dar muchas recomendaciones sobre cómo se resuelven este tipo de problemas. Nos están pidiendo una demostración, y debemos hacerla de la misma forma y con los mismos argumentos que podemos encontramos en un texto de Álgebra Lineal. Nos va a parecer muy difícil en un primer momento porque no estamos acostumbrados a ello, pero con el tiempo y viendo muchas demostraciones de teoremas, lemas y corolarios acabaremos aprendiendo a hacerlo y a conocer diferentes métodos para lograrlo.

Ejercicio 2

El segundo es un problema práctico. Se trata de trabajar con las matrices 2×2 y con dos subespacios suyos. Su resolución no es difícil si observamos que podemos «trasladarnos» al espacio vectorial $\mathbb{K}^4$ y trabajar en dicho espacio.

Al movernos al espacio $\mathbb{K}^4$ , estamos en un lugar más asequible y más conocido. Podemos hacerlo por la isomorfía que existe entre ambos, y curiosamente podemos hacerlo enumerando y ordenando las coordenadas de las matrices y las coordenadas de los vectores de $\mathbb{K}^4$ , aunque desconozcamos cuál es el isomorfismo que les hace esencialmente idénticos.

Ejercicio 3

El tercer y último ejercicio es otro problema, concretamente de aplicaciones lineales, o como prefiero llamarlas, de homomorfismos.

Aunque en todos o en la inmensa mayoría de los textos de Álgebra Lineal los conceptos de aplicación lineal y homomorfismo son idénticos, a mí me gusta diferenciarlos. Yo defino un homomorfismo una aplicación entre espacios vectoriales que conserva la estructura; y defino una aplicación lineal como una aplicación entre un espacio vectorial y el cuerpo en el que se contruye. Se puede considerar a un cuerpo como un espacio vectorial; y es por ello que no estaríamos hablando de conceptos distintos (el de aplicación lineal y homomorfismo); pero cuando la aplicación es sobre $\mathbb{K}$ , la idea que subyace detrás no es la de conservar la estructura. Recordad a este respecto los espacios duales de los espacios vectoriales; que no son más que los espacios de las aplicaciones lineales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ del espacio vectorial.

De todas formas el nombre que le pongamos es, obviamente, lo de menos. Cuando en Matemáticas se estudia un conjunto, y por tanto se estudia su estructura con operaciones internas o externas que contenga, se estudian después las aplicaciones que conservan dicha estructura. Los homomorfismos son dichas aplicaciones.

En este post encontraréis vídeos en los que resuelvo los problemas de la parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas en la Comunidad Valenciana; y más concretamente en el 2009 y en la provincia de Alicante.

Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes.

Si os interesan también otras pruebas prácticas os dejo algunos enlaces con otras entradas de exámenes también resueltos:

Oposiciones Matemáticas Albacete 2015

Oposiciones Matemáticas Toledo 2018

Extremadura (Badajoz 2000)

Castilla y León (2018)

Aquí os vais a encontrar un total de cinco vídeos. En el primero hago solamente una introducción a los ejercicios que se proponen; y en él hablo y comento cada uno de ellos sin entrar en profundidad en su forma de resolución.

Los restantes contienen los problemas resueltos. Reconozco que con diferente dificultad cada uno de ellos; algo que ya comento en los vídeos. En definitiva, espero que no tengáis problemas en las explicaciones; pero como siempre digo, podéis enviarme una observación en el canal de youtube donde estarán colgados, o bien en este blog, o bien en el correo electrónico; lo que prefiráis.

Introducción.

Problema nº1

Sea $M_{3}(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden 3,

(i) Demostrar que el conjunto $A$ de las matrices reales antisimétricas de orden 3 es un subespacio vectorial de $M_{3}(\mathbb{R})$ y obtener razonadamente una base canónica de este subespacio.

(ii) Si $A\longrightarrow P_3(\mathbb{R})$ es la aplicación lineal definida mediante

$\text{T}\left \{ \left (\begin{array} {ccc} 0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0 \end{array} \right) \right \}:=ax+bx^2+cx^3$

hallar la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base canónica de $A$ y a la base canónica $\{1,x,x^2,x^3\}$ de $P_3(\mathbb{R})$ , y escribir la ecuación matricial de la aplicación lineal.

(iii) Hallar el núcleo y la imagen de esta aplicación lineal y demostrar que es un isomorfismo sobre el conjunto imagen $Im(\text{T})$ .

(iv) Comprobar que se cumple el Teorema de las dimensiones.

Este problema se resuelve utilizando el Álgebra Lineal y los conceptos mínimos sobre homomorfismos entre espacios vectoriales. Es sabido que todos los espacios vectoriales de una misma dimensión son isomorfos; para eso basta definir una aplicación que lleve una base de uno de ellos en una base del otro y comprobar que dicha aplicación es en realidad biyectiva. Aplicando el teorema que afirma que $V/ker f$ es isomorfo a $Im f$ , siendo $f$ un homomorfismo se llega sin dificultad al resultado que pide el problema.

Problema nº2

Sean dos segmentos AB y BC de igual longitud d que están articulados por el punto B. El punto A está sobre el origen de coordenadas y el punto C varía sobre el eje OX positivo. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de un punto P situado sobre el segmento BC a una distancia p del punto C. Dibujar el lugar.

Es, con diferencia, el de mayor dificultad de los cuatro. Sin embargo en apariencia no parece muy complicado pues enseguida me di cuenta que el lugar geométrico era una elipse, o en este caso (aunque luego no lo digo en el vídeo), un cuarto de elipse. Pero cuando se trabaja con ecuaciones de segundo grado con cuatro o cinco variables la «cosa» se complica; y a mí se me complicó.

Dediqué al problema más tiempo que a lo dedicado a los otros tres juntos; desde luego bastante más de tres horas, y utilizando las ecuaciones cartesianas no conseguí resolverlo.

Cuando finalmente obtuve un resultado que parecía válido me di cuenta que no era correcto; así que tuve que volver a empezar, pero ahora cambié las coordenadas cartesianas por coordenadas polares; y con la demostración de un resultado de trigonometría aplicado a triángulos isósceles llegué a la elipse buscada.

Problema nº3

Calcular la longitud del arco de curva $y=\ln\frac{e^x-1}{e^x+1}$ comprendido entre los puntos de abscisa 2 y 4.

En este ejercicio se pide calcular la longitud del arco de una curva (que resulta ser una función), entre dos puntos de abscisa 2 y 4. Es necesario conocer la fórmula que nos da la longitud, que viene dada por una integral; y es necesario también conocer el cambio de variable a efectuar, así como la resolución de integrales racionales. Yo no conozco de memoria dicha fórmula, y en el vídeo muestro cómo se puede deducir utilizando los conocimientos mínimos sobre integrales definidas, áreas y longitudes.

Problema nº4

Se lanza un dado hasta que aparezcan tres resultados distintos. Calcular el número medio de lanzamientos que hay que realizar.

Este último problema es de probabilidad en el que utilizo la Regla de Laplace. Para calcular tanto los casos favorables como los posibles utilizo la Combinatoria explicando cada uno de los pasos.

Sin embargo la cuestión que plantea el problema no es la probabilidad de que los lanzamientos se detengan en la tirada enésima, sino la media del número de lanzamientos que hay que realizar. Como no tenemos un número máximo de tiradas, éste nunca acaba, lo que conlleva la suma de una serie de infinitos términos. Para sumar dicha serie utilizo las series de potencias y algunos teoremas de integrales o derivadas de series uniformemente convergentes.

Espero que todos los vídeos os hayan gustado, que se hayan entendido sin demasiados problemas y que os faciliten la tarea de estudiar la parte práctica de la oposición.

Ya sabéis que podéis hacer cualquier comentario en el blog, en el canal de Youtube, o en mi correo electrónico.

Un saludo.

Jorge

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Álgebra Lineal I. UNED. Febrero 2016. (B)