Cuando se habla de los números y se utilizan sus propiedades, no se cae en la cuenta de que para la mayoría de individuos, el número 2, ó el 2,5 ó \sqrt{2} para los más aventurados, no son más que la ejecución de un pensamiento, tan trivial, tan evidente que no se atreven a considerarlos como meramente un producto humano. Sin embargo, aunque la existencia pueda parecer garantizada cuando son imaginados, la comunidad matemática va aún más allá. Para el matemático es necesario concebirlos de alguna forma; o bien construyéndolos o bien con la introducción de un conjunto de axiomas.

La aritmetización de los números reales fue esencial en la posterior fundamentación del análisis. Téngase en cuenta que a lo largo de los siglos XVII y XVIII la Matemática avanzó principalmente en el cálculo sin tener una base consistente en la que afianzarse. Recordemos a este respecto algunos de los resultados de Euler o el mismo Gauss; en los que utilizaban expresiones de límite, suma infinita, pequeño, o se acerca, cuando querían hablar de conceptos que aunque identificaban con claridad, no eran capaces de formalizar matemáticamente.

El problema con el que se encontraban sistemáticamente los matemáticos de la época fue en esencia que desconocían la forma intrínseca de los números reales. Parecía lógico asignar a cada número un punto de la recta, pero no estaba nada claro si la recta funcionaba como todos suponían; es decir como un continuo, sin poros. Bolzano y Cauchy fueron precursores de la aritmetización de los números reales con la introducción de un concepto más formal de límite demostrando con ello el siguiente teorema:

»Si f es una función real y continua sobre un intervalo cerrado tal que toma un valor negativo en uno de los extremos del intervalo y positivo en el otro entonces existe un valor en el interior tal que su imagen es cero»

De hecho fue Bolzano el que introdujo la idea que luego formalizó Cauchy de que en las sucesiones convergentes los elementos tenían que distar tan poco como se quisiera a partir de un cierto momento. Además introdujo la idea, aceptada después, de que un conjunto acotado superiormente tenía que tener un valor que se considerara la menor de dichas cotas superiores

El rigor y la fundamentación de lo que se exponía y demostraba en cuanto a los números reales no llegó hasta finales del siglo XIX. La idea que subyacía detrás de todo era la necesidad de completar el conjunto de los reales de alguna forma. Tanto Cantor, utilizando las sucesiones de Cauchy, como Dedekind con un nuevo concepto denominado cortaduras, lo hicieron utilizando a los racionales. Hilbert, sin embargo, lo hizo de forma axiomática, asignándoles un conjunto de propiedades que los convertía en el único cuerpo conmutativo, totalmente ordenado , arquimediano y completo.

Se exponen a continuación las formas más importantes de construir \mathbb{R}:

Cortaduras de Dedekind

Un número real es un conjunto \alpha de números racionales, con las cuatro propiedades siguientes:

• Si x está en \alpha e y es racional con y<x entonces y también está en \alpha
• \alpha\neq \emptyset.
• \alpha\neq \mathbb{Q}
• No existe ningún elemento máximo en \alpha; dicho de otro modo, si x está en \alpha, entonces existe algún y en \alpha con y>x.

Sucesiones de Cauchy

Siendo {x_n},{y_n} dos sucesiones de Cauchy de números racionales, diremos que {x_n}\sim {y_n} si y solamente si {x_n-y_n}\rightarrow 0.

Se define entonces:
\R=\frac{C(\mathbb{Q})}{\sim}
siendo C(\mathbb{Q}) la familia de las sucesiones de Cauchy de los números racionales.

Por decimales

Se define un número real como un par (a,{b_n}), donde a\in\Z y {b_n} es una sucesión de números naturales del 0 al 9, con la condición de que la sucesión no es continuamente 9, es decir, que a partir de un elemento el 9 no se repite indefinidamente. Podemos representar:
\left(a,{b_n}\right)=a+\sum_{n=1}^\infty b_n\cdot 10^{-n}

En cualquiera de los tres casos se están construyendo los reales a partir de los racionales.

Veremos a lo largo del tema que \mathbb{R} es el único cuerpo, salvo isomorfismo, que está completamente ordenado y es arquimediano, además de propiedades tan importantes como que es metrizable y posee la propiedad de la mínima cota superior (axioma del supremo). Dicha propiedad es equivalente a la de la máxima cota inferior y es la que dota de completitud a \mathbb{R}.

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Tema 6. Números Reales. Topología de la recta real.