Parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas

Hola, muy buenas.

En esta entrada voy a resolver los ejercicios del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad de Madrid en 2018. Esta prueba constaba de cuatro ejercicios. El primero era de geometría y trigonometría, el segundo de funciones, el tercero de series de potencias y determinantes y el último de probabilidad.

Además en las siguientes entradas puedes encontrar otros prácticos también resueltos:

En el práctico de Madrid ninguno de los cuatro ejercicios era excepcionalmente difícil. La realidad es que con algunas pequeñas cuestiones que se salían de lo impartido en 2º de Bachillerato, una gran parte de los contenidos eran propios de dicho curso.

Ejercicio 1.

Sean $C$ y $C'$ dos circunferencias concéntricas de radios $r$ y $r'$ respectivamente, con $r<r'$ . En la corona limitada por $C$ y $C'$ existen ocho circunferencias donde cada $C_i$ es tangente a $C_{i+1}$ para $i=1,2\ldots 7$ , y $C_8$ es también tangente a $C_1$ . Determine el valor de $\frac{r'}{r}$ .

Ejercicio 2

Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Demuéstrese que si $a<b<e$ entonces $a^b<b^a$ , y que si $e<a<b$ entonces $a^b>b^a$ .

Ejercicio 3

Calcule el límite en el infinito de la sucesión $A_n$ , siendo $A_n$ el siguiente determinante:

$A_n=\left|\begin{array}{crrrrrr}1&-\frac{1}{2}&0&0&0&\ldots&0\\ x&1&-\frac{1}{3}&0&0&\ldots&0 \\ x^2&0&1&-\frac{1}{4}&0&\ldots&0 \\ x^3&0&0&1&-\frac{1}{5}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x^{n-2}&0&0&0&0&1&-\frac{1}{n}\\ x^{n-1}&0&0&0&0&0&1 \end{array}\right|$

Ejercicio 4

Un juego de dados tiene las siguientes reglas: se tiran dos dados equilibrados, numerados del 1 al 6, hasta que sumen 4 o 7; si suma 4 gana el tirador, mientras que pierde si la suma es 7. Determine la probabilidad de ganar en dicho juego.

En este post voy a resolver los problemas de la parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas en Castilla la Mancha; y más concretamente en la provincia de Albacete en el 2015. Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes. En cada uno de los tres vídeos resolveré uno de los problemas con los que se enfrentaron los opositores de ese año. Tienen dificultades diferentes; así mientras que el primer y tercer problema son asequibles en el tiempo que tienes para resolverlos; el segundo problema es de mucha mayor dificultad. Es obvio que el nivel de los problemas es la mejor forma de discriminar a los que tienen un mayor conocimiento de las Matemáticas de los que no la tienen. Sin embargo, en ocasiones aumentar mucho la dificultad no consigue discriminar sino todo lo contrario; puesto que el porcentaje que llega a resolverlo es prácticamente nulo. En las siguientes líneas tenéis los tres problemas y los vídeos que los resuelven. Espero que se entiendan y que os ayuden.

Problema nº 1

Sea $R$ la región del plano definida por la parte positiva de los ejes de coordenadas y la curva $y=2\cos x$ en $0\leq x \leq \frac{\pi}{2}$ . Halla el valor de $a$ tal que la curva $y=a\sin x$ , divida la región $R$ en dos regiones de igual área. Este problema se resuelve utilizando el concepto de integral definida como el área encerrada entre una curva y el eje $X$ ; o como el área encerrada entre dos curvas.

Problema nº2

Demostrar la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: «Para todo número $n\in \mathbb{N}$ , se puede encontrar un conjunto de $n$ números naturales consecutivos que no contiene ningún número primo.» En este vídeo demuestro que tal resultado es cierto. La forma de hacerlo es más propia de idea feliz que de seguir un procedimiento propio en una demostración matemática. Yo tardé en resolverlo bastante más que los otros dos juntos. La Reducción al Absurdo no me funcionó, la Inducción Matemática tampoco, y las clases $\mathbb{Z}_n$ aunque más cerca, no llegaron a demostrarlo. La inspiración vino del aire y de repente.

Problema nº3

En el triángulo acutángulo $ABC$ ; $AH$ , $AD$ y $AM$ son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten de $A$ estando $H$ , $D$ y $M$ en el lado $BC$ . Si las longitudes de $AB$ , $AC$ y $MD$ son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento $DH$ . Este problema de triángulos es finalmente de Trigonometría. Los cálculos empiezan por utilizar el Teorema del Seno, y acabar con el Teorema de Pitágoras. Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

Como siempre digo; si algo no ha quedado claro o si queréis hacer algún comentario, podéis dejar una nota o bien enviarme un correo electrónico: jorgemorra@outlook.es. Un saludo. Jorge.

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Oposiciones Matemáticas. Práctico de la Comunidad de Madrid 2018.