En esta entrada encontrarás resueltos los problemas del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad Foral de Navarra de 2018.
Son un total de cuatro problemas ninguno de ellos difícil. Cuando los leí en un primer momento, me pareció que dos eran asequibles y con los otros dos podía encontrar al menos una forma de enfrentarme a ellos. De todas formas no es lo mismo intentar resolverlos en casita con un café, aire acondicionado y todo el tiempo del mundo que en una oposición con 40 grados y treinta minutos por problema.
Problema 1
El primero es de espacios vectoriales, concretamente de la suma de dos subespacios y de su intersección. No tuve la sensación de dificultad al leerlo. Aparentemente se trataba de trabajar con rangos de matrices, con sistemas de ecuaciones lineales y de encontrar bases de subespacios. Una complicación algo mayor que la que podemos encontrarnos en la EBAU, pero nada fuera de lo normal.
Si quieres profundizar en el tema de espacios vectoriales puedes hacerlo en el enlace:
Dados los siguientes subespacios vectoriales S_1 y S_1 de \mathbb{R}^4:
S_1=<(1,1,-2,1),(0,1,-1,2),(2,-1,-1,-4)> S_2=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:3x+az=0;\;\;x-2y-2t=0\}Hallar a para que S_1+S_2 sea distinto de \mathbb{R}^4. En este caso, obtener la dimensión y una base de S_1\cap S_2.
Problema 2
En el problema 2 se trataba de resolver una ecuación de grado 4. Lo primero que pensé era que el problema me iba a resultar difícil porque no recordaba las fórmulas de Ferrari para resolver una ecuación de este tipo. Lo bueno es que enseguida descubrí que no eran necesarias. El paso previo era efectuar un cambio de variable que simplificara la ecuación eliminando el término de grado 3, y al hacerlo la ecuación que resulta es simplemente una bicuadrática.
Puedes leer algo sobre el tema de ecuaciones algebraicas en el enlace:
Tema 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.
Dada la ecuación x^4+4x^3-2x^2-12x+k=0, con k\in\mathbb{R}. Se pide:
a) Discutir las soluciones de la ecuación en función de los valores del parámetro k.
b) Resolver la ecuación si k=-27.
Problema 3
El tercer problema es de envolventes. La característica principal de esta curva es que tiene buenas propiedades de tangencia con cada línea de la familia de la cual es la envolvente. Esta idea se concreta en un sistema de ecuaciones.
Demostrar que la astroide de ecuación x^{2/3}+y^{2/3}=L^{2/3} es la envolvente de la familia de segmentos móviles de longitud constante L, cuyos extremos se apoyan en los ejes de coordenadas.
Problema 4
El cuarto y último problema es de estadística. Nos dicen que la llegada del número de piezas por minuto a una máquina sigue una distribución de Poisson y nos formulan una pregunta sobre probabilidad condicionada. Además nos dan otra variable que indica el tiempo que transcurre entre la llegada de dos piezas pidiéndonos en este caso la función de distribución. Ninguna de las cuestiones era difícil, aunque en mi opinión la primera no estaba bien planteada.
El número de piezas por minuto que llegan a una máquina en una industria automovilística es una variable aleatoria X que sigue una distribución de Poisson de parámetro \lambda. Y el tiempo, en minutos, que transcurre entre las llegadas de un par de piezas, es una variable aleatoria T cuya función de densidad es:
f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}
\lambda^2te^{-\lambda t}&\text{si}&t\geq 0\\
0&\text{si}&t<0
\end{array}
\right.Suponiendo que \lambda=3 en ambas variables aleatorias. Se pide:
a) Si en un período de 120 segundos ya han llegado al menos 3 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que en ese período lleguen como mucho 2 piezas más?
b) Obtener la función de distribución de probabilidad acumulada de T, y utilizarla para calcular la probabilidad de que transcurran menos de 90 segundos entre las llegadas de un par de piezas.
el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos y sea 
la base dual de la base canónica 
.
definida por las aplicaciones 
, 
y 
:![\[\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1p(x)dx\]](https://i0.wp.com/jorgemorra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-993ca6efba95a23669337ef9b7992198_l3.png?resize=176%2C44&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1x\cdot p(x)dx\]](https://i0.wp.com/jorgemorra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5714b035ec23147e5e3a81a1a7d8eef7_l3.png?resize=199%2C44&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\overline{w}_3(p(x)):=\int_0^1x^2\cdot p(x)dx\]](https://i0.wp.com/jorgemorra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7593b7611742986f1c6edc72c71f0854_l3.png?resize=207%2C44&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
, 
y 
en la base 
es su base dual.
y superficie 
. Se prolonga el lado 
por el punto 
hasta un punto 
de forma que la longitud de 
se igual a la mitad de la longitud del lado 
por el punto 
hasta el punto 
de forma que 
. El lado 
se polonga por 
hasta 
tal que 
y por ultimo el lado 
se prolonga por 
hasta 
, tal que 
.
.
, apoyándose en las rectas 
y 
bolas blancas y 
bolas negras, dos jugadores hacen extracciones alternativas reemplazando cada uno su bola antes de la siguiente extracción. Gana el jugador que consigue sacar primero una bola blanca.![\[\pmb{f(x)=\left\{ \begin{array} {cc} 0 & \text{si } x\leq 0 \\ kxe^{-x^2} & \text{si } x>0 \end{array}}\]](https://i0.wp.com/jorgemorra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ed5669fd4a1b490d605ae9392c200a4_l3.png?resize=211%2C43&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden 3,
es la aplicación lineal definida mediante![\[\text{T}\left \{ \left (\begin{array} {ccc} 0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0 \end{array} \right) \right \}:=ax+bx^2+cx^3\]](https://i0.wp.com/jorgemorra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e61f33d4042332ae301ad8534fd4f353_l3.png?resize=322%2C65&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
de 
, y escribir la ecuación matricial de la aplicación lineal.
.
es isomorfo a 
, siendo 
un homomorfismo se llega sin dificultad al resultado que pide el problema.
comprendido entre los puntos de abscisa 2 y 4.
la región del plano definida por la parte positiva de los ejes de coordenadas y la curva 
en 
. Halla el valor de 
, divida la región 
; o como el área encerrada entre dos curvas.
, se puede encontrar un conjunto de 
números naturales consecutivos que no contiene ningún número primo.»
En este vídeo demuestro que tal resultado es cierto. La forma de hacerlo es más propia de idea feliz que de seguir un procedimiento propio en una demostración matemática. Yo tardé en resolverlo bastante más que los otros dos juntos. La Reducción al Absurdo no me funcionó, la Inducción Matemática tampoco, y las clases 
aunque más cerca, no llegaron a demostrarlo. La inspiración vino del aire y de repente.
; 
, 
y 
son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten de 
, 
y 
son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento 
.
Este problema de triángulos es finalmente de Trigonometría. Los cálculos empiezan por utilizar el Teorema del Seno, y acabar con el Teorema de Pitágoras.
Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces: