Matemáticas - Jorge Morra

21/01/201921/01/2019

Álgebra Lineal I. UNED. Febrero 2016. (B)

En esta entrada voy a resolver el examen de la UNED de la asignatura Álgebra Lineal I; concretamente de febrero de 2016, y en este caso de la segunda semana. En Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números podéis encontrar otro post en el que resuelvo el examen de esta asignatura de febrero de 2018.

La asignatura de Álgebra Lineal está dividida en dos. Una primera, del primer cuatrimestre, llamada Álgebra Lineal I, y una segunda del segundo cuatrimestre llamada Álgebra Lineal II. Como veis los matemáticos no nos esforzamos mucho en caracterizar las asignaturas por nombres; de hecho recuerdo que en mi carrera tuve Geometría I, Geometría II, Geometría III, Geometría IV y Geometría V; ¿para qué cambiar, no?

Pero bueno…, bromas aparte, es cierto que los contenidos que se imparten y estudian en Álgebra Lineal I, no son los mismos que en Álgebra Lineal II, aunque es verdad que la base son los espacios vectoriales y las aplicaciones entre dichos espacios, es decir, los homomorfismos.

El examen podéis descargarlo aquí, y cómo podéis observar consta de tres ejercicios prácticos y una pregunta teórica, en la que hay que definir algunos conceptos.

La pregunta teórica se resuelve estudiando, sí, estudiando. Puede parecer de perogrullo, pero la teoría hay que estudiarla para poder entender los conceptos, y hay que dedicarle mucho tiempo porque aunque pueda parecer una tontería, cuando entiendes verdaderamente un concepto los problemas te parecen nimiedades.

Ejercicio 1

Los restantes tres ejercicios son más difíciles. El primero es un ejercicio teórico, un posible corolario que podríamos encontrarnos en un texto cualquiera de Álgebra Lineal.

Es una demostración en toda regla. Se nos plantean unas condiciones iniciales y nos piden que demostremos unas condiciones finales. Básicamente es un «si y sólo si», o cómo también podemos encontrarnos «una condición necesaria y suficiente» de que algo ocurra para que algo ocurra. Es posible que éste sea el más díficil para todos aquellos que empiezan en el grado porque al principio no es sencillo entender qué es lo que me están pidiendo ni cómo me lo están pidiendo.

No puedo dar muchas recomendaciones sobre cómo se resuelven este tipo de problemas. Nos están pidiendo una demostración, y debemos hacerla de la misma forma y con los mismos argumentos que podemos encontramos en un texto de Álgebra Lineal. Nos va a parecer muy difícil en un primer momento porque no estamos acostumbrados a ello, pero con el tiempo y viendo muchas demostraciones de teoremas, lemas y corolarios acabaremos aprendiendo a hacerlo y a conocer diferentes métodos para lograrlo.

Ejercicio 2

El segundo es un problema práctico. Se trata de trabajar con las matrices 2×2 y con dos subespacios suyos. Su resolución no es difícil si observamos que podemos «trasladarnos» al espacio vectorial $\mathbb{K}^4$ y trabajar en dicho espacio.

Al movernos al espacio $\mathbb{K}^4$ , estamos en un lugar más asequible y más conocido. Podemos hacerlo por la isomorfía que existe entre ambos, y curiosamente podemos hacerlo enumerando y ordenando las coordenadas de las matrices y las coordenadas de los vectores de $\mathbb{K}^4$ , aunque desconozcamos cuál es el isomorfismo que les hace esencialmente idénticos.

Ejercicio 3

El tercer y último ejercicio es otro problema, concretamente de aplicaciones lineales, o como prefiero llamarlas, de homomorfismos.

Aunque en todos o en la inmensa mayoría de los textos de Álgebra Lineal los conceptos de aplicación lineal y homomorfismo son idénticos, a mí me gusta diferenciarlos. Yo defino un homomorfismo una aplicación entre espacios vectoriales que conserva la estructura; y defino una aplicación lineal como una aplicación entre un espacio vectorial y el cuerpo en el que se contruye. Se puede considerar a un cuerpo como un espacio vectorial; y es por ello que no estaríamos hablando de conceptos distintos (el de aplicación lineal y homomorfismo); pero cuando la aplicación es sobre $\mathbb{K}$ , la idea que subyace detrás no es la de conservar la estructura. Recordad a este respecto los espacios duales de los espacios vectoriales; que no son más que los espacios de las aplicaciones lineales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ del espacio vectorial.

De todas formas el nombre que le pongamos es, obviamente, lo de menos. Cuando en Matemáticas se estudia un conjunto, y por tanto se estudia su estructura con operaciones internas o externas que contenga, se estudian después las aplicaciones que conservan dicha estructura. Los homomorfismos son dichas aplicaciones.

16/12/201820/12/2018

Tema 2. Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos. Diagramas en árbol.

En esta entrada voy a desarrollar el segundo tema de la oposición de Matemáticas de Secundaria; que no es otro que los fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos y los diagramas en árbol.

La preparación de las oposiciones de Matemáticas no es fácil precisamente, como tampoco lo son la resolución de las partes prácticas de las Comunidades Autónomas. Con estos artículos pretendo ayudar en la medida de lo posible a aquellos opositores que hayan decidido hacerlo.

El desarrollo lo he concretado en siete vídeos de diversa duración; aunque es cierto que uno de ellos, el séptimo exactamente, tiene una extensión de algo más de una hora. Podría haberlo cortado en dos o tres vídeos y haber tenido entonces un total de diez más o menos. Sin embargo, dividir la demostración de un teorema en partes no es algo que me guste mucho; y al final he pensado que era mejor dejarlo íntegramente en uno solo.

El tema tiene dos partes bien diferenciadas: una primera con la teoría de grafos, y la segunda una caracterización de un tipo de grafo concreto, los árboles.

Para la primera parte, el desarrollo propio de la teoría de grafos, he grabado cinco vídeos. En ellos defino los grafos, los tipos de grafos y luego hago un estudio más o menos exhaustivo de los grafos eulerianos y de los grafos hamiltonianos.

La segunda parte, la de los diagramas en árbol, se desarrolla en dos vídeos. Uno primero de duración más corta, con definiciones básicas, en la que demuestro un resultado necesario para la caracterización de los árboles; y una segunda de más de una hora, en la que caracterizo dichos árboles.

Definiciones

Un grafo podría definirse como la representación en un plano de una serie de puntos y de las líneas que unen dichos puntos. A éstos se les denomina vértices y a ellas aristas. Las aristas pueden ser dirigidas y el grafo se denomina grafo dirigido. Todas estas definiciones y algunas más las podéis encontrar en el primer vídeo y en los sucesivos.

La teoría de grafos se considera predecesora de otras ramas muy importantes de la Matemática, como la Topología; y como aplicación en ramas de la ciencia, de la información de los transportes, etc.

Grafos Eulerianos. Definiciones

La mayoría de los autores consideran el problema de los puentes de Königsberg como el origen de la teoría de grafos. Dicho problema se planteo a principios del siglo XVII. La ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, que fue anexionada por la URSS al finalizar la II Guerra Mundial, y ahora pertenece oficialmente a la exrepública Rusia, tiene siete puentes que cruzan en distintas partes del río Pregel. El problema o juego consistía en encontrar un camino que cruzara dichos puentes sin repetir ninguno de ellos.

Podéis ver el dibujo esquemático del problema.

**Problema de los Puentes de Königsberg, origen de la teoría de grafos: ¿serías capaz de encontrar un camino que recorra todos los puentes sin repetir ninguno?**

Euler resolvió el problema de los siete puentes restringiéndolo a un problema de teoría de grafos.

La resolución, como muchas del gran matemático alemán, contiene ideas brillantes pues lo reduce básicamente a la paridad de los vértices. La idea que subyace detrás, y que es el inicio de la teoría de grafos, es poco menos que brillante.

Sin embargo no fue Euler el que caracterizó los grafos que posteriormente llevaron su nombre. Se considera un grafo euleriano aquel que contiene un circuito euleriano; y un circuito euleriano es aquel que pasa por todas las aristas recorriendo cada una de ellas una sola vez; siendo un circuito un camino que empieza y acaba en el mismo vértice.

Grafos Eulerianos. Caracterización

El teorema que determina aquellos grafos que contienen un circuito que pase por todas las aristas una única vez es debido a Carl Hierholzer, matemático alemán de mediados del siglo XIX. Hierholzer demostró, en 1971, que la condición necesaria y suficiente para que un grafo conexo contenga un circuito que pase por todas las aristas una única vez es que todos los vértices sean de grado par.

Euler solo demostró la condición necesaria aunque aparentemente llegó a enunciar la suficiente sin demostrarla. Es curioso sin embargo que dicha condición necesaria sea suficiente para demostrar la imposibilidad de la existencia de un camino en el problema de los puentes de Königsberg.

Grafos Hamiltonianos

Como tipo de grafo también de cierta importancia se encuentran los grafos hamiltonianos. Dichos grafos son aquellos que contienen un ciclo hamiltoniano; y un ciclo de estas características es un camino que comienza en un vértice y pasa por todos los vértices restantes sin hacerlo dos veces por ninguno de ellos.

Al igual que con los grafos eulerianos, la atribución de este tipo de grafos se debe al matemático Sir William R. Hamilton, pero lo cierto es que no fue éste sino T. P. Kirkman el primero que investigó tales grafos. Aunque sí fue Hamilton el que diseñó el juego “El dodecaedro del viajero”, o “El viaje alrededor del mundo”. Dicho juego constaba de un dodecaedro sólido donde los vértices representaban veinte ciudades importantes de la época. El juego consistía en trazar un recorrido a través de las aristas del dodecaedro, pasando una única vez por cada ciudad.

Diagramas en árbol. Definiciones

En la segunda parte del tema defino y desarrollo los diagramas en árbol. Un grafo se dice que es un árbol si es conexo y no tiene circuitos. El concepto de diagrama en árbol se asemeja bastante a nuestra idea intuitiva de lo que es un árbol.

Caracterización de los árboles

En los dos últimos vídeos doy algunas definiciones básicas y demuestro un teorema que caracteriza de alguna forma los árboles.

06/10/201811/04/2020

Oposiciones Matemáticas Castilla la Mancha. Toledo 2018

Hola buenas. En esta entrada voy a resolver los problemas de la prueba práctica de la Oposición de Matemáticas de Secundaria en Castilla la Mancha, en el año 2018 y más concretamente en Toledo. Podéis descargar la prueba aquí.

Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes.

Bueno, retomemos este práctico. En esta ocasión fueron tres problemas. Es cierto que no tan complicados, por lo menos a mi modo de ver, como los vistos en otras convocatorias; sin embargo es también cierto que había que conocer algunos conceptos básicos de Probabilidad y Estadística o también algunas ideas sobre Teoría de Números.

Antes de ver los vídeos, mi consejo es que intentéis hacer los ejercicios. Sé que en muchos casos apenas se encuentra tiempo; pero es que la única forma de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas. Esto puede parecer de Perogrullo, pero de Perogrullo o no, os puedo asegurar que no existe otra manera.

Todos los métodos que podáis aprender, todos los procedimientos que podáis leer o estudiar en libros que “teóricamente” os enseñen a resolver problemas pasan por afirmar que la única forma de conseguirlo es resolviéndolos.

Por otra parte, a mí me gustaría añadir un pequeño consejo cuando os plantéis delante de uno; bien sea en la misma oposición o en casa, estudiando: leed el problema tranquilamente, entendedlo, analizadlo; y cuando estéis seguros de que lo comprendéis al dedillo, entonces plantearos formas de resolución de principio al fin, examinando el tiempo que podáis dedicar a cada forma y si con ella podréis acabar de resolverlo completamente. Dedicad a esta tarea varios minutos, hasta quince incluso; porque os aseguro que aunque penséis que es tiempo perdido, no lo será; sino que os permitirá cribar convenientemente las distintas posibilidades que tengáis para resolverlo, y hacerlo en mucho menor tiempo del que hubierais tardado en otro caso.

Problema 1: Teoría de Números

El primero de los ejercicios, uno relacionado con la teoría de números, con múltiplos y divisores, o con la teoría de grupos y anillos módulo un número entero, no era excesivamente complicado. Había que estudiar caso por caso, pero incluso así, el número de casos con que nos encontrábamos no suponía que el problema se alargase en demasía en el tiempo. Si se trataba con orden y lógica se podía resolver en no más de treinta minutos, lo que aparentemente permitía continuar con buenas perspectivas con el resto de ejercicios.

El problema decía así:

Demuestra que todos los términos de la sucesión $\{a_n\}_n> 2$ son múltiplos de 600, siendo:

$\pmb{a_n=(n^2-1)(n^2+1)(n^4-16)n^2}$

La forma de resolverlo pasaba por descomponer en factores primos el numero 600, y después comprobar que cualquiera de los términos de la sucesión contenía en su descomposición al menos los mismos factores elevados también al exponente en el que se encuentran en 600. Como dije antes no es difícil, y si se hace ordenadamente tampoco demasiado largo.

Otra posibilidad de resolución podría ser por inducción sobre $n\in \mathbb{N}$ ; aunque reconozco que este método no he llegado siquiera a intentarlo. Puedes intentarlo tú a ver que sale; mi percepción ante el problema y el procedimiento me dice que puede ser algo más difícil.

Problema 2: Geometría del Triángulo

Este segundo problema es el más elegante de los tres, el mas divertido, el más entretenido, y como podéis adivinar el que más me ha gustado.

Se trata de un problema eminentemente geométrico; concretamente se trata de demostrar que una recta, o un segmento que divide a un triángulo en dos polígonos de la misma área y el mismo perímetro debe pasar por el incentro del triángulo. Aunque lo redactaré después exactamente como se expuso en el examen, en las líneas anteriores ya ha quedado perfectamente descrito.

Es un problema elegante porque con imaginación y fantasía; y con conceptos sencillos como que el área de un triángulo es la base por la altura partido por dos, o que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo; podemos llegar fácilmente a su demostración.

El problema dice:

Demostrar que una recta $d$ , que divide a un triángulo $\pmb{ABC}$ en dos polígonos del mismo perímetro y de la misma área debe pasar por el centro de la circunferencia inscrita al triángulo $\pmb{ABC}$ .

En el vídeo podéis ver su resolución, sin embargo yo recomiendo que intentéis resolverlo por vosotros mismos. Hacedlo, utilizando los conceptos básicos necesarios que describí antes, y a ver qué os sale.

Problema 3: Probabilidad y Estadística

El tercer problema es de Probabilidad y Estadística. Es el más feo de los tres. Un ejercicio puramente de integrales de funciones de densidad, de funciones de distribución y del cálculo de las medidas de una distribución continua: media, varianza, moda y mediana.

Si conocemos las fórmulas elementales de las distribuciones continuas entonces no deberíamos tener muchos problemas en su resolución.

El problema dice así:

Una variable aleatoria ${\chi}$ tiene una función de densidad dada por:

$\pmb{f(x)=\left\{ \begin{array} {cc} 0 & \text{si } x\leq 0 \\ kxe^{-x^2} & \text{si } x>0 \end{array}}$

a) Hallar el valor de ${k}$ para que. en efecto, sea una función de densidad de probabilidad.

b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria $\pmb{\chi}$ y calcular ${P(-1\leq \chi \leq 1)}$ .

c) Hallar el valor de la moda y de la mediana.

d) Hallar el valor esperado de ${\chi}$ y su varianza.

Con estos vídeos se resuelven los tres problemas de la Oposición de Matemáticas de Secundaria en Castilla la Mancha, más concretamente en Toledo en junio de 2018.

Espero que se hayan entendido bien, y que os ayuden en vuestra empresa de conseguir aprobar.

Por último, en los siguientes enlaces tenéis las entradas a mi blog de otras pruebas prácticas que también las he resuelto:

Castilla la Mancha (Albacete 2015)

Comunidad Valenciana (Alicante 2009)

Extremadura (Badajoz 2000)

Castilla y León (2018)

Un saludo.

Jorge.

04/04/201801/11/2019

Oposiciones Matemáticas Alicante 2009. Parte Práctica

En este post encontraréis vídeos en los que resuelvo los problemas de la parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas en la Comunidad Valenciana; y más concretamente en el 2009 y en la provincia de Alicante.

Si os interesan también otras pruebas prácticas os dejo algunos enlaces con otras entradas de exámenes también resueltos:

Oposiciones Matemáticas Albacete 2015

Oposiciones Matemáticas Toledo 2018

Extremadura (Badajoz 2000)

Castilla y León (2018)

Aquí os vais a encontrar un total de cinco vídeos. En el primero hago solamente una introducción a los ejercicios que se proponen; y en él hablo y comento cada uno de ellos sin entrar en profundidad en su forma de resolución.

Los restantes contienen los problemas resueltos. Reconozco que con diferente dificultad cada uno de ellos; algo que ya comento en los vídeos. En definitiva, espero que no tengáis problemas en las explicaciones; pero como siempre digo, podéis enviarme una observación en el canal de youtube donde estarán colgados, o bien en este blog, o bien en el correo electrónico; lo que prefiráis.

Introducción.

Problema nº1

Sea $M_{3}(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden 3,

(i) Demostrar que el conjunto $A$ de las matrices reales antisimétricas de orden 3 es un subespacio vectorial de $M_{3}(\mathbb{R})$ y obtener razonadamente una base canónica de este subespacio.

(ii) Si $A\longrightarrow P_3(\mathbb{R})$ es la aplicación lineal definida mediante

$\text{T}\left \{ \left (\begin{array} {ccc} 0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0 \end{array} \right) \right \}:=ax+bx^2+cx^3$

hallar la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base canónica de $A$ y a la base canónica $\{1,x,x^2,x^3\}$ de $P_3(\mathbb{R})$ , y escribir la ecuación matricial de la aplicación lineal.

(iii) Hallar el núcleo y la imagen de esta aplicación lineal y demostrar que es un isomorfismo sobre el conjunto imagen $Im(\text{T})$ .

(iv) Comprobar que se cumple el Teorema de las dimensiones.

Este problema se resuelve utilizando el Álgebra Lineal y los conceptos mínimos sobre homomorfismos entre espacios vectoriales. Es sabido que todos los espacios vectoriales de una misma dimensión son isomorfos; para eso basta definir una aplicación que lleve una base de uno de ellos en una base del otro y comprobar que dicha aplicación es en realidad biyectiva. Aplicando el teorema que afirma que $V/ker f$ es isomorfo a $Im f$ , siendo $f$ un homomorfismo se llega sin dificultad al resultado que pide el problema.

Problema nº2

Sean dos segmentos AB y BC de igual longitud d que están articulados por el punto B. El punto A está sobre el origen de coordenadas y el punto C varía sobre el eje OX positivo. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de un punto P situado sobre el segmento BC a una distancia p del punto C. Dibujar el lugar.

Es, con diferencia, el de mayor dificultad de los cuatro. Sin embargo en apariencia no parece muy complicado pues enseguida me di cuenta que el lugar geométrico era una elipse, o en este caso (aunque luego no lo digo en el vídeo), un cuarto de elipse. Pero cuando se trabaja con ecuaciones de segundo grado con cuatro o cinco variables la «cosa» se complica; y a mí se me complicó.

Dediqué al problema más tiempo que a lo dedicado a los otros tres juntos; desde luego bastante más de tres horas, y utilizando las ecuaciones cartesianas no conseguí resolverlo.

Cuando finalmente obtuve un resultado que parecía válido me di cuenta que no era correcto; así que tuve que volver a empezar, pero ahora cambié las coordenadas cartesianas por coordenadas polares; y con la demostración de un resultado de trigonometría aplicado a triángulos isósceles llegué a la elipse buscada.

Problema nº3

Calcular la longitud del arco de curva $y=\ln\frac{e^x-1}{e^x+1}$ comprendido entre los puntos de abscisa 2 y 4.

En este ejercicio se pide calcular la longitud del arco de una curva (que resulta ser una función), entre dos puntos de abscisa 2 y 4. Es necesario conocer la fórmula que nos da la longitud, que viene dada por una integral; y es necesario también conocer el cambio de variable a efectuar, así como la resolución de integrales racionales. Yo no conozco de memoria dicha fórmula, y en el vídeo muestro cómo se puede deducir utilizando los conocimientos mínimos sobre integrales definidas, áreas y longitudes.

Problema nº4

Se lanza un dado hasta que aparezcan tres resultados distintos. Calcular el número medio de lanzamientos que hay que realizar.

Este último problema es de probabilidad en el que utilizo la Regla de Laplace. Para calcular tanto los casos favorables como los posibles utilizo la Combinatoria explicando cada uno de los pasos.

Sin embargo la cuestión que plantea el problema no es la probabilidad de que los lanzamientos se detengan en la tirada enésima, sino la media del número de lanzamientos que hay que realizar. Como no tenemos un número máximo de tiradas, éste nunca acaba, lo que conlleva la suma de una serie de infinitos términos. Para sumar dicha serie utilizo las series de potencias y algunos teoremas de integrales o derivadas de series uniformemente convergentes.

Espero que todos los vídeos os hayan gustado, que se hayan entendido sin demasiados problemas y que os faciliten la tarea de estudiar la parte práctica de la oposición.

Ya sabéis que podéis hacer cualquier comentario en el blog, en el canal de Youtube, o en mi correo electrónico.

Un saludo.

Jorge

02/01/2018

Torres de Hanói

¿Conoces el rompecabezas de las Torres de Hanói? ¿Sabes resolverlo? ¿Conoces el procedimiento?

Lo cierto es que no es nada difícil. El problema fue inventado o creado a finales del siglo XVIII (en la Wikipedia tenéis todos los datos). Se trata de mover unos discos ordenados de mayor a menor y que se encuentran apilados en una columna, a otra columna siguiendo unas reglas básicas.

En principio el número de columnas entre las cuales podemos realizar los movimientos son tres y nuestros discos, que se encuentran en la primera columna, deben trasladarse a la tercera.

Reglas para su resolución:

Son sencillas:

Sólo se puede mover un disco por movimiento.
Cada disco solo se puede colocar encima de otro disco de mayor tamaño.
De la pila o columna correspondiente solo se puede mover el disco que se encuentre encima de todos, es decir, el de menor tamaño de dicha pila.

Es evidente que el número de movimientos necesario para resolver el problema dependerá del número de discos. Es demostrable en este caso que con n discos tendremos:

En este primer vídeo se demuestra el resultado anterior:

Para el segundo vídeo explico cómo resolver el rompecabezas para tres y para cuatro discos.

En este tercer vídeo, mi hija Paula, que se ha interesado en el problema lo resuelve para cinco discos, con 31 movimientos. Ahora está intentando resolverlo para seis.

En este último vídeo lo resuelvo para ocho discos. Voy explicando el procedimiento, que consta como ya demostré en el primer vídeo, de 255 movimientos.

Espero que os hayan gustado todos y os haya interesado el rompecabezas. No es difícil su resolución y hay que reconocer que muy entretenido.

Si algo os ha parecido que no estaba correcto, o tenéis dudas al respecto, o si queréis hacer cualquier comentario, tenéis mi correo electrónico o podéis hacer cualquier comentario que creáis con

Un saludo.

Jorge.

21/11/2017

¿Sabes factorizar polinomios en una variable?

Hola, muy buenas.

Pues eso…

¿Sabes factorizar polinomios en una variable? ¿Conoces el concepto de raíz de un polinomio? ¿O el concepto de factor?

Son tres ideas que están íntimamente relacionadas, y se utilizan para descomponer un polinomio en producto de polinomios de grado más pequeño.

Los conceptos de raíz y factor, que se tratan aquí, también puedes estudiarlos en otra entrada de este blog: problemas-de-divisibilidad-de-polinomios en la que puedes estudiar la relación tan estrecha entre la divisibilidad y la factorización.

La factorización de polinomios es uno los pilares del Álgebra, puesto que debemos de tener en cuenta la relación tan directa que existe entre el Cuerpo de Fracciones de los números Enteros, que no es más que el conjunto de los Racionales, y el Cuerpo de fracciones de los Polinomios, que son las famosas fracciones algebraicas. Ambos conjuntos denominados comúnmente en Álgebra como el Cuerpo de Fracciones de un Dominio de Integridad. Tengamos en cuenta que tanto el conjunto de los Enteros como el de los Polinomios con coeficientes en los Enteros tienen la estructura algebraica de un Dominio de Integridad.

Sin embargo, no quiero que este post se convierta en una mala clase magistral de Álgebra, sino que sea más bien una ayuda para que todos aquellos estudiantes que tengan problemas a la hora de descomponer un polinomio en producto de polinomios de grado menor, tengan en estos vídeos una ayuda para tal procedimiento.

Es cierto también que es un error relativamente común entre los estudiantes, pensar que cuando extraemos un número entero como factor común de un polinomio, lo estamos factorizando realmente, y lo cierto es que no es así.

La factorización implica que la descomposición de un cierto «P(x)» debe ser en polinomios de grado mayor o igual a uno, como por ejemplo:

P(x)=(x-1)(x+2)(3x-2)

Y además como se puede observar, también con coeficientes enteros.

La factorización en polinomios con coeficientes reales que incluyan obviamente radicales no es tema de esta entrada, y aunque su estudio está muy relacionado, no es algo que se estudie en Secundaria ni en Bachillerato.

En los tres vídeos que podéis ver a continuación se expone el procedimiento estándar para factorizar un polinomio. Procedimiento que es el que se explica en 3ºESO, en 4ºESO e incluso en Bachillerato.

Primer vídeo: raíces simples

En el primero de los vídeos la descomposición es en factores simples, es decir en factores de grado uno. El procedimiento es el de la división por Ruffini para buscar posibles raíces y por tanto posibles factores.

Segundo vídeo: raíz doble y polinomio de segundo grado irreducible (raíces complejas)

En el segundo de los vídeos nos encontramos con un factor de segundo grado irreducible y una raíz doble que implica un factor de primer grado elevado al cuadrado.

Tercer vídeo: raíces simples racionales

Y en el tercer y último vídeo el polinomio a factorizar tiene raíces racionales, lo que conlleva necesariamente su búsqueda resolviendo una ecuación de segundo grado puesto que por otro método encontrar dichas raíces es poco menos que imposible.

No mucho más que decir en esta entrada, solamente que espero que os hayan gustado los vídeos.

Por último si tenéis algún comentario que hacerme podéis hacerlo más abajo, o bien escribirme un correo electrónico; como prefiráis.

Un saludo.

Jorge.

22/10/201705/04/2018

Operar con Radicales: sumas, productos, racionalización ¿Conoces sus propiedades pero te cuesta trabajo saber aplicarlas?

En este post vamos a trabajar con radicales, vamos a efectuar las operaciones con radicales más comunes, que no son otras que la suma, la resta, la multiplicación, la división y la racionalización.

Es conocido que en principalmente en 4ºESO, es uno de los problemas principales que tienen los alumnos. En general aunque se estudian las propiedades de las potencias y de las radicales, lo cierto es que cuando tienen que aplicarlas surgen verdaderos problemas.

En general el alumno es capaz de entender las explicaciones de los profesores, pero luego en numerosos casos son incapaces de volver a realizarlas salvo que se las estudien de memoria, algo que en Matemáticas se desaconseja del todo.

La razón principal es que como ya dije en otros posts, las Matemáticas no son fáciles, y es estrictamente necesario realizar ejercicios prácticamente a diario, algo que una mayoría de los alumnos no hacen.

Te propongo por lo menos, que cuando tengas cerca un examen de radicales, refresques un poco la memoria visualizando estos vídeos, y volviendo a realizar los ejercicios que has estado haciendo a lo largo del tema.

Primer vídeo.

En el primer vídeo verás como se resuelve una operación de sumas y restas de radicales, en los que previamente se han tenido que extraer factores para que los radicales sean semejantes.

Segundo vídeo

En el segundo vídeo vamos a trabajar con los productos de radicales con distinto índice. Por una de las propiedades de los radicales es necesario que para multiplicarlos tengan el mismo índice, así que será necesario reducirlos previamente a índice común.

Tercer vídeo

Aquí resolveré un ejercicio relativamente corriente que suele obtenerse en cursos de bachillerato. Dicho ejercicio no es otro que el producto de radicales cuadrados, en los que se utiliza la propiedad distributiva o las identidades notables.

Cuarto vídeo

En este cuarto vídeo se tratará la racionalización. Racionalizar una fracción con radicales es »eliminar» las raíces del denominador. Para ello se suele multiplicar por la misma raíz (si es cuadrada), o por la que sea necesaria para que en el denominador solamente quede un número.

En ocasiones, cuando en el denominador hay sumas o restas, será necesario multiplicar el numerador y denominador, por el conjugado del denominador. Obtendríamos así una suma por diferencia que como identidad notable resulta una diferencia de cuadrados. De esta forma nos »desharíamos» de las raíces en los denominadores de las fracciones.

En este caso, como ya explico en el vídeo, es preferible racionalizar antes de hacer la operación de suma, puesto que el cálculo del mínimo común múltiplo con radicales es algo más complicado.

Quinto vídeo

En este último video de la serie, realizaremos productos y cocientes de radicales de distinto índice, pero con letras. Las operaciones que vamos a realizar ahora son con radicales, pero en cierto modo también son algebraicas.

El ejercicio no es mucho más complicado con letras que con números. De hecho en ocasiones el hecho de tener que trabajar con letras simplifica las operaciones puesto que en estos casos no es necesario factorizar.

Como en otro vídeo anterior, tendremos que reducir a índice común para poder efectuar las operaciones de producto y cociente. También tenéis que tener claras las operaciones con potencias puesto que todos estos casos se utilizan en numerosas ocasiones.

Espero que os hayan gustado los vídeos, y los hayáis entendido. Mi recomendación ahora es que volváis a hacer los cinco ejercicios parando el vídeo; y después comprobéis si la solución que habéis obtenido es la misma que a mí.

La representación de radicales de índice 2 utilizando el teorema de Pitágoras, no es tema de este post, aunque sí es un contenido de 4ºESO. Si quieres puedes conocer su procedimiento en el enlace:

Cómo representar números irracionales en la recta real

Por último, en la siguiente entrada tenéis algunas operaciones con radicales más.

¿Cómo operar con logaritmos, potencias y radicales?

Bueno, si tenéis alguna duda, o si queréis hacer algún comentario podéis hacerlo sin problema; o si queréis escribirme un correo electrónico con vuestras dudas podéis hacerlo e intentaré contestar en cuanto pueda.

Un saludo.

16/10/201719/10/2017

Cómo resolver problemas de divisibilidad de polinomios Divisibilidad de polinomios. Raíces de un polinomio.

Tres métodos diferentes para resolver un problema de divisibilidad de polinomios.

Hola, muy buenas.

Las ideas que subyacen detrás de la divisibilidad de polinomios y el concepto de raíz de un polinomio están íntimamente relacionadas. Este hecho permite que los ejercicios de divisibilidad o de raíces se puedan resolver utilizando diferentes métodos.

En este post vamos a resolver un problema en el que se pide el cálculo de dos incógnitas dentro de un polinomio que cumple unas condiciones concretas de divisibilidad.

Cuando estudias 4ºESO ó 1ºBachillerato, y en particular la divisibilidad de polinomios, los profesores somos bastante exigentes en cuando al conocimiento mínimo con las operaciones básicas entre ellos. Entre estas operaciones están la suma, la resta, el producto y el cociente. Sin embargo, estos procedimientos ya se empiezan a estudiar en 2ºESO, y cuando llegáis a Bachillerato se os pide que vuestros cálculos y operaciones con polinomios e incluso fracciones algebraicas sean mucho más correctos. En otras palabras, nos volvemos más exigentes y os empezamos a pedir que entendáis los conceptos y no tanto los procedimientos.

El ejemplo que voy a resolver en el video es el típico que suele caer en muchos de los exámenes de Secundaria o de Bachillerato. Obviamente, según el curso, el problema tiene una dificultad diferente, aunque en esencia el procedimiento a tratar en ambos es el mismo.

Consideremos el siguiente polinomio:

Se trata de calcular los valores de «m» y «n» para que P(x) sea divisible entre:

Este problema se puede resolver de diferentes formas, y su dificultad estriba más en los cálculos que en el entender los conceptos. En el video explico cómo calcular las incógnitas que se piden de tres formas distintas.

Primera forma:

En ella aplicamos directamente el procedimiento de la división de polinomios. Para ello se llevan las incógnitas hasta el final y después se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas relativamente sencillo.

Segunda forma:

Aquí se aplica la propiedad transitiva que tiene la relación de divisibilidad de polinomios. Se cumple que si un polinomio P(x) es divisible entre otro Q(x) y éste último es divisible entre un tercer polinomio T(x), entonces se puede afirmar que P(x) es divisible entre T(x). Esta forma simplifica algunos de los cálculos puesto que después es posible aplicar la regla de Ruffini. En el vídeo lo entenderás mucho mejor.

Tercera forma:

Y por último utilizando el concepto de raíz de un polinomio. La idea es que si P(x) es divisible entre Q(x) entonces todas las raíces que tenga Q(x) son también raíces de P(x). Aplicando a continuación el hecho de que el valor numérico de un polinomio para con sus raíces es cero, se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se resuelve fácilmente.

No quiero extenderme más, estoy seguro de que en el vídeo lo entenderéis todo mucho mejor. En cualquier caso, si os surgen dudas siempre podéis dejar un comentario o enviarme un correo electrónico con vuestras impresiones.

Un saludo.

Jorge.

11/10/201705/04/2018

¿Polinomio de Taylor? ¿Funciones analíticas? ¿Conoces la relación entre el Polinomio de Taylor y las Funciones Analíticas?

En este post vamos a introducir dos nuevos conceptos en Matemáticas: ¿para qué sirve el Polinomio de Taylor? y ¿qué son las Funciones Analíticas?

El concepto de Función Analítica está profundamente estudiado, tanto en el cuerpo de los números Complejos como en el de los números Reales. La idea que subyace detrás de la definición de una función analítica es la de poder estudiarla sustituyéndola por otra función más sencilla con la que podamos operar con más facilidad.

Las funciones más sencillas son los polinomios; podemos derivarlos e integrarlos sin dificultad, conocer sus máximos o mínimos con poco más que estudiar su grado, calcular sus valores en puntos concretos con pocas operaciones… Podemos en general estudiarlos de forma relativamente sencilla.

Así que si aproximamos una función en un punto por medio de un polinomio conoceremos cómo es dicha función estudiando al polinomio en ese punto.

De ahí sale la idea entonces. Taylor consideró, allá por el siglo XVIII que había funciones que en puntos de su dominio podían aproximarse por un polinomio concreto. Dicho polinomio, que posteriormente se llamó el Polinomio de Taylor, dependía de la cantidad de veces que la función era derivable en dichos puntos. Sin embargo, el hecho de que aproximara a la función dependía además de que a medida que aumentáramos su grado, el valor en puntos cercanos se acercaba a cero.

Teorema de Taylor

Este resultado es lo que se considera el Teorema de Taylor; que afirma que la condición necesaria y suficiente para que una función sea analítica en un punto, es que sea derivable infinitas veces en dicho punto, y que el resto del Polinomio de Taylor de grado n tienda a cero cuando n tienda a infinito; todo ello en un entorno suficientemente pequeño de dicho punto.

Obviamente, lo escrito hasta ahora puede confundir al que lo está leyendo; y no quiero que eso ocurra. Piensa solamente que las funciones analíticas son aquellas que pueden ser aproximadas por polinomios en puntos concretos. El objetivo es trabajar con los polinomios que las aproximan que con dichas funciones.

En el cuerpo de los Complejos las condiciones que implican que una función sea analítica son menos restrictivas y no se van a estudiar en este post, ni en el video que tienes a continuación.

En dicho video analizaremos someramente los conceptos que he estado tratando hasta ahora con un ejemplo de la función analítica por excelencia que es la exponencial. Espero que os guste, y que si tenéis dudas o si queréis hacer algún comentario hacedlo; y si os puedo ayudar o queréis que profundice más en el tema, solo tenéis que decírmelo.

Por último, en la entrada:

Oposiciones Matemáticas Alicante 2009. Parte Práctica

podéis encontrar un problema en el que se utiliza la serie de Taylor para resolverlo. Concretamente el cuarto; y aunque es de probabilidad, la suma de las series que hay que realizar son en realidad series de Taylor.

Un saludo.

Jorge

04/10/2017

Base y ecuaciones de un subespacio vectorial. Subespacios vectoriales de dimensión finita.

Hola, muy buenas.

En este tercer post voy a explicar cómo podemos encontrar o calcular una base de un subespacio vectorial de dimensión finita que se encuentre generado por un conjunto finito de vectores; y además cómo escribir una ecuaciones de dicho espacio.

Lo cierto es que me decidí a escribirlo porque una ex-alumna me planteó algunas dudas sobre un posible examen final del Grado que está haciendo. Dentro de dicha prueba, la primera cuestión estaba relacionada con obtener una base de un subespacio del espacio vectorial real de cuatro dimensiones. De dicho subespacio nos daban cinco vectores »generadores»; y se tenía que encontrar una base y por defecto la dimensión del subespacio.

Además se pedían unas ecuaciones paramétricas y otras cartesianas o implícitas de dicho subespacio.

Supongamos un espacio vectorial de dimensión »m»; y consideremos dentro de él otro subespacio vectorial generado en este caso por un número finito de vectores, »n», por ejemplo. Para calcular la dimensión basta considerar la matriz formada por dichos vectores y estudiar su rango. Es obvio que no podrá ser mayor que »n», y es obvio también que no podrá ser mayor que la dimensión del espacio que le contiene, es decir, no podrá ser mayor que »m».

El cálculo es muy sencillo, basta escribir la matriz de los vectores generadores del subespacio y calcular su rango. Éste valor, »k» por ejemplo, será la dimensión del espacio. Para calcular la base escogemos del sistema generador dado, los vectores que son linealmente independientes y que son los que nos han permitido afirmar que el rango de la matriz es »k».

Las ecuaciones paramétricas se obtienen teniendo en cuenta que cualquier vector del subespacio se obtiene como combinación lineal de los vectores de la base.

Cuando hayamos obtenido las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones implícitas o cartesianas se escriben resolviendo el sistema obtenido con las paramétricas, teniendo en cuenta que en dicho sistema las incógnitas serán los parámetros que nos definen el subespacio.

Es claro también que si el subespacio es de dimensión 1, es decir una recta, las ecuaciones paramétricas solamente contendrán un parámetro; si es de dimensión 2, dos parámetros; si es 3, tres parámetros y así sucesivamente.

Lo escrito hasta ahora se puede encontrar en cualquier libro de Álgebra Lineal, y seguramente mucho mejor explicado que como lo he hecho yo. Por tanto, lo mejor es que si tenéis dudas veáis el video siguiente: »Cómo calcular una base y unas ecuaciones de un subespacio vectorial»: