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Tema 17. Programación Lineal. Aplicaciones

La Programación Matemática es una parte de las matemáticas que se encarga de la resolución de problemas en los que se determinan los extremos de una serie de funciones dentro de subconjuntos de espacios vectoriales de dimensión finita. Estos subconjuntos suelen venir dados por restricciones lineales o no lineales y los espacios vectoriales son del tipo \mathbb{K}^n donde \mathbb{K} es cuerpo. La programación matemática es una parte de lo que conocemos como Investigación Operativa, y dentro de ella se diferencia una subparte conocida como Programación Lineal, en la que las funciones a maximizar o minimizar son lineales.

La programación lineal se desarrolla a partir de la segunda guerra mundial con el fin de resolver problemas de recursos, entre ellos el conocido como problema del transporte. En dicho problema se trataba de realizar la planificación de cómo transportar cierto producto desde distintos centros de producción a distintos centros de consumo. Dicho problema fue formulado originalmente y de forma paralela por los economistas y premios Nobel en 1975, Tjalling C. Koopmans (1910-1985) y Leonid V. Kantorovich (1912-1986).

Los trabajos de Kantorovich comienzan a finales de la década de los treinta. Su idea era maximizar una función lineal dentro de un poliedro convexo. La extinta Unión Soviética no permite que su publicación salga fuera de las fronteras de la URSS y en Europa no se conocen hasta finales de la década de los cincuenta.

Al margen del problema del transporte, al finalizar la segunda guerra mundial se analiza el conocido como problema de la dieta, del economista y también premio Nobel en 1982, George J. Stigler (1911-1991). Fue una de las primeras aplicaciones de la Programación Lineal. El gobierno estadounidense se planteo el problema de seleccionar de entre un conjunto de alimentos aquellos que tuvieran un máximo nivel nutritivo con unas restricciones de cantidades, costes etc. Se trataba de optimizar una función con 77 variables y 9 restricciones. Utilizando la programación lineal el problema fue resuelto por Stigler en 1947.

No obstante, la forma de resolver ambas cuestiones y otras que se pudieran plantear en las que hubiera que optimizar una función lineal bajo unas condiciones concretas, tenía grandes dificultades. Se demostró que el óptimo se alcanzaba en los vértices del subconjunto de restricciones. El problema surgía porque no era aceptable el tener que comparar el valor que tomaba la función en cada uno de los extremos puesto que el número de estos podía ser considerablemente alto. En este caso la cantidad de operaciones a realizar era sumamente grande.

A este respecto, George Dantzig (1914-2005), este sí matemático, ideó un método revolucionario que es el que se conoce hoy día como el método del Simplex. Una de sus primeras aplicaciones estuvo relacionada con el bloqueo de Berlín en 1948, que fue el cierre de las fronteras que mantenían los ingleses y americanos con la Unión Soviética. Dicho bloqueo supuso la creación de un puente aéreo que suministrara bienes a parte de la población berlinesa. El plan de abastecimiento se resolvió utilizando la programación lineal y el método simplex ideado por Dantizg.

La llegada de los ordenadores simplificó sustancialmente el tiempo medio de las operaciones requeridas en cualquier problema. En la década de los sesenta IBM comenzó a fabricar ordenadores que eran capaces de resolver problemas con centenares de restricciones, y en la de los ochenta con miles de ellas.

En 1947 John von Neumann (1903-1957) relacionó la teoría de matrices que había desarrollado para su Teoría de Juegos, con la Programación Lineal. Con ello consiguió dar los fundamentos necesarios a una teoría que estaba naciendo y que necesitaba consolidarse matemáticamente.

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Tema 17. Programación lineal. Aplicaciones.

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Práctico Oposiciones Matemáticas Navarra 2018

En esta entrada encontrarás resueltos los problemas del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad Foral de Navarra de 2018.

Son un total de cuatro problemas ninguno de ellos difícil. Cuando los leí en un primer momento, me pareció que dos eran asequibles y con los otros dos podía encontrar al menos una forma de enfrentarme a ellos. De todas formas no es lo mismo intentar resolverlos en casita con un café, aire acondicionado y todo el tiempo del mundo que en una oposición con 40 grados y treinta minutos por problema.

Problema 1

El primero es de espacios vectoriales, concretamente de la suma de dos subespacios y de su intersección. No tuve la sensación de dificultad al leerlo. Aparentemente se trataba de trabajar con rangos de matrices, con sistemas de ecuaciones lineales y de encontrar bases de subespacios. Una complicación algo mayor que la que podemos encontrarnos en la EBAU, pero nada fuera de lo normal.

Si quieres profundizar en el tema de espacios vectoriales puedes hacerlo en el enlace:

Tema 12. Espacios vectoriales. Variedades lineales. Aplicaciones entre espacios vectoriales. Teorema de isomorfía

Dados los siguientes subespacios vectoriales S_1 y S_1 de \mathbb{R}^4:

S_1=<(1,1,-2,1),(0,1,-1,2),(2,-1,-1,-4)> S_2=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:3x+az=0;\;\;x-2y-2t=0\}

Hallar a para que S_1+S_2 sea distinto de \mathbb{R}^4. En este caso, obtener la dimensión y una base de S_1\cap S_2.

Problema 2

En el problema 2 se trataba de resolver una ecuación de grado 4. Lo primero que pensé era que el problema me iba a resultar difícil porque no recordaba las fórmulas de Ferrari para resolver una ecuación de este tipo. Lo bueno es que enseguida descubrí que no eran necesarias. El paso previo era efectuar un cambio de variable que simplificara la ecuación eliminando el término de grado 3, y al hacerlo la ecuación que resulta es simplemente una bicuadrática.

Puedes leer algo sobre el tema de ecuaciones algebraicas en el enlace:

Tema 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.

Dada la ecuación x^4+4x^3-2x^2-12x+k=0, con k\in\mathbb{R}. Se pide:

a) Discutir las soluciones de la ecuación en función de los valores del parámetro k.

b) Resolver la ecuación si k=-27.

Problema 3

El tercer problema es de envolventes. La característica principal de esta curva es que tiene buenas propiedades de tangencia con cada línea de la familia de la cual es la envolvente. Esta idea se concreta en un sistema de ecuaciones.

Demostrar que la astroide de ecuación x^{2/3}+y^{2/3}=L^{2/3} es la envolvente de la familia de segmentos móviles de longitud constante L, cuyos extremos se apoyan en los ejes de coordenadas.

Problema 4

El cuarto y último problema es de estadística. Nos dicen que la llegada del número de piezas por minuto a una máquina sigue una distribución de Poisson y nos formulan una pregunta sobre probabilidad condicionada. Además nos dan otra variable que indica el tiempo que transcurre entre la llegada de dos piezas pidiéndonos en este caso la función de distribución. Ninguna de las cuestiones era difícil, aunque en mi opinión la primera no estaba bien planteada.

El número de piezas por minuto que llegan a una máquina en una industria automovilística es una variable aleatoria X que sigue una distribución de Poisson de parámetro \lambda. Y el tiempo, en minutos, que transcurre entre las llegadas de un par de piezas, es una variable aleatoria T cuya función de densidad es:

f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}
\lambda^2te^{-\lambda t}&\text{si}&t\geq 0\\
0&\text{si}&t<0
\end{array}
\right.

Suponiendo que \lambda=3 en ambas variables aleatorias. Se pide:

a) Si en un período de 120 segundos ya han llegado al menos 3 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que en ese período lleguen como mucho 2 piezas más?

b) Obtener la función de distribución de probabilidad acumulada de T, y utilizarla para calcular la probabilidad de que transcurran menos de 90 segundos entre las llegadas de un par de piezas.



	


	





		

		
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Tema 16. Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan
	


	
	

		

Las primeras referencias de la existencia de los sistemas de ecuaciones lineales datan incluso de la matemática en Babilonia. No obstante, el problema original, o más concretamente el método de eliminación de incógnitas, proviene de la antigua china. En el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, de los siglos II y I a. C. aparece reflejado:





«Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de la segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?»





Gauss-Jordan o Fang-Cheng





Lógicamente, además del problema encontramos un procedimiento para su resolución conocido como la regla Fang-Cheng. Dicha regla es la que llamamos de Gauss-Jordan o también eliminación gaussiana. El porqué lo conocemos con el nombre de Gauss o de Gauss-Jordan se debe a que fueron ambos los que lo aplicarón de forma habitual en la resolución del problema de los mínimos cuadrados.





Aunque el procedimiento era considerado relativamente trivial, con la llegada de los ordenadores se volvió casi imprescindible. La regla de Cramer, de la que hablaremos en líneas posteriores, suponía otra forma de resolver un sistema, pero no simplificaba los cálculos. El hecho es que de forma general, los métodos de resolución se complicaban casi exponencialmente cuando aumentaba el número de incógnitas y ecuaciones. En 1946 Alan Turing (1912-1954) tardó dos semanas en resolver un sistema de 18 ecuaciones con 18 incógnitas. Aún con ello, el número de operaciones requerido en la resolución de un sistema era obstensiblemente inferior utilizando la eliminación gaussiana, que con los determinantes de Cramer. Esto provocó que con la llegada de la informática comenzara a ser el más utilizado.





Cramer y Maclaurin





Pero volvamos a Cramer. Actualmente se conoce como la Regla de Cramer a un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Es curioso que dicha regla no se deba a Gabriel Cramer (1708-1752), sino a Colin Maclaurin (1698-1746). Ésta se publicó en 1748, dos años después de su fallecimiento; y dos años antes también de que lo hiciera Cramer en su Introducción al análisis de curvas algebraicas. La razón del porqué ha llegado hasta nuestros días con el sobrenombre de Cramer se debe a la notación utilizada por éste, más clara y concisa que la de Maclaurin. De todas formas, ni Cramer ni Maclaurin hablaban de determinantes en su desarrollo, ni tan siquiera un poco más tarde Bézout, quien en un trabajo presentado en 1779, Teoría general de las ecuaciones algebraicas, daba un método para resolver sistemas de n ecuaciones con n incógnitas muy similar al de Cramer y Maclaurin.





Rouché y Frobenius





El avance en su resolución vino con el álgebra abstracta, con las matrices y los determinantes. La introducción del rango de una matriz permitió dar unas condiciones necesarias y suficientes para que un sistema tuviera solución. En 1875 Eugène Rouché, matemático francés del siglo XIX, publicó un artículo donde enunciaba el teorema que hoy conocemos como el de Rouché-Frobenius. Curiosamente ese mismo año otro matemático francés publicaba un resultado similar; y también en Italia, Alfredo Capelli daba una variación de la misma idea. Hasta tal punto llegan a aparecer publicaciones, que en Francia al teorema de Roché-Frobenius se le conoce como el teorema de Rouché-Fontené; en Italia como el de Rouché-Capelli; y en Alemania y en otros países (debido a que Leopold Kronecker utilizó los resultados de Capelli para dar una demostración alternativa), como el de Kronecher-Capelli. En España es el matemático Julio Rey Pastor el que le da el nombre de teorema de Rouché-Frobenius.





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Tema 16. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan.


	


	





		

		
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Tema 15. Ecuaciones diofánticas. Oposiciones Matemáticas
	


	
	

		

Una ecuación diofántica puede ser considerada como una ecuación algebraica cuya solución se busca dentro del anillo de los números enteros o en su defecto dentro del cuerpo de los racionales. En esencia se suele también extender la definición a un conjunto de ecuaciones, o mejor dicho a un sistema de ecuaciones algebraicas, donde como podría esperarse el número de incógnitas supera al de ecuaciones, y también se suele extender el conjunto de soluciones pertenecientes a extensiones algebraicas de los racionales, números p-ádicos, etc.





Babilonia





Ya desde la antigüedad nos encontramos con el problema de resolver ecuaciones algebraicas dentro de los números enteros. De hecho en la antigua Babilonia, en la Tabilla Plimpton 322 podemos encontrarnos las primeras ternas pitagóricas de la historia.





Grecia y Diofanto de Alejandría





No obstante el mayor resurgimiento lo encontramos en la Grecia Antigua. Diofanto, matemático griego del siglo III, escribe en su obra Arithmetica la resolución de ecuaciones de segundo y tercer grado principalmente. Supone un cambio en cuanto a los métodos tradicionales griegos, de mayor tratamiento de los problemas y soluciones geométricas en detrimento de otros métodos menos visuales. En su Arithmetica, Diofanto da una resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas, algo en lo que se desmarca de las soluciones babilónicas, mucho más aproximadas. Dentro de ellas, las indeterminadas son las que tienen una mayor importancia. No obstante, no encontramos en esta obra una sistematización de los procedimientos de resolución de ecuaciones algebraicas, sino que contiene una colección de problemas, resueltos en términos numéricos determinados y precisos. Se desconoce si Diofanto pretendía con ello introducir procedimientos y métodos más generales.





Por poner un ejemplo, en uno de los problemas Diofanto calcula dos números tales que al sumar cualquiera de ellos con el cuadrado del otro se obtiene un cuadrado perfecto. En nuestra notación, se trata de buscar m,n tales que n^2+m=p^2 y m^2+n=q^2, siendo p,q dos enteros positivos. Es claro que este problema solamente tiene soluciones dentro del conjunto de los racionales.





En otro introduce la ecuación del tipo x^2=1+dy^2 con d entero (denominada erróneamente ecuación de Pell), aunque en todos los casos se limita a dar una solución, no en desarrollar todas las que puedan cumplir la ecuación. A este respecto Diofanto se limitó en su obra a resolver problemas, no ecuaciones.





Brahmagupta y Bhaskara





El primero en dar una solución general a la ecuación diofántica lineal, ax+by=c, con a y b primos entre sí, fue el matemático hindú Brahmagupta, quien también estudió la ya mencionada ecuación cuadrática x^2-dy^2=1. Sobre ella, el también matemático hindú Bhaskara (1114-1185) la resolvió en algunos casos particulares; no obstante no fue hasta el siglo XVIII, cuando Lagrange dio la solución completa para todos los casos.





Hilbert y sus 23 problemas





Cuando los matemáticos hablamos de ecuaciones diofánticas, de forma implícita reconocemos cierta dificultad en el proceso de resolverlas. Ya las más elementales no siempre tienen solución y aquellas que la tienen no suele ser trivial. Concretamente en uno de los 23 problemas que enunció Hilbert en la conferencia de 1900, el décimo para ser exactos, planteaba la posibilidad de idear un procedimiento que dilucidara si una ecuación algebraica con coeficientes enteros, es decir, una ecuación diofántica, tenía solución en \mathbb{Z} o en \mathbb{Q}.





Tuvieron que transcurrir setenta años para que un matemático ruso, Yuri Matiyasévich, demostrara que no existe ningún algoritmo que sea capaz de determinar si una ecuación diofántica la tiene. De hecho se puede escribir explícitamente una ecuación P(x,y_1,y_2,\ldots,y_n)=0 con coeficientes enteros en la que no se puede determinar si tiene soluciones.





Al margen de lo descubierto en el siglo XX y de lo desarrollado por babilonios, griegos, árabes e hindúes, la teoría general de la solución de las ecuaciones lineales con dos incógnitas fue desarrollada en el siglo XVII por el matemático francés Claude Gaspard Bachet (1612-1635). Posteriormente, matemáticos como Pierre de Fermat (1601-1665), William Brouncker (1620-1684), John Wallis (1616-1713) y otros del XVIII y comienzos del XIX como Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813) y Gauss (1777-1885) investigaron la ecuación diofántica del tipo:






ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0






donde a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z}.





En los estudios de las ecuaciones diofánticas de grado superior a 2 con dos incógnitas, A. Thue (1863-1922), demostró que si n\geq 3 y a_0,a_1,\ldots,a_n,b\in\mathbb{Z}, la ecuación
a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\ldots +a_ny^n=b
no tiene solución o su número es finito, siempre que el polinomio P(t)=a_0t^n+a_1t^{n-1}+\ldots+a_{n-1}t+a_n sea irreducible en \mathbb{Q}..





Último Teorema de Fermat





Cuando aumentamos el número de incógnitas no podemos por menos que mencionar uno de los problemas más importantes que ha conocido la historia de los Matemáticas: el Teorema o Conjetura de Fermat. Al parecer este ilustre matemático del siglo XVIII dejó una nota en el margen de uno de los libros de la edición de Bachet de la Arithmetica de Diofanto anunciando una demostración de que la ecuación






x^n+y^n=z^n






no tenía soluciones para n\geq 3 dentro de los números enteros. La prueba no se encontró y el problema estuvo abierto durante más de tres siglos. No fue hasta finales del XX cuando un matemático británico, Andrew Wiles, demostró la tesis de Fermat. En realidad probó que toda curva elíptica podía parametrizarse por medio de funciones modulares, o dicho con otras palabras, demostró que toda curva elíptica era modular. Tristemente después de tanto tiempo, la demostración del Último teorema de Fermat no tuvo el romanticismo de ser la idea brillante de un matemático, sino más bien la conjunción de una serie de resultados concebidos y demostrados a lo largo de la segunda mitad del siglo XX.





Antes de comenzar con el estudio de los tipos de ecuaciones diofánticas diremos que en todo el tema trabajaremos con ecuaciones algebraicas con coeficientes en los números enteros, y cuyas soluciones las buscaremos también dentro de los enteros. Además, el lector podrá comprobar que todos los métodos conocidos para determinar la existencia de solución solo pueden aplicarse a un tipo concreto de ecuación, no existe generalización.





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Tema 15. Ecuaciones diofánticas.


	


	





		

		
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Tema 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.
	


	
	

		

La idea de ecuación surge en el momento en el que el hombre necesita encontrar las condiciones en las que un problema puede resolverse. Comienza cuando lo que quiere no es conocer el resultado de una operación, sino cuando se cuestiona cuáles deben ser los datos iniciales para que dicho resultado sea válido. La forma de su planteamiento no es trivial; de hecho, las primeras ecuaciones que nos encontramos a lo largo de la historia se deben a los egipcios.





En el papiro de Amhes, que data aproximadamente de año 1650 a. C., además de una mayoría de problemas de naturaleza aritmética, descubrimos otros equivalentes a lo hoy conocemos como de resolución de ecuaciones. Concretamente, y por hacer mención a alguno de los que contiene, el 24 pide el cálculo del valor de un cierto aha o montón sabiendo que dicho aha más un séptimo del aha es 19. Es fácil observar que el aha es lo que nosotros denominamos actualmente con la letra x, nuestra incógnita en una ecuación. Son problemas en los que se resuelven ecuaciones lineales en la forma a+ax=b donde a y b son números conocidos. La forma de resolución era por aproximación, daban un primer valor a la incógnita y por proporciones iban acercándose a la solución.





Las ecuaciones en Mesopotamia





Algunos siglos más tarde los babilonios no se centraron en las ecuaciones lineales de los egipcios pues probablemente las consideraron demasiado elementales. Resultaban mucho más interesantes para ellos la resolución de las ecuaciones en las que la incógnita aparecía elevada a una segunda potencia. Evidentemente los babilonios nunca resolvieron algebraicamente este tipo de ecuaciones, ésta se reserva al renacimiento, además solamente encontramos ejemplos de ellas en algunas Tablillas que han llegado hasta nuestros días. Por ejemplo en la Tablilla BM 13901 se puede leer:






«He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces el área, obteniendo 6; 15.» Donde 6; 15 está escrito en sistema sexagesimal, y podemos traducirlo por 6\frac{15}{60}, o bien 6\frac{1}{4}, o bien también \frac{25}{4}.





A continuación se muestra la forma de llegar a la solución:






a) Multiplicar 11 por \frac{25}{4}, obteniendo \frac{275}{4}.
b) Dividir 7 entre 2, que es \frac{7}{2}.
c) Elevar \frac{7}{2} al cuadrado, llegando a \frac{49}{4}.
d) Sumar lo anterior a \frac{275}{4} oteniendo \frac{324}{4}, que es exactamente 9.
e) Tomar su raíz cuadrada, \sqrt{9}, que es 3.
f) Restar \frac{7}{2}, dando \frac{11}{2}.
g) Dividir lo anterior entre 11, llegando a \frac{1}{2}
Es decir, la longitud del lado del cuadrado es \frac{1}{2} (en notación sexagesimal 0,30).






Puede el lector partir de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0, seguir los pasos anteriores. Llegará a la fórmula que la resuelve:
 x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Sin embargo, aunque entendemos que sabían resolver ecuaciones de segundo grado porque los ejemplos encontrados en las Tablillas no eran precisamente elementales, no encontramos justificación alguna de que tales procedimientos fueran correctos.





Pero además de las de segundo grado, los babilonios también resolvieron ecuaciones cúbicas, entre ellas algunas muy elementales como x^3=a, y otras no tanto, x^3+x^2=a. Además reconocieron a las bicuadradas, ax^4+bx^2=c, o también a las del tipo ax^8+bx^4=c, como de segundo grado. Tenemos razones obvias para pensar que el álgebra en Mesopotamia alcanzó un mayor nivel que la egipcia.





Las ecuaciones en Grecia





La matemática griega actuó de forma distinta a la babilónica en la resolución de ecuaciones. Para los griegos la resolución de problemas en los que aparecía una ecuación no pasaba por algoritmos numéricos, sino por la geometría. Aparece así lo que podíamos denominar el álgebra geométrica, que aparece incluida de forma bastante completa en los \emph{Elementos de Euclides}, y en un complemento de él, los Datos.





En ocasiones puede parecer artificiosa porque los griegos no sumaban las áreas a los volúmenes o a las longitudes ya que entendían que eran en esencia elementos distintos. Notemos que una forma equivalente de planteamiento de ecuaciones del tipo $x^2+c=bx$, que ya utilizaron los babilonios, era la de los sistemas x+y=b y x\cdot y=c. Los pitagóricos consideraban este problema eminentemente geométrico, pues no era más que calcular cómo debía dividirse un segmento de longitud b sabiendo que el rectángulo que se formara con la división tenía que tener área c.





Las ecuaciones cúbicas tampoco fueron un impedimento en la geometría griega. Utilizando las cónicas fueron capaces de resolver tales ecuaciones, sin embargo el interés que demostraron por ellas decreció después de Arquímedes.





Aunque el título del padre del álgebra moderna debería ser del matemático de origen árabe Al-Jwarizmi, del que hablaremos en líneas posteriores, lo cierto es que el honor se lo lleva Diofanto. La razón es que en su Arithmetica utiliza sistemáticamente ciertas abreviaturas para potencias, operaciones, e incluso para representar los números desconocidos o las incógnitas; aunque si bien es cierto en su obra se limita a la resolución de problemas, con gran artificio e ingenio en muchos de ellos, pero sin dar un procedimiento o método general.





A este respecto el álgebra geométrica de Euclides está más cerca de lo que nosotros conocemos como álgebra que lo puede estar la de Diofanto. Además, en muchos de los problemas se limitaba a dar una única solución aunque a nuestro modo de ver el problema pudiera tener más de una. Podemos pensar que Diofanto no estaba resolviendo ecuaciones en su obra, sino resolviendo problemas para los que planteaba una ecuación. Ésta podía tener más soluciones como ecuación, pero no más soluciones para el problema.





Las ecuaciones en China y Persia





En los Nueve Capítulos, del escriba Liu Hui en la China de los siglos II y I a. C., encontramos la resolución de ecuaciones lineales, de forma similar a como lo hacían los egipcios; e incluso la resolución aproximada de ecuaciones de grados mayores utilizando un procedimiento similar a lo que después se ha llamado el método de Horner. De hecho, en siglos posteriores, se han encontrado más textos de otros matemáticos chinos en los que quedaba claro que conocían este método.





Posteriormente, en los siglos VIII y IX un matemático de origen persa, Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, publicó el Al-jabr wa’l Muqalabah, donde desarrollaba la idea de trasponer términos de una parte a otra de una ecuación, además de la posibilidad de cancelar términos iguales situados en cada uno de los miembros; conceptos básicos y muy utilizados en el Álgebra moderna de hoy día. Además en dicha obra Al-Jwarizmi da una exposición completa de la resolución de las ecuaciones cuadráticas, aunque omitiendo las soluciones que fueran negativas o cero. Es curioso además que tales exposiciones no fueran consideradas por él como demostraciones pues en el mismo Al-jabr expone la necesidad de realizar las mismas utilizando la geometría, algo similar a como ya pensaban los griegos.





Las ecuaciones en el Renacimiento





Nos tenemos que trasladar unos cuantos siglos después, hasta el año 1545, en el que Girolamo Cardano (1501-1576) publica su Ars Magna. En dicha obra desarrolla no solo la solución de las ecuaciones cúbicas, sino también las cuárticas. No vamos a entrar en las discusiones históricas sobre el porqué fue Cardano el que lo hizo, solamente diremos que en realidad el descubridor original de las de grado 3 fue Niccolo Tartaglia (1501-1557). Aunque ni siquiera está claro si fue este matemático el que desarrolló todas las fórmulas de las ecuaciones cúbicas. Téngase en cuenta que una ecuación de grado 3 no era, en el siglo XVI, la misma que la que consideramos ahora. En aquel momento, sin considerar a los números negativos, tenían varias ecuaciones cúbicas distintas, y los procedimientos para su resolución diferían de una a otra. Diremos también que las de grado 4 se deben a Ludovico Ferrari (1522-1565), antiguo secretario de Cardano.





Cardano desarrolló en su Ars Magna que cualquier cúbica podía resolverse con operaciones aritméticas, raíces cuadradas y raíces cúbicas; y que cualquier cuártica seguía el mismo proceso, operaciones aritméticas, raíces cuadradas, raíces cúbicas y ahora raíces cuartas; así que, ¿por qué no pensar que las ecuaciones quínticas eran también resolubles de la misma forma?





Las ecuaciones en el siglo XIX





Este problema estuvo abierto durante muchísimo tiempo. Matemáticos importantes de siglos posteriores, como por ejemplo Lagrange, intentaron encontrar las fórmulas correspondientes pero fallaron en el intento. Hasta 1799 en la que un matemático italiano, Paolo Fuffini (1765-1822), publicó su Teoría general de ecuaciones, en la que »demostraba» que la solución algebraica de una ecuación de grado 5 no era posible. Sin embargo la prueba era sumamente extensa y aunque la envió a matemáticos importantes contemporáneos, se pensó que podría tener errores y fue obviada completamente.





No fue hasta 1823 en primer lugar, en el que un matemático noruego, Niels Henrik Abel (1802-1829) encontró una demostración de la imposibilidad de resolver algebraicamente la ecuación de grado 5; y hasta 1832 en segundo lugar con el trabajo de Evariste Galois (1811-1832) cuando dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación algebraica tuviera solución en radicales. Curiosamente este trabajo se perdió y fue publicado en 1946, y a título póstumo, por el conocido matemático francés Joseph Liouville (1809-1882).





Teorema de Galois





Sea p(x) un polinomio con coeficientes del cuerpo \mathbb{Q}, irreducible sobre \mathbb{Q}, entonces:
a) Si por lo menos una raíz de la ecuación p(x)=0 se expresa en radicales con los coeficientes de dicha ecuación, entonces el grupo de Galois de dicha ecuación es soluble sobre \mathbb{Q}.
b) Si el grupo de Galois de dicha ecuación p(x)=0 sobre el cuerpo \mathbb{Q} es soluble, con la particularidad de que la característica del cuerpo es igual a cero, o bien mayor que todos los órdenes de todos los factores de composición de dicho grupo, entonces todas las raíces de la ecuación se representan en radicales mediante sus coeficientes.





El teorema de Abel-Ruffini resultaba ser un corolario de éste último. Se cerraba de esta forma el problema de encontrar soluciones en radicales de una ecuación algebraica; independientemente de que, aplicando el Teorema fundamental del Álgebra, sepamos que existen tantas raíces reales o complejas como grado tenga la ecuación.





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Tema 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.


	


	





		

		
Publicado el 
Tema 9. Números complejos. Aplicaciones geométricas
	


	
	

		

El primero en utilizar los números complejos o como se empezaron a llamar, imaginarios, fue el matemático Girolamo Cardano (1501-1576) al usarlos en la resolución de la fórmula de las ecuaciones cúbicas, publicada en 1545 en su Ars Magna. No todo fue oro ni todo se debió a Cardano. En tales ecuaciones, que podrían considerarse procedimientos en algunos casos, intervinieron tanto su alumno Ludovico Ferrari (1522-1565) como su adversario Niccolò Fontana (Tartaglia 1501-1557). En estos años, los descubrimientos de resoluciones de ecuaciones cúbicas y cuárticas estaban dirigidos más por los desafíos que había entre los matemáticos de la época que por el propio aprendizaje.





Lo cierto es que los números complejos o imaginarios, que fue como se empezaron a llamar a raíz de Descartes, no aparecieron porque sí, sino que lo hicieron como parte del proceso necesario para llegar a soluciones reales en algunas ecuaciones cúbicas.





La notación propia que ha llegado hasta nuestros días, es decir i=\sqrt{-1} fue introducida por Euler que sin ser muy imaginativo lo hizo por ser la primera letra de la palabra imaginario. Después fue Gauss, cuando en 1799 publicó su tesis doctoral demostrando lo que después se llamó el Teorema Fundamental del Álgebra, el que los designó finalmente con el término número complejo. Además fue el propio Gauss el que en 1831 estableció la aritmética, notación y terminología propias de los complejos que ha llegado hasta nuestros días.





La justificación de su creación, como solemos encontrarnos en la mayoría de los textos, no está relacionada tanto con la historia, sino con la búsqueda de un conjunto que resuelva ecuaciones de segundo grado con discriminante negativo. Con la introducción de los complejos se extienden los reales y se forma un nuevo cuerpo, éste sí, algebraicamente cerrado.





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Tema 9. Números complejos. Aplicaciones geométricas.


	


	





		

		
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Tema 13. Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas
	


	
	

		

Los polinomios comienzan su andadura junto a lo que se ha denominado en Matemáticas el Álgebra Abstracta. Los orígenes de nuestra ciencia tienen su principio en la aritmética; fijémonos que era tan necesario aprender a contar como qué era lo que se quería contar.





 Los números naturales y posteriormente las fracciones fueron los primeros pasajeros de las civilizaciones antiguas. Después se añadió la geometría, y a medida que fue avanzando la ciencia se incorporaron otras disciplinas relacionadas con ambas.





La incorporación del Álgebra tuvo su lugar en el momento en el que el hombre necesitó extrapolar los conocimientos puramente aritméticos a aquellos que constituían suposiciones; en esencia cuando sustituyó el número por la letra. Así surgieron las ecuaciones, que justifican su existencia a la necesidad de resolver problemas concretos. Pero en aquella Álgebra no entraban todavía los polinomios, estaba limitada a la resolución de ecuaciones.





El término Álgebra proviene de la principal obra del matemático de origen persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (con el tiempo, y a raíz del nombre de este gran matemático, se introdujo el concepto de algoritmo, término que designa un método o procedimiento sistemático de cálculo), allá por el año 820. En dicha obra al-Jwarizmi resuelve ecuaciones de primer y segundo grado dando una técnica para ello. Recordemos a este respecto que aunque los griegos ya conocían las soluciones de estas ecuaciones, nunca utilizaron los métodos que nos encontramos en el tratado de al-Jwarizmi.





Curiosamente el término Álgebra proviene concretamente de al-yabr, que no era más que la operación algebraica de pasar los términos negativos de un miembro de una ecuación al otro miembro transformándolos en positivos. Dichos términos eran, en algunos casos, lo que llamamos indeterminadas o variables.





El paso siguiente fue lo que convirtió el Álgebra conocida hasta ese momento en lo que ahora definimos como Álgebra Abstracta. Esto se hizo al concebir que cada término de una ecuación tuviera entidad propia.





Pero para que todo tuviese sentido era necesario introducir las operaciones entre las indeterminadas o las variables con las que se estaba trabajando. Así, era necesario conocer por ejemplo qué significaba x^2+x, aunque esta expresión no encontrara un problema aritmético detrás que justificara su existencia. Las indeterminadas podrían ser varias, no limitarse a una de ellas, x, y, z, etc., y las operaciones no tendrían que limitarse a la suma o el producto conocidos en la aritmética. Aparecen entonces nuevas leyes de composición entre elementos, con nuevas propiedades que forman y constituyen diferentes estructuras como grupos, anillos, cuerpos, etc. El trabajo con indeterminadas dentro de estos nuevos conjuntos es lo que a grandes rasgos denominamos polinomios.





El estudio de estos nuevos conceptos matemáticos pasa lógicamente por conocer las propiedades que tienen y las operaciones que podemos realizar con ellos. Su construcción se basa en otra estructura algebraica en la cual se apoyan, y que suele ser un anillo. Se puede demostrar, y en el tema se desarrolla, que la familia de polinomios en una o varias indeterminadas sobre un anillo A, que se suele denotar como A[X], verifica propiedades análogas aunque en algunos casos no obtenga la misma estructura.





Es posible demostrar que si el anillo A es un dominio de factorización única, entonces también lo será su anillo de polinomios. La posibilidad de ser dominio euclídeo o dominio de ideales principales es más restrictiva pero posible con unas condiciones iniciales.





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Tema 13. Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas.


	


	





		

		
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Tema 8. Sucesiones. Término general y forma recurrente. Progresiones aritméticas y geométricas. Aplicaciones
	


	
	

		

Una sucesión de números reales es una aplicación de \mathbb{N} en \mathbb{R} tal que denotamos como a_1 a la imagen del 1, como a_2 a la imagen del 2, y en general a_n a la imagen de n.





De forma natural también diremos que a_1 es el primer término de la sucesión, a_2 el segundo término y generalizando también a_n es el enésimo término. Lo simbolizamos escribiendo: \{a_n\}_{n=1}^\infty





Es habitual definir una sucesión \{a_n\}_{n=1}^\infty de una de las dos formas siguientes:





De forma recurrente:





Es una regla que permite calcular cada término a partir de los anteriores. Por ejemplo a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, con a_1=1 y a_2=1 (sucesión de Fibonacci); o también a_n=\sqrt{a_n+1}, con a_1=1.





De forma explícita:





Es una fórmula que permite hallar directamente cada término a_n, a partir del lugar que ocupa, es decir, a partir de n. En estos casos diremos que la sucesión está definida a partir de su término general. Por ejemplo: a_n=n, que es la sucesión de los Naturales; o a_n=n^2+2n+2, o incluso a_n=\frac{1}{n-1}, aunque no se encuentre definida para n=1.





Sin embargo, aunque las dos formas anteriores son las más habituales para definir una sucesión, lo cierto es que ésta puede venir dada por una regla que no parta de ninguna fórmula, ni tampoco de una forma recurrente. Por poner un ejemplo sencillo, podríamos considerar la sucesión que asigna a cada n el enésimo decimal de la sucesión de decimales de \pi. Es claro que de esta sucesión no conocemos más que un número finito de elementos, pero eso no quiere decir que tal sucesión no se encuentre bien definida, aunque no dependa de una fórmula concreta.





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Tema 8. Sucesiones. Término general y forma recurrente. Progresiones aritméticas y geométricas. Aplicaciones.


	


	





		

		
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Tema 6. Números reales. Topología de la recta real.
	


	
	

		

Cuando se habla de los números y se utilizan sus propiedades, no se cae en la cuenta de que para la mayoría de individuos, el número 2, ó el 2,5 ó \sqrt{2} para los más aventurados, no son más que la ejecución de un pensamiento, tan trivial, tan evidente que no se atreven a considerarlos como meramente un producto humano. Sin embargo, aunque la existencia pueda parecer garantizada cuando son imaginados, la comunidad matemática va aún más allá. Para el matemático es necesario concebirlos de alguna forma; o bien construyéndolos o bien con la introducción de un conjunto de axiomas.





La aritmetización de los números reales fue esencial en la posterior fundamentación del análisis. Téngase en cuenta que a lo largo de los siglos XVII y XVIII la Matemática avanzó principalmente en el cálculo sin tener una base consistente en la que afianzarse. Recordemos a este respecto algunos de los resultados de Euler o el mismo Gauss; en los que utilizaban expresiones de límite, suma infinita, pequeño, o se acerca, cuando querían hablar de conceptos que aunque identificaban con claridad, no eran capaces de formalizar matemáticamente.





El problema con el que se encontraban sistemáticamente los matemáticos de la época fue en esencia que desconocían la forma intrínseca de los números reales. Parecía lógico asignar a cada número un punto de la recta, pero no estaba nada claro si la recta funcionaba como todos suponían; es decir como un continuo, sin poros. Bolzano y Cauchy fueron precursores de la aritmetización de los números reales con la introducción de un concepto más formal de límite demostrando con ello el siguiente teorema:





»Si f es una función real y continua sobre un intervalo cerrado tal que toma un valor negativo en uno de los extremos del intervalo y positivo en el otro entonces existe un valor en el interior tal que su imagen es cero»





De hecho fue Bolzano el que introdujo la idea que luego formalizó Cauchy de que en las sucesiones convergentes los elementos tenían que distar tan poco como se quisiera a partir de un cierto momento. Además introdujo la idea, aceptada después, de que un conjunto acotado superiormente tenía que tener un valor que se considerara la menor de dichas cotas superiores





El rigor y la fundamentación de lo que se exponía y demostraba en cuanto a los números reales no llegó hasta finales del siglo XIX. La idea que subyacía detrás de todo era la necesidad de completar el conjunto de los reales de alguna forma. Tanto Cantor, utilizando las sucesiones de Cauchy, como Dedekind con un nuevo concepto denominado cortaduras, lo hicieron utilizando a los racionales. Hilbert, sin embargo, lo hizo de forma axiomática, asignándoles un conjunto de propiedades que los convertía en el único cuerpo conmutativo, totalmente ordenado , arquimediano y completo.





Se exponen a continuación las formas más importantes de construir \mathbb{R}:





Cortaduras de Dedekind





Un número real es un conjunto \alpha de números racionales, con las cuatro propiedades siguientes: 





  • Si x está en \alpha e y es racional con y<x entonces y también está en \alpha
  • \alpha\neq \emptyset.
  • \alpha\neq \mathbb{Q}
  • No existe ningún elemento máximo en \alpha; dicho de otro modo, si x está en \alpha, entonces existe algún y en \alpha con y>x.





Sucesiones de Cauchy





Siendo {x_n},{y_n} dos sucesiones de Cauchy de números racionales, diremos que {x_n}\sim {y_n} si y solamente si {x_n-y_n}\rightarrow 0.





Se define entonces:
\R=\frac{C(\mathbb{Q})}{\sim}
siendo C(\mathbb{Q}) la familia de las sucesiones de Cauchy de los números racionales.





Por decimales





Se define un número real como un par (a,{b_n}), donde a\in\Z y {b_n} es una sucesión de números naturales del 0 al 9, con la condición de que la sucesión no es continuamente 9, es decir, que a partir de un elemento el 9 no se repite indefinidamente. Podemos representar:
\left(a,{b_n}\right)=a+\sum_{n=1}^\infty b_n\cdot 10^{-n}






En cualquiera de los tres casos se están construyendo los reales a partir de los racionales.





Veremos a lo largo del tema que \mathbb{R} es el único cuerpo, salvo isomorfismo, que está completamente ordenado y es arquimediano, además de propiedades tan importantes como que es metrizable y posee la propiedad de la mínima cota superior (axioma del supremo). Dicha propiedad es equivalente a la de la máxima cota inferior y es la que dota de completitud a \mathbb{R}.





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Tema 6. Números Reales. Topología de la recta real.


	


	





		

		
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Tema 5. Números Racionales
	


	
	

		

Un dominio de integridad es un anillo conmutativo unitario sin divisores de cero; y dado un cuerpo \mathbb{K}, todo anillo de él es un dominio de integridad. El problema que nos planteamos es si todo dominio de integridad se puede considerar como subanillo de un cuerpo. La respuesta es cierta y a dicho cuerpo se le llama el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad.





Pero además, cuando trabajamos con los números enteros, cuya estructura es precisamente la de un anillo conmutativo sin divisores de cero, nos encontramos con que la ecuación ax=b no siempre tiene solución. Es trivial comprobar que solamente la tendrá si a es divisible entre b. Como esto no siempre es posible, nos encontramos con la necesidad de dar solución al problema en todos los casos, no solamente en aquellos en los que b|a.





El procedimiento que vamos a utilizar es estándar. Básicamente vamos a construir un cuerpo, cuya definición es el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad.





Esta forma se utiliza para cualquier estructura que sea dominio, y en nuestro caso el objetivo es construir el cuerpo minimal que contenga a \mathbb{Z}. En el siguiente punto del tema se definirá \mathbb{Q} como un conjunto de cocientes del tipo \frac{a}{b} con a,b\in\mathbb{Z} y b\neq 0. Parece bastante obvio que todo cuerpo que contenga a los números enteros debe contener a los cocientes anteriores, por tanto debería contener a \mathbb{Q}. Pero además se puede demostrar que dos cuerpos de fracciones del mismo dominio son isomorfos, lo que inevitablemente nos llevará a la unicidad de \mathbb{Q}, y a que sea éste el cuerpo minimal que contenga a \mathbb{Z}.





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Tema 5. Números Racionales