La definición de los números enteros como el conjunto de las clases de equivalencia de una relación, resuelve el problema de la resolución de ecuaciones dentro del conjunto de los números naturales. Las ampliaciones o extensiones que tienen los números desde los naturales a los complejos, pueden verse como consecuencia de la resolución de algunas ecuaciones que en sus conjuntos originales no encontraban solución.
El primer caso lo tenemos delante al intentar resolver en \mathbb{N} la ecuación n+4=3. El conjunto de los números enteros surge, además de ser una consecuencia de la axiomatización de la Aritmética, (uno de los objetivos de Hilbert), como solución al problema de la resolución de cualquier ecuación con números naturales.
Esta extensión consigue ampliar la estructura de \mathbb{N} a una de grupo conmutativo con la adición, añadiendo incluso un elemento neutro (el cero). Además con la operación »producto» (ya definida sobre \mathbb{N}), y la demostración de algunas de sus propiedades, el conjunto de los enteros obtendrá una nueva estructura que será la de Dominio de Integridad.
La definición de divisibilidad permite introducirnos dentro del mundo de los números primos y del Teorema Fundamental de la Aritmética, así como de la demostración del Teorema de Euclides.
La parte más interesante del tema se encuentra al abordar la cantidad de números primos que existen. La conjetura de Riemann junto con la demostración de Euler de que la suma de los inversos de los primos es infinita nos acerca a una aproximación bastante real del cardinal de dicho conjunto.
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Tema 4. Números enteros. Divisibilidad. Números primos. Congruencias.