La derivada de una función es el primero de los dos conceptos fundamentales que caracterizan al Cálculo Infinitesimal; el segundo, como el lector puede suponer, es el de la integral. Como todo en Matemáticas, su avance no ha sido lineal, sino que ha tenido momentos más o menos rápidos, además de ciertas vacilaciones e incluso retrocesos.
Los comienzos del Cálculo, y por ende de la derivada datan de mediados del siglo XVIII. Los avances que han tenido lugar han partido del intento de resolución de algunos problemas importantes de la época y de momentos anteriores en la Historia, como por ejemplo del intento de trazar tangentes a curvas concretas. Este concepto proviene de los griegos, aunque estos definieron una tangente como aquella recta que corta en un único punto a una curva; definición que hoy día sabemos que contiene algún pequeño problema con aquellas líneas que se cortan a sí mismas, o que cambian su curvatura. Arquímedes llegó a calcular las tangentes a su espiral y se piensa que para ello es probable que considerara el problema desde la idea de un punto que se pudiera mover en el espacio; sin embargo las tangentes que llegaron a calcular los griegos eran meramente estáticas, su procedimiento no incluía el paso al límite ni el cálculo de valores infinitamente pequeños.
Al llegar al siglo XVII el avance en cuanto al concepto había progresado, así una tangente era una especie de paso a límite de las secantes a una curva entre dos puntos dados, cuando los puntos se acercan el uno al otro. No obstante, era tremendamente difícil concebir esa »desaparición» de la secante para transformarse en una tangente. El paso del »ser» a la »nada» traía consigo ciertos problemas metafísicos no fáciles de resolver.
En esencia, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia una variable (dependiente) con respecto a otra (independiente). La idea es medir este »cambio» por medio de un número, y a este número es lo que se denomina derivada. Pero como prácticamente todos los conceptos en Matemáticas, en primer lugar la derivada se utilizó para resolver problemas, después se desarrolló estudiando sus propiedades para, finalmente, definirse dentro de una teoría.
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Tema 26. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas. Aplicaciones