Oposiciones Matemáticas Alicante 2009. Parte Práctica

En este post encontraréis vídeos en los que resuelvo los problemas de la parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas en la Comunidad Valenciana; y más concretamente en el 2009 y en la provincia de Alicante.

Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes.

Si os interesan también otras pruebas prácticas os dejo algunos enlaces con otras entradas de exámenes también resueltos:

Oposiciones Matemáticas Albacete 2015

Oposiciones Matemáticas Toledo 2018

Extremadura (Badajoz 2000)

Castilla y León (2018)


Aquí os vais a encontrar un total de cinco vídeos. En el primero hago solamente una introducción a los ejercicios que se proponen; y en él hablo y comento cada uno de ellos sin entrar en profundidad en su forma de resolución.

Los restantes contienen los problemas resueltos. Reconozco que con diferente dificultad cada uno de ellos; algo que ya comento en los vídeos. En definitiva, espero que no tengáis problemas en las explicaciones; pero como siempre digo, podéis enviarme una observación en el canal de youtube donde estarán colgados, o bien en este blog, o bien en el correo electrónico; lo que prefiráis.

Introducción.


Problema nº1

Sea M_{3}(\mathbb{R}) el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden 3,

(i) Demostrar que el conjunto A de las matrices reales antisimétricas de orden 3 es un subespacio vectorial de M_{3}(\mathbb{R}) y obtener razonadamente una base canónica de este subespacio.

(ii) Si A\longrightarrow P_3(\mathbb{R}) es la aplicación lineal definida mediante

    \[\text{T}\left \{ \left (\begin{array} {ccc} 0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0 \end{array} \right) \right \}:=ax+bx^2+cx^3\]

hallar la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base canónica de A y a la  base canónica \{1,x,x^2,x^3\} de P_3(\mathbb{R}), y escribir la ecuación matricial de la aplicación lineal.

(iii) Hallar el núcleo y la imagen de esta aplicación lineal y demostrar que es un isomorfismo sobre el conjunto imagen Im(\text{T}).

(iv) Comprobar que se cumple el Teorema de las dimensiones.

Este problema se resuelve utilizando el Álgebra Lineal y los conceptos mínimos sobre homomorfismos entre espacios vectoriales. Es sabido que todos los espacios vectoriales de una misma dimensión son isomorfos; para eso basta definir una aplicación que lleve una base de uno de ellos en una base del otro y comprobar que dicha aplicación es en realidad biyectiva. Aplicando el teorema que afirma que V/ker f es isomorfo a Im f, siendo f un homomorfismo se llega sin dificultad al resultado que pide el problema.


Problema nº2

Sean dos segmentos AB y BC de igual longitud d que están articulados por el punto B. El punto A está sobre el origen de coordenadas y el punto C varía sobre el eje OX positivo. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de un punto P situado sobre el segmento BC a una distancia p del punto C. Dibujar el lugar.

Es, con diferencia, el de mayor dificultad de los cuatro. Sin embargo en apariencia no parece muy complicado pues enseguida me di cuenta que el lugar geométrico era una elipse, o en este caso (aunque luego no lo digo en el  vídeo), un cuarto de elipse. Pero cuando se trabaja con ecuaciones de segundo grado con cuatro o cinco variables la «cosa» se complica; y a mí se me complicó.

Dediqué al problema más tiempo que a lo dedicado a los otros tres juntos; desde luego bastante más de tres horas, y utilizando las ecuaciones cartesianas no conseguí resolverlo.

Cuando finalmente obtuve un resultado que parecía válido me di cuenta que no era correcto; así que tuve que volver a empezar, pero ahora cambié las coordenadas cartesianas por coordenadas polares; y con la demostración de un resultado de trigonometría aplicado a triángulos isósceles llegué a la elipse buscada.


Problema nº3

Calcular la longitud del arco de curva y=\ln\frac{e^x-1}{e^x+1} comprendido entre los puntos de abscisa 2 y 4.

En este ejercicio se pide calcular la longitud del arco de una curva (que resulta ser una función), entre dos puntos de abscisa 2 y 4. Es necesario conocer la fórmula que nos da la longitud, que viene dada por una integral; y es necesario también conocer el cambio de variable a efectuar, así como la resolución de integrales racionales. Yo no conozco de memoria dicha fórmula, y en el vídeo muestro cómo se puede deducir utilizando los conocimientos mínimos sobre integrales definidas, áreas y longitudes.


Problema nº4

Se lanza un dado hasta que aparezcan tres resultados distintos. Calcular el número medio de lanzamientos que hay que realizar.

Este último problema es de probabilidad en el que utilizo la Regla de Laplace. Para calcular tanto los casos favorables como los posibles utilizo la Combinatoria explicando cada uno de los pasos.

Sin embargo la cuestión que plantea el problema no es la probabilidad de que los lanzamientos se detengan en la tirada enésima, sino la media del número de lanzamientos que hay que realizar. Como no tenemos un número máximo de tiradas, éste nunca acaba, lo que conlleva la suma de una serie de infinitos términos. Para sumar dicha serie utilizo las series de potencias y algunos teoremas de integrales o derivadas de series uniformemente convergentes.

Espero que todos los vídeos os hayan gustado, que se hayan entendido sin demasiados problemas y que os faciliten la tarea de estudiar la parte práctica de la oposición.

Ya sabéis que podéis hacer cualquier comentario en el blog, en el canal de Youtube, o en mi correo electrónico.

Un saludo.

Jorge

Oposiciones Matemáticas Albacete 2015. Parte Práctica

En este post voy a resolver los problemas de la parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas en Castilla la Mancha; y más concretamente en la provincia de Albacete en el 2015. Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes. En cada uno de los tres vídeos resolveré uno de los problemas con los que se enfrentaron los opositores de ese año. Tienen dificultades diferentes; así mientras que el primer y tercer problema son asequibles en el tiempo que tienes para resolverlos; el segundo problema es de mucha mayor dificultad. Es obvio que el nivel de los problemas es la mejor forma de discriminar a los que tienen un mayor conocimiento de las Matemáticas de los que no la tienen. Sin embargo, en ocasiones aumentar mucho la dificultad no consigue discriminar sino todo lo contrario; puesto que el porcentaje que llega a resolverlo es prácticamente nulo. En las siguientes líneas tenéis los tres problemas y los vídeos que los resuelven. Espero que se entiendan y que os ayuden.
Problema nº 1
Sea R la región del plano definida por la parte positiva de los ejes de coordenadas y la curva y=2\cos x en 0\leq x \leq \frac{\pi}{2}. Halla el valor de a tal que la curva y=a\sin x, divida la región R en dos regiones de igual área. Este problema se resuelve utilizando el concepto de integral definida como el área encerrada entre una curva y el eje X; o como el área encerrada entre dos curvas.
Problema nº2
Demostrar la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: «Para todo número n\in \mathbb{N}, se puede encontrar un conjunto de n números naturales consecutivos que no contiene ningún número primo.» En este vídeo demuestro que tal resultado es cierto. La forma de hacerlo es más propia de idea feliz que de seguir un procedimiento propio en una demostración matemática. Yo tardé en resolverlo bastante más que los otros dos juntos. La Reducción al Absurdo no me funcionó, la Inducción Matemática tampoco, y las clases \mathbb{Z}_n aunque más cerca, no llegaron a demostrarlo. La inspiración vino del aire y de repente.
Problema nº3
En el triángulo acutángulo ABC; AH, AD y AM son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten de A estando H, D y M en el lado BC. Si las longitudes de AB, AC y MD son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento DH. Este problema de triángulos es finalmente de Trigonometría. Los cálculos empiezan por utilizar el Teorema del Seno, y acabar con el Teorema de Pitágoras. Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces: Como siempre digo; si algo no ha quedado claro o si queréis hacer algún comentario, podéis dejar una nota o bien enviarme un correo electrónico: jorgemorra@outlook.es. Un saludo. Jorge.

Tema 1: Números Naturales. Sistemas de Numeración

En este primer post del temario de oposiciones de Enseñanza Secundaria en la especialidad de Matemáticas desarrollaré el tema: Números Naturales. Sistemas de Numeración.

En 2011 hubo un cambio en el temario que finalmente se derogó poco después y volvimos al original de 1993. Podéis encontrar el temario completo en la siguiente entrada:

Oposiciones de Matemáticas.

El tema lo he descompuesto en varias partes. En la primera, constituida por los siete primeros vídeos, analizo la axiomática que construye los Números Naturales utilizando la de Peano.

Sin embargo, dicha construcción  no es única; también podemos encontrar bibliografía construyendo los Naturales por medio de la cardinalidad entre conjuntos creada por Cantor y otros.

1. Introducción

2. Los Naturales según Peano

En el segundo vídeo introduzco los cinco axiomas de Peano, y se define el concepto de lo que es un Conjunto de Peano. A continuación se define la adición, como la primera operación entre elementos de dicho conjunto.

3. La unicidad de la adición entre elementos de un Conjunto de Peano.

Aquí continúo con la demostración del teorema anterior, en la que pruebo la unicidad de la adición. La mayoría de las demostraciones, como podréis comprobar en los vídeos se hacen utilizando el quinto axioma, el de Inducción Matemática; que es en realidad la base de toda la construcción.

4. Propiedades de la adición: asociatividad y conmutabilidad

Aquí se demuestran las dos propiedades básicas de la suma: la propiedad Asociativa y la propiedad Conmutativa. La existencia de Elemento Neutro en la construcción según Peano no es posible demostrarla puesto que nuestro primer elemento es el uno, y no el cero. Sin embargo no es un impedimento para la naturaleza intrínseca del concepto de Número Natural. Algunos autores incluyen al cero y otros no; y la verdad es que no deja de ser un convenio.

5. Producto de elementos de un Conjunto de Peano.

Aquí se introduce el producto de elementos de un Conjunto de Peano, y se demuestra su unicidad. Además añado las propiedades del producto: Asociativa, Conmutativa, Elemento Neutro y Distributiva del Producto con respecto a la Suma. Éstas sin demostración, que dejo para que las hagáis vosotros.

6. Orden de Peano

En este sexto vídeo de la serie se introduce el Orden en un Conjunto de Peano. Para ello es necesario la demostración de algunos lemas previos, y luego realizar una partición disjunta en dicho conjunto. Es importante también que dicho orden sea compatible con las operaciones de adición y producto; aunque estos resultados los dejo para el que quiera demostrarlo.

7. El Conjunto de los Números Naturales.

En este vídeo, último de la serie de la construcción de los Naturales, demuestro que todos los Conjuntos de Peano son isomorfos. Este hecho, que engloba biyectividad y conservación de las operaciones de adición y producto, así como del orden establecido; permite definir el Conjunto de los Naturales como la clase de los Conjuntos de Peano, tal y como la hemos definido.

8. Sistemas de Numeración

En este vídeo y los dos siguientes desarrollo los conceptos más importantes de los Sistemas de Numeración. En éste en concreto enuncio las características básicas y elementales que debe incluir un Sistema de Numeración, y que son:

(a) Que contenga un número finito de símbolos (n), para poder escribir cualquier número (base del Sistema de Numeración).

(b) Que cada n unidades de un orden suponen un unidad de un orden superior.

(c) Que el orden de los símbolos en el número define el número, es decir que los mismos símbolos en un orden distinto definen un número distinto.

9. Teorema Fundamental de los Sistemas de Numeración

En este vídeo enuncio y demuestro el Teorema Fundamental de los Sistemas de Numeración en el que se dice que en cada sistema todo número Natural puede escribirse de una única forma.

10. Propiedades de los Sistemas de Numeración

Aquí se enuncian algunas propiedades, aunque no todas con demostración. Dejo algunas de las pruebas para aquellos que quieran profundizar en el tema. No son difíciles, y siempre recomiendo que se hagan.

Espero que os hayan gustado los videos. Todos ellos forman el desarrollo del primer tema de Números Naturales y Sistemas de Numeración.

De cada tema voy también a resolver algunos problemas relacionados con él, y que hayan caído en alguna de las convocatorias de la oposición.

En el siguiente enlace:

Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números. Febrero 2018 (A)

tenéis resuelto un ejercicio donde se aplica el Axioma de Inducción Matemática.

Como siempre, podéis hacerme un comentario en el post o bien enviarme un correo electrónico con aquello que consideréis interesante.

Un saludo.

Jorge.

 

 

 

 

Oposiciones de Matemáticas.

¿Tienes pensado presentarte a las oposiciones de Secundaria en la especialidad de Matemáticas? Si es que sí, es posible que ya estés estudiando. Preparando temas, haciendo ejercicios y problemas o yendo a alguna academia o con algún preparador. Independientemente de cómo lo estés haciendo sigue leyendo esta entrada y sigue el blog porque es muy posible que te pueda resultar muy útil.

Por otra parte, si sigues teniendo dudas, en el post ¿Sabes cómo prepararte las oposiciones de Matemáticas? he añadido también algunas indicaciones y otras posibilidades en cuanto a los temas y a la posibilidad de adquirirlos online o en papel. Échale también un vistazo, a lo mejor puede interesarte.

Parte teórica: los temas

Desde que aprobé las oposiciones, allá por el principio de este nuevo milenio, me planteé la posibilidad de compartir de alguna forma los temas que me ayudaron a aprobarla.

Cuando internet comenzó a extenderse como la forma de comunicación por excelencia, pensé que una de las formas de dar a conocer el trabajo que hice al preparar los temas era hacer un blog.

La posibilidad que me ha dado el poder grabar vídeos, editarlos y colgarlos en un blog o en Youtube me ha hecho decidirme finalmente a exponer los temas tal y como los preparé hace más de quince años.

El temario cambió en 2011; sin embargo no llegó a implantarse puesto que se derogó y se volvió al de 1993:

http://www.boe.es/boe/dias/1993/09/21/pdfs/A27400-27438.pdf

Tengo que decir que nunca me matriculé en ninguna academia, ni contraté ningún preparador. Mis temas los preparé utilizando bibliografía especializada y concreta de cada uno de ellos. Libros hay muchos en el mercado, así que a través de bibliotecas (con préstamo) o de librerías (comprándolos), elaboré la práctica totalidad de los temas; probando incluso en muchos casos resultados que no venían demostrados o que prefería otro tipo de demostración.

Intentaré, en la medida de lo posible, ir haciendo una entrada por tema. A continuación tenéis los enlaces a cada uno de ellos.

Tema 1. Números Naturales. Sistemas de Numeración

Tema 2. Fundamentos y aplicaciones a la teoría de Grafos. Diagramas en árbol.

Parte práctica: los problemas

Además de los temas que preparé y estudié, también tuve que dedicarle bastante tiempo a la resolución de problemas. Adquirí algunos de los libros que se editan y que contienen problemas de oposiciones de años concretos y les dediqué tal vez más tiempo que a los propios temas.

Los problemas son para muchos opositores la parte más difícil a la que se enfrentan; y ello es debido principalmente a que no les han dedicado suficiente tiempo. Es verdad que en algunas Comunidades Autónomas la parte práctica contiene ejercicios de un alto nivel de dificultad; pero hay una certeza que no admite discusión y es que para aprender a resolver problemas tenemos que resolver problemas.

En ocasiones podemos pensar que muchos de los ellos se resuelven con »ideas felices»; y que en los treinta o cuarenta minutos que se tienen para resolver cada uno de los problemas que nos plantean; es poco menos que imposible que se te pueda aparecer la luz y »veas» la »idea feliz».

Sin embargo algunas de esas »ideas felices», no lo son tanto. Decía un profesor que tuve en la carrera, que una idea feliz que se utilizaba en una única ocasión sí era una idea feliz, pero las »ideas felices» que se utilizaban en muchos problemas no eran ideas felices, sino procedimientos. Y son éstos de los que nos tenemos que empapar, de los procedimientos.

En este blog quiero publicar vídeos con los temas de las oposiciones que elaboré en su momento.; y también con aquellos ejercicios que puedo considerar »ejercicios tipo» relacionados con cada uno de los temas.

En los siguientes enlaces tenéis las partes prácticas que vaya resolviendo:

Castilla la Mancha (Albacete 2015)

Comunidad Valenciana (Alicante 2009)

Castilla la Mancha (Toledo 2018)

Espero que os gusten los vídeos y las explicaciones. Espero que entendáis las demostraciones; y que os ayuden a todos aquellos que queráis presentaros a las oposiciones de Secundaria en la especialidad de Matemáticas.

Un saludo.

Jorge