base de un subespacio vectorial

24/02/201901/11/2019

Oposiciones Matemáticas. Extremadura. Badajoz (2000)

[mathjax]

En esta entrada voy a resolver el ejercicio práctico de las oposiciones de Matemáticas en la Comunidad de Extremadura, en Badajoz, en el año 2000.

Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

También podéis encontrar temas desarrollados en los enlaces:

Este práctico constaba de cuatro problemas o ejercicios. Ninguno de ellos especialmente complicado, y con tiempo os daréis cuenta que podéis resolverlos sin excesivas complicaciones.

Problema 1

El primer de ellos es un problema de espacios duales.

Sea $E$ el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos y sea $\{w_1,w_2,w_3\}$ la base dual de la base canónica $\{1,x,x^2\}$ .

Consideramos la base del espacio dual $E^*$ definida por las aplicaciones $\overline{w_1}$ , $\overline{w_2}$ y $\overline{w_3}$ :

$\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1p(x)dx$

$\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1x\cdot p(x)dx$

$\overline{w}_3(p(x)):=\int_0^1x^2\cdot p(x)dx$

(a) Halla las coordenadas de $\overline{w}_1$ , $\overline{w}_2$ y $\overline{w}_3$ en la base $\{w_1,w_2,w_3\}$ .

(b) Determina la base de $E$ para la que $\{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\overline{w}_3\}$ es su base dual.

Su resolución pasa por conocer conceptos importantes en Matemáticas, como es el de espacio dual. El conjunto de las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre el cuerpo en el que está construido tiene estructura a su vez de espacio vectorial; y es lo que se denomina el «espacio dual» asociado al espacio vectorial original. La demostración de que verifica las propiedades de e.v. no es complicada e invito a que lo intentéis vosotros mismos sin necesidad de consultar ningún libro de Algebra Lineal. Es curioso a su vez, que la dimensión que tiene dicho espacio coincide, en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita, con la dimensión de su espacio original. Sin embargo en el caso de e.v. de dimensión infinita, este hecho no es cierto.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Espacios Duales

Por otra parte, aunque en el problema solo se incide sobre la parte algebraica, siempre se puede considerar la parte topológica. En este caso, cuando trabajemos con espacios vectoriales topológicos, es decir, espacios vectoriales en los que asociamos una topología (dada habitualmente por una norma o una métrica), bien espacios de Banach, o espacios de Hilbert; los espacios duales asociados también mantienen la misma dimensión e incluso topologías análogas siempre que ésta sea finita; y distintas siempre que las dimensiones sean infinitas. Los e.v.t. se estudian principalmente en los textos de Análisis Funcional.

Problema 2

El segundo problema de este examen práctico es de Geometría en el plano. Consiste en calcular el área de un polígono definido a partir de otro del cual ya conocemos su superficie. Una vez que hayamos hecho el dibujo, que por otra parte no es muy difícil, el procedimiento para resolver el problema no es nada complicado. Se trata de «dividir» la superficie a calcular en triángulos y calcular el área de dichos triángulos. Si se siguen los pasos adecuados se llega al resultado sin excesiva complicación.

Sea un cuadrilátero convexo de vértices $ABCD$ y superficie $Sm^2$ . Se prolonga el lado $AB$ por el punto $B$ hasta un punto $M$ de forma que la longitud de $BM$ se igual a la mitad de la longitud del lado $AB$ . Análogamente se prolonga el lado $BC$ por el punto $C$ hasta el punto $N$ de forma que $CN=\frac{1}{2}BC$ . El lado $CD$ se polonga por $D$ hasta $P$ tal que $DP=\frac{1}{2}CD$ y por ultimo el lado $DA$ se prolonga por $A$ hasta $Q$ , tal que $AQ=\frac{1}{2}DA$ .
Halla la superficie del cuadrilátero de vértices $MNPQ$ .

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Geometría

Como en todos los ejercicios que resuelvo en los vídeos, mi recomendación es que intentéis hacerlos vosotros antes de ver la resolución. A los problemas, y esto es algo que ya me habéis oído decir en numerosas ocasiones, hay que dedicarles mucho tiempo; hay que empaparse de ellos porque es la única forma de aprender a hacerlos.

Problema 3

En el tercer problema nos piden que calculemos el volumen de un sólido definido a partir de los tres planos coordenados y del movimiento de una recta que se apoya en otras dos rectas. Es una superficie reglada. Es posiblemente el ejercicio más difícil de este práctico.

Calcula el volumen del sólido limitado por los planos cartesianos y por la superficie reglada engendrada por el movimiento de una recta que se conserva paralela al plano $XOZ$ , apoyándose en las rectas $r_1:{x=0,z=2}$ y $r_2:{z=0 \text{ y pasa por los puntos }A(3,0,0) \text{ y } B(0,4,0)}$

Oposiciones Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 3: Volumen de una superficie reglada.

Las superficies regladas son aquellas superficies que se definen por el movimiento de una recta que se apoya en dos curvas. Los cilindros de revolución son ejemplos de superficies regladas, los conos de revolución también. Pero no solamente aquellas que puedan provenir de la revolución de una recta alrededor de un eje son superficies regladas. Imaginemos un cilindro en el que las bases, (la «tapa» inferior y la superior) fueran dos elipses, es decir, dos superficies limitadas por dos elipses. En este caso no estamos con una superficie de revolución pero sí con una superficie reglada.

La dificultad de este problema es saber representar correctamente el sólido del cual queremos calcular su volumen. Después, tendremos que resolver una integral triple, de la que lo más difícil será calcular los límites de integración.

Problema 4

El cuarto y último problema es de probabilidad. Es un sencillo ejercicio de diagramas en árbol.

De una urna que contiene $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras, dos jugadores hacen extracciones alternativas reemplazando cada uno su bola antes de la siguiente extracción. Gana el jugador que consigue sacar primero una bola blanca.
Calcula la probabilidad de ganar que tiene cada uno de los jugadores.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 4: Probabilidad

La mayor complicación que os encontraréis aquí es que tendréis que efectuar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. El desarrollo de las probabilidades hasta llegar a las sumas infinitas es sencillo. Aplicando Laplace y el sentido común se llega sin dificultad al resultado.

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21/01/201921/01/2019

Álgebra Lineal I. UNED. Febrero 2016. (B)

En esta entrada voy a resolver el examen de la UNED de la asignatura Álgebra Lineal I; concretamente de febrero de 2016, y en este caso de la segunda semana. En Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números podéis encontrar otro post en el que resuelvo el examen de esta asignatura de febrero de 2018.

La asignatura de Álgebra Lineal está dividida en dos. Una primera, del primer cuatrimestre, llamada Álgebra Lineal I, y una segunda del segundo cuatrimestre llamada Álgebra Lineal II. Como veis los matemáticos no nos esforzamos mucho en caracterizar las asignaturas por nombres; de hecho recuerdo que en mi carrera tuve Geometría I, Geometría II, Geometría III, Geometría IV y Geometría V; ¿para qué cambiar, no?

Pero bueno…, bromas aparte, es cierto que los contenidos que se imparten y estudian en Álgebra Lineal I, no son los mismos que en Álgebra Lineal II, aunque es verdad que la base son los espacios vectoriales y las aplicaciones entre dichos espacios, es decir, los homomorfismos.

El examen podéis descargarlo aquí, y cómo podéis observar consta de tres ejercicios prácticos y una pregunta teórica, en la que hay que definir algunos conceptos.

La pregunta teórica se resuelve estudiando, sí, estudiando. Puede parecer de perogrullo, pero la teoría hay que estudiarla para poder entender los conceptos, y hay que dedicarle mucho tiempo porque aunque pueda parecer una tontería, cuando entiendes verdaderamente un concepto los problemas te parecen nimiedades.

Ejercicio 1

Los restantes tres ejercicios son más difíciles. El primero es un ejercicio teórico, un posible corolario que podríamos encontrarnos en un texto cualquiera de Álgebra Lineal.

Es una demostración en toda regla. Se nos plantean unas condiciones iniciales y nos piden que demostremos unas condiciones finales. Básicamente es un «si y sólo si», o cómo también podemos encontrarnos «una condición necesaria y suficiente» de que algo ocurra para que algo ocurra. Es posible que éste sea el más díficil para todos aquellos que empiezan en el grado porque al principio no es sencillo entender qué es lo que me están pidiendo ni cómo me lo están pidiendo.

No puedo dar muchas recomendaciones sobre cómo se resuelven este tipo de problemas. Nos están pidiendo una demostración, y debemos hacerla de la misma forma y con los mismos argumentos que podemos encontramos en un texto de Álgebra Lineal. Nos va a parecer muy difícil en un primer momento porque no estamos acostumbrados a ello, pero con el tiempo y viendo muchas demostraciones de teoremas, lemas y corolarios acabaremos aprendiendo a hacerlo y a conocer diferentes métodos para lograrlo.

Ejercicio 2

El segundo es un problema práctico. Se trata de trabajar con las matrices 2×2 y con dos subespacios suyos. Su resolución no es difícil si observamos que podemos «trasladarnos» al espacio vectorial $\mathbb{K}^4$ y trabajar en dicho espacio.

Al movernos al espacio $\mathbb{K}^4$ , estamos en un lugar más asequible y más conocido. Podemos hacerlo por la isomorfía que existe entre ambos, y curiosamente podemos hacerlo enumerando y ordenando las coordenadas de las matrices y las coordenadas de los vectores de $\mathbb{K}^4$ , aunque desconozcamos cuál es el isomorfismo que les hace esencialmente idénticos.

Ejercicio 3

El tercer y último ejercicio es otro problema, concretamente de aplicaciones lineales, o como prefiero llamarlas, de homomorfismos.

Aunque en todos o en la inmensa mayoría de los textos de Álgebra Lineal los conceptos de aplicación lineal y homomorfismo son idénticos, a mí me gusta diferenciarlos. Yo defino un homomorfismo una aplicación entre espacios vectoriales que conserva la estructura; y defino una aplicación lineal como una aplicación entre un espacio vectorial y el cuerpo en el que se contruye. Se puede considerar a un cuerpo como un espacio vectorial; y es por ello que no estaríamos hablando de conceptos distintos (el de aplicación lineal y homomorfismo); pero cuando la aplicación es sobre $\mathbb{K}$ , la idea que subyace detrás no es la de conservar la estructura. Recordad a este respecto los espacios duales de los espacios vectoriales; que no son más que los espacios de las aplicaciones lineales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ del espacio vectorial.

De todas formas el nombre que le pongamos es, obviamente, lo de menos. Cuando en Matemáticas se estudia un conjunto, y por tanto se estudia su estructura con operaciones internas o externas que contenga, se estudian después las aplicaciones que conservan dicha estructura. Los homomorfismos son dichas aplicaciones.

04/10/2017

Base y ecuaciones de un subespacio vectorial. Subespacios vectoriales de dimensión finita.

Hola, muy buenas.

En este tercer post voy a explicar cómo podemos encontrar o calcular una base de un subespacio vectorial de dimensión finita que se encuentre generado por un conjunto finito de vectores; y además cómo escribir una ecuaciones de dicho espacio.

Lo cierto es que me decidí a escribirlo porque una ex-alumna me planteó algunas dudas sobre un posible examen final del Grado que está haciendo. Dentro de dicha prueba, la primera cuestión estaba relacionada con obtener una base de un subespacio del espacio vectorial real de cuatro dimensiones. De dicho subespacio nos daban cinco vectores »generadores»; y se tenía que encontrar una base y por defecto la dimensión del subespacio.

Además se pedían unas ecuaciones paramétricas y otras cartesianas o implícitas de dicho subespacio.

Supongamos un espacio vectorial de dimensión »m»; y consideremos dentro de él otro subespacio vectorial generado en este caso por un número finito de vectores, »n», por ejemplo. Para calcular la dimensión basta considerar la matriz formada por dichos vectores y estudiar su rango. Es obvio que no podrá ser mayor que »n», y es obvio también que no podrá ser mayor que la dimensión del espacio que le contiene, es decir, no podrá ser mayor que »m».

El cálculo es muy sencillo, basta escribir la matriz de los vectores generadores del subespacio y calcular su rango. Éste valor, »k» por ejemplo, será la dimensión del espacio. Para calcular la base escogemos del sistema generador dado, los vectores que son linealmente independientes y que son los que nos han permitido afirmar que el rango de la matriz es »k».

Las ecuaciones paramétricas se obtienen teniendo en cuenta que cualquier vector del subespacio se obtiene como combinación lineal de los vectores de la base.

Cuando hayamos obtenido las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones implícitas o cartesianas se escriben resolviendo el sistema obtenido con las paramétricas, teniendo en cuenta que en dicho sistema las incógnitas serán los parámetros que nos definen el subespacio.

Es claro también que si el subespacio es de dimensión 1, es decir una recta, las ecuaciones paramétricas solamente contendrán un parámetro; si es de dimensión 2, dos parámetros; si es 3, tres parámetros y así sucesivamente.

Lo escrito hasta ahora se puede encontrar en cualquier libro de Álgebra Lineal, y seguramente mucho mejor explicado que como lo he hecho yo. Por tanto, lo mejor es que si tenéis dudas veáis el video siguiente: »Cómo calcular una base y unas ecuaciones de un subespacio vectorial»: