Tema 5. Números Racionales

Un dominio de integridad es un anillo conmutativo unitario sin divisores de cero; y dado un cuerpo \mathbb{K}, todo anillo de él es un dominio de integridad. El problema que nos planteamos es si todo dominio de integridad se puede considerar como subanillo de un cuerpo. La respuesta es cierta y a dicho cuerpo se le llama el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad.

Pero además, cuando trabajamos con los números enteros, cuya estructura es precisamente la de un anillo conmutativo sin divisores de cero, nos encontramos con que la ecuación ax=b no siempre tiene solución. Es trivial comprobar que solamente la tendrá si a es divisible entre b. Como esto no siempre es posible, nos encontramos con la necesidad de dar solución al problema en todos los casos, no solamente en aquellos en los que b|a.

El procedimiento que vamos a utilizar es estándar. Básicamente vamos a construir un cuerpo, cuya definición es el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad.

Esta forma se utiliza para cualquier estructura que sea dominio, y en nuestro caso el objetivo es construir el cuerpo minimal que contenga a \mathbb{Z}. En el siguiente punto del tema se definirá \mathbb{Q} como un conjunto de cocientes del tipo \frac{a}{b} con a,b\in\mathbb{Z} y b\neq 0. Parece bastante obvio que todo cuerpo que contenga a los números enteros debe contener a los cocientes anteriores, por tanto debería contener a \mathbb{Q}. Pero además se puede demostrar que dos cuerpos de fracciones del mismo dominio son isomorfos, lo que inevitablemente nos llevará a la unicidad de \mathbb{Q}, y a que sea éste el cuerpo minimal que contenga a \mathbb{Z}.

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