Aunque se definen a partir de las matrices, los determinantes no comienzan su andadura hasta después de haberlo hecho éstas. Lo cierto es que a lo largo de la historia han ido apareciendo esporádicamente con unos u otros pueblos. En la antigua China, en los Nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas, aparecen las primeras menciones a las matrices y a los determinantes. Concretamente en el capítulo séptimo se aplica la Regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) introdujo los determinantes en algunos de sus trabajos. Su idea era básicamente la resolución de ecuaciones lineales y lo llamó resultante. Curiosamente algunos años antes un matemático japonés, Seki Kowa (1642-1708), había llegado a los mismos resultados que Leibnitz. Algo sorprendente porque las matemáticas en Japón no tenían el alcance al que ya habían llegado en occidente.
Años después Colin Maclaurin (1698-1746) elaboró un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes, concretamente la conocida Regla de Cramer, que ya hemos nombrado anteriormente. No obstante la notación utilizada por Maclaurin era más farragosa que la que después utilizó Cramer. Esto derivó en que finalmente dicha regla se denominara con el nombre de este último. En cualquier caso ni Cramer ni Maclaurin hablaban en su desarrollo de nada parecido a los determinantes.
En años posteriores matemáticos tan importantes como Laplace (1749-1827) o Vandermonde (1735-1796) los incluyeron en algunos de sus trabajos. Concretamente éste último introdujo su famoso determinante en 1772, en su obra «Memoria sobre la resolución de ecuaciones«. El origen de la teoría de los determinantes puede concretarse en 1812, en una memoria de Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Aqui, este ilustre matemático llegó a demostrar que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes.
Pero Cauchy no desarrolló el determinante utilizando permutaciones, ni tampoco con los menores complementarios, o como luego se denominó Regla de Laplace (distinta de la de probabilidades), sino que lo hizo con un complicado procedimiento partiendo de n números a_1,a_2,\ldots,a_n y utilizando los productos entre ellos y sus diferencias. De todas formas el trabajo de 1812 no fue el único en el que Cauchy utilizó los determinantes, sino que en otros posteriores los usó para resolver problemas geométricos o físicos.
Años después, en 1841 un matemático alemán, Carl Gustav Jakov Jacobi (1804-1851), publicó varios tratados sobre determinantes en los que generalizaba los términos o elementos permitiendo que fueran funciones además de números y formalizaba el procedimiento algorítmico de su desarrollo. Ese mismo año fue Cayley el que los denotó como ha llegado hasta nuestros días, con dos barras verticales; y en 1958 los utilizó para el cálculo de la matriz inversa.
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Tema 19. Determinantes. Propiedades. Aplicación al cálculo del rango de una matriz.
