El concepto de matriz y su estructura algebraica se ha venido utilizando de forma implícita tanto dentro como fuera de las matemáticas. Sin embargo, hasta que Cayley no la introdujo explícitamente no podemos decir que comenzaron a descubrir todo su potencial.
Antes de su definición formal ya se utilizaban para resolver sistemas de ecuaciones. El método de Gauss-Jordan es un claro ejemplo; también el cálculo de lo que luego se llamó determinante y que se utilizaba en la conocida Regla de Cramer. Históricamente el determinante precedió a la matriz. De hecho el primero que utilizó la palabra matriz fue James Joseph Sylvester (1814-1897) al llamarlo así al intentar referirse a la tabla de un determinante.
La novedad de Cayley no fue su invención, sino estructurar sus operaciones y aplicar éstas a los resultados en los que trabajaba en ese momento. Veamos como lo hizo. Tuvieron su origen concretamente en la teoría de transformaciones.
Pensemos en el plano, identifiquémoslo como \mathbb{R}^2 por ejemplo, y dada una pareja de puntos (x,y) pensemos en una transformación \tau_1 de \R^2 en \mathbb{R}^2 de la forma:
\begin{array}{l} x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{array}Sobre una transformación podemos aplicar otra transformación distinta, \tau_2:
\begin{array}{l} x''=a'x'+b'y'\\y''=c'x'+d'y'\end{array}Lo interesante que descubrió Cayley es que la composición de ambas transformaciones, \tau_2\circ\tau_1, que queda:
\begin{array}{l} x''=(a'a+b'c)x+(a'b+b'd)y'\\y''=(c'a+d'c)x'+(c'b+d'd)y'\end{array}no es más que una nueva transformación en la que los nuevos coeficientes provienen de una operación entre las matrices de ambas transformaciones.
Así dicho jugamos con cierta ventaja porque ya conocemos la estructura algebraica que poseen las matrices. La operación que estamos haciendo entre ellas no es más que el producto. Cayley desconocía la aplicación que podían tener y supuso que no serían más que nueva notación. Pero así lo hizo, definió las operaciones entre matrices a partir de los endomorfismos del plano en sí mismo. Es de notar que, al ser la composición de transformaciones una operación no conmutativa, el resultado de definir el producto acorde con la composición implicaba definir una operación no conmutativa entre matrices.
Con la suma y el producto por un escalar se llegaba a que el conjunto de las matrices con m filas y n columnas tenía estructura de espacio vectorial sobre \mathbb{K} si éste era un cuerpo; o de módulo, si fuera un anillo. Lo más interesante, trabajando sobre matrices con el mismo número de filas que de columnas, es que se alcanzaba la estructura de álgebra no conmutativa.
Pero todo esto no fue hasta 1858, en el que publicó su «Memoria sobre la teoría de Matrices«, puesto que hasta ese momento, y aún con todas las aplicaciones y tratamiento que tenían con ellas, eran solamente consideradas como notación.
En el mismo artículo estableció la inversa de una matriz, siempre que ésta tuviera determinante no nulo. Para Cayley, la inversa de:
\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}se obtenía dividiendo entre el determinante cada término de:
\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\
A_{22}&A_{32}&A_{33}\\
A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}donde A_{ij} es el cofactor del elemento a_{ij}. Recordemos que el menor de un elemento cualquiera a_{ij} se denota como M_{ij} y es el determinante de la matriz que queda después de eliminar la fila i y la columna j de A. El cofactor o adjunto de a_{ij} se denota como A_{ij} y está dado por la fórmula A_{ij}=(-1)^{i+j}\text{Det } (M_{ij}). Todos estos conceptos son propios del tema de determinantes y en nuestro caso, en una sección posterior, calcularemos la inversa de una matriz utilizando el método de eliminación gaussiana o método de Gauss-Jordan .
Cuando el determinante es cero, Cayley demostró que la matriz no tenía inversa, sin embargo también afirmó que era posible que el producto de dos matrices fuera cero con que solo una de ellas lo fuera. Aquí erró, pues ahora sabemos que para que eso ocurra es necesario que ambas matrices sean iguales a cero.
El desarrollo del tema al completo puedes encontrarlo en amazon, en formato kindle o en formato papel como prefieras. También aquí puedes encontrar la relación de los temas que he publicado hasta ahora; y en el siguiente enlace puedes descargarte las primeras páginas:
Tema 18. Matrices. Álgebra de matrices. Aplicaciones al campo de las Ciencias Sociales y de la Naturaleza.