Categoría: Tema 1. Números Naturales. Sistemas de Numeración

En este primer post del temario de oposiciones de Enseñanza Secundaria en la especialidad de Matemáticas desarrollaré el tema: Números Naturales. Sistemas de Numeración.

En 2011 hubo un cambio en el temario que finalmente se derogó poco después y volvimos al original de 1993. Podéis encontrar el temario completo en la siguiente entrada:

Oposiciones de Matemáticas.

El tema lo he descompuesto en varias partes. En la primera, constituida por los siete primeros vídeos, analizo la axiomática que construye los Números Naturales utilizando la de Peano.

Sin embargo, dicha construcción  no es única; también podemos encontrar bibliografía construyendo los Naturales por medio de la cardinalidad entre conjuntos creada por Cantor y otros.

1. Introducción

2. Los Naturales según Peano

En el segundo vídeo introduzco los cinco axiomas de Peano, y se define el concepto de lo que es un Conjunto de Peano. A continuación se define la adición, como la primera operación entre elementos de dicho conjunto.

3. La unicidad de la adición entre elementos de un Conjunto de Peano.

Aquí continúo con la demostración del teorema anterior, en la que pruebo la unicidad de la adición. La mayoría de las demostraciones, como podréis comprobar en los vídeos se hacen utilizando el quinto axioma, el de Inducción Matemática; que es en realidad la base de toda la construcción.

4. Propiedades de la adición: asociatividad y conmutabilidad

Aquí se demuestran las dos propiedades básicas de la suma: la propiedad Asociativa y la propiedad Conmutativa. La existencia de Elemento Neutro en la construcción según Peano no es posible demostrarla puesto que nuestro primer elemento es el uno, y no el cero. Sin embargo no es un impedimento para la naturaleza intrínseca del concepto de Número Natural. Algunos autores incluyen al cero y otros no; y la verdad es que no deja de ser un convenio.

5. Producto de elementos de un Conjunto de Peano.

Aquí se introduce el producto de elementos de un Conjunto de Peano, y se demuestra su unicidad. Además añado las propiedades del producto: Asociativa, Conmutativa, Elemento Neutro y Distributiva del Producto con respecto a la Suma. Éstas sin demostración, que dejo para que las hagáis vosotros.

6. Orden de Peano

En este sexto vídeo de la serie se introduce el Orden en un Conjunto de Peano. Para ello es necesario la demostración de algunos lemas previos, y luego realizar una partición disjunta en dicho conjunto. Es importante también que dicho orden sea compatible con las operaciones de adición y producto; aunque estos resultados los dejo para el que quiera demostrarlo.

7. El Conjunto de los Números Naturales.

En este vídeo, último de la serie de la construcción de los Naturales, demuestro que todos los Conjuntos de Peano son isomorfos. Este hecho, que engloba biyectividad y conservación de las operaciones de adición y producto, así como del orden establecido; permite definir el Conjunto de los Naturales como la clase de los Conjuntos de Peano, tal y como la hemos definido.

8. Sistemas de Numeración

En este vídeo y los dos siguientes desarrollo los conceptos más importantes de los Sistemas de Numeración. En éste en concreto enuncio las características básicas y elementales que debe incluir un Sistema de Numeración, y que son:

(a) Que contenga un número finito de símbolos (n), para poder escribir cualquier número (base del Sistema de Numeración).

(b) Que cada n unidades de un orden suponen un unidad de un orden superior.

(c) Que el orden de los símbolos en el número define el número, es decir que los mismos símbolos en un orden distinto definen un número distinto.

9. Teorema Fundamental de los Sistemas de Numeración

En este vídeo enuncio y demuestro el Teorema Fundamental de los Sistemas de Numeración en el que se dice que en cada sistema todo número Natural puede escribirse de una única forma.

10. Propiedades de los Sistemas de Numeración

Aquí se enuncian algunas propiedades, aunque no todas con demostración. Dejo algunas de las pruebas para aquellos que quieran profundizar en el tema. No son difíciles, y siempre recomiendo que se hagan.

Espero que os hayan gustado los videos. Todos ellos forman el desarrollo del primer tema de Números Naturales y Sistemas de Numeración.

De cada tema voy también a resolver algunos problemas relacionados con él, y que hayan caído en alguna de las convocatorias de la oposición.

En el siguiente enlace:

Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números. Febrero 2018 (A)

tenéis resuelto un ejercicio donde se aplica el Axioma de Inducción Matemática.

Como siempre, podéis hacerme un comentario en el post o bien enviarme un correo electrónico con aquello que consideréis interesante.

Un saludo.

Jorge.