Espacios vectoriales
Los espacios vectoriales son estructuras algebraicas que surgen de la extensión del concepto de grupo abeliano al que se le ha añadido una ley de composición externa. La idea de esta operación es permitir que los elementos de un grupo puedan ser modificados, sin perder la esencia del elemento. Dicho cambio dotará al vector de un nuevo concepto que se denominará módulo o norma.
Subespacios vectoriales
La idea de subespacio vectorial es la de un espacio vectorial dentro de otro espacio vectorial, en el que conservemos las mismas leyes de composición. Cuando el subespacio se encuentra generado por un único vector se llamará recta; si lo está por dos vectores linealmente independientes se llamará plano; y en general si lo está por más vectores, se hablará de la dimensión del subespacio. Por ejemplo, cuando sea una recta, todos sus elementos serán el producto de su vector generador por un elemento del cuerpo. Podríamos escribirlo así:
\mathcal{S}=\{\alpha \cdot u:u\in\mathcal{V},\alpha\in\mathbb{K}\}
Nótese la analogía del subgrupo, S generado por un único elemento a de un grupo, G:
S=\{0,a,-a\}
Es claro que el subgrupo está formado únicamente por tres elementos, y sin embargo \mathcal{S} contiene infinitos vectores, pero podemos fijarnos mejor y descubrir que al aplicar sobre los elementos de este subgrupo una ley externa que modifique el tamaño del elemento del grupo, obtendremos los vectores de \mathcal{S}. Concluiríamos que \mathcal{S} es un subespacio vectorial que proviene de aplicar una ley de composición externa «\cdot» sobre un cuerpo \mathbb{K} al subgrupo G.
Variedades lineales.
Una de las dificultades que tiene este tema no es tanto la complejidad de las demostraciones, sino la diferencia en las definiciones que se van a desarrollar. En Matemáticas existen conceptos que son tratados por unos y otros autores de forma distinta. En el caso de las variedades lineales, así ocurre.
Por una parte podemos encontrarnos con textos que definen una variedad lineal como un subespacio vectorial sin más; en otros se identifica una variedad lineal con un subconjunto de un subespacio vectorial que no conserva la estructura en sí, pero que sí tiene la forma de un espacio vectorial; en otros como las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales; e incluso encontramos autores que definen las variedades lineales como elementos de un espacio cociente.
Nosotros vamos a decantarnos por la segunda opción, vamos a considerar que las variedades lineales son como subespacios vectoriales, sin llegar a serlo. En el fondo no es importante el cómo se definan, sino las propiedades y los resultados que podemos alcanzar con ellos.
Aplicaciones entre espacios vectoriales
Cuando se estudia un conjunto con una o varias leyes de composición, el siguiente paso natural es estudiar las aplicaciones que conservan dicha estructura. En el caso de los espacios vectoriales, éstas se denominan aplicaciones lineales u homomorfismos. Aunque se enunciará después, el conjunto de los endomorfismos de un espacio vectorial \mathcal{V} tiene a su vez estructura de álgebra sobre el mismo cuerpo sobre el que se define \mathcal{V}.
Curiosamente es posible demostrar, aunque no será tratado en este tema, que existe un isomorfismo entre la familia de los endomorfismos de \mathcal{V} y la familia de las matrices n\times n, donde n es la dimensión del espacio vectorial. Este isomorfismo nos lleva a afirmar que toda variedad lineal puede ser identificada como la imagen inversa de un vector por una aplicación lineal concreta. Dicha aplicación lineal está en correspondencia biunívoca con una matriz, y ésta con un sistema de ecuaciones lineales.
Teoremas de isomorfía
Por último queríamos hacer especial mención a los teoremas de isomorfía. Como ya hemos expuesto, algunos autores consideran solamente un teorema de isomorfía cuando se habla de espacios vectoriales, y otros consideran que hay tres. De hecho el nombre del tema hace mención a un único teorema. Nosotros, sin embargo, al haber considerado que en términos generales un espacio vectorial puede verse como la extensión de un grupo, vamos a introducir y demostrar los tres teoremas de isomorfía de grupos, aplicados en este caso sobre espacios vectoriales.
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