Temario de las Oposiciones de Matemáticas

En esta entrada quiero presentaros los temas que estoy publicando en Amazon. El objetivo, como ya dije en el anterior post, es que cada cierto tiempo tengáis la posibilidad de adquirirlo bien descargándolo online o en formato papel.

El formato online, que básicamente es PDF, no puede leerse en un e-reader porque no es posible la transformación de un formato a otro. Sin embargo sí se puede visualizar en cualquier ordenador, móvil o tablet, independientemente del sistema operativo. No importa que tengáis Windows o IOS, ni tampoco que vuestro smartphone o tablet trabaje con Android o tengáis un iPad o un iPhone; para todas estas posibilidades, Amazon permite la descarga gratuita de su aplicación »Kindle»; y con ésta puedes visualizar sin problema cualquier tema.

Aunque es cierto que en Amazon tenéis la posibilidad de descargaros una muestra del cuadernillo que queráis adquirir; éste se limita a las portadas porque solamente permite el 10% de todo el tema. La longitud de éstos es un poco mayor de las veinte páginas, y el 10% de 20 es 2. Esta es la razón por la que he decidido introducir en esta entrada las primeras páginas de cada cuadernillo. Podéis descargarlas en los siguientes enlaces:

Por otra parte, si queréis encontrar algo más sobre temas o sobre prácticos podéis hacerlo aquí.

Por último deciros que podéis hacerme cualquier observación, bien a través del blog o bien directamente a mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Jorge Morra

¿Sabes cómo prepararte las oposiciones de Matemáticas?

Has pensado presentarte a las oposiciones de Matemáticas y ni siquiera sabes cómo empezar, ni qué temario vas a utilizar. Es lógico, no te preocupes, si sigues leyendo este post es posible que resuelvas algunas de tus dudas.

No quiero asustarte, pero antes de nada has de saber que las oposiciones de Matemáticas no son para nada triviales, que vas a tener que dedicarles mucho tiempo y mucho estudio si quieres aprobarlas; pero que no son imposibles.

Una pequeña historia: la mía.

Cuando decidí, hace más de dos décadas, presentarme a ellas, no creí que aprobarlas me podía resultar difícil. Había estudiado Matemática Fundamental en la Universidad Complutense de Madrid y todos o prácticamente todos mis compañeros de promoción habían decidido continuar su formación con el doctorado. Recuerdo a este respecto cierta conversación con un conocido un año antes de acabar la licenciatura, cuando yo estaba en 4º y él en 5º. Le pregunté que qué quería hacer después de acabar la carrera. Me contestó, sin levantar la mirada de la partida de ajedrez que estábamos jugando: —Una tesis—. Yo sí levanté la mirada de las piezas y repetí, —¿una tesis?—. El tono le hizo, ahora sí, dejar por un momento de pensar en su siguiente movimiento y me dijo: —¿Y qué quieres hacer después de acabar Fundamentales?

En aquel momento pensé que tal vez llevara razón. Algunas especialidades tales como «Computación» o «Investigación Operativa» estaban más diseñadas para el mercado laboral; y otras como «Metodología» para la docencia; así que parecía lógico continuar con el doctorado. Sin embargo un año más tarde no opté por esta opción, sino que decidí salir al mercado laboral y al servicio militar, por aquel entonces obligatorio.

Después de la “mili”, el trabajo fuera de la docencia no estaba complicado; pero en plena crisis económica y teniendo en cuenta que la demanda de profesores de Matemáticas había aumentado en los últimos años, contemple seriamente la posibilidad de dedicarme a la enseñanza; y eso fue lo que hice.

No me daba miedo estudiar, pero “La Blanca» (así llamábamos a la cartilla militar en aquellos años; no sé si ahora se sigue llamando igual), no la obtuve hasta finales del mes de febrero y las pruebas se celebrarían a principios de julio. Apenas tuve tiempo para concienciarme de todo lo que conlleva una oposición y no me presenté con la confianza necesaria para aprobar. Obviamente suspendí.

Lo peor no fue suspender, lo peor fue que cambiaron el temario y los tipos de pruebas para acceder a la plaza. Durante tres años consecutivos el sistema de examen había sido la típica encerrona, eligiendo un tema de entre cuatro al azar. Ahora con el cambio teníamos una primera prueba en la que debíamos desarrollar un tema de entre dos, después un tema de LOGSE (para los más jóvenes: Ley Orgánica General del Sistema Educativo), y por último un práctico. Si pasabas esta primera parte entonces llegabas a la segunda que era propiamente la encerrona, pero ahora eligiendo también un tema de entre dos.

¿Alguien ha dicho que las oposiciones son fáciles?

En un primer momento no sentí que podía haber excesivas dificultades para obtener plaza porque tenía conocimientos de Matemáticas de sobra, de hecho nunca tuve  “problemas” con los problemas (valga la redundancia); pero reconozco que sí los tuve con los temas.

Compré un par de libros de problemas de una editorial para ponerme al día con los ejercicios que podía encontrarme en el práctico; y creí que sería una buena idea adquirir también los temas, aunque para la preparación no asistiera a una academia ni a ningún preparador, sino que corriera por mi cuenta. Me fui una tarde a una librería especializada del centro de Madrid para echar un vistazo al temario y adquirirlo. Pero en el último momento lo deseché. No me convenció. Era una verdadera calamidad.

Ojeándolos me encontré con obviedades, con un mismo desarrollo hecho de retales, de fotocopias de libros pegadas y vueltas a fotocopiar. Tan desastrosos que en una misma página podían distinguirse dos párrafos con tipos de letras distintos, con teoremas o proposiciones mal demostrados…, y lo peor de todo, la sensación de mal estructurado. Llegué a pensar que aquello no podía tener Copyright, porque era poco más que una vulgar copia; pero la verdad es que lo vendían. En resumidas cuentas, en poco más de media hora había cambiado de opinión y había decidido que tenía que prepararlos yo mismo.

Todo iba a ser “coser y cantar”. Mis temas me los iba a preparar yo y una de las plazas del 94 iba a ser mía. Nada más lejos de la realidad. Fue imposible prepararme en un año setenta y un temas de oposición (creo que no llegué ni a cuarenta); y la suerte de las bolas cayó de lado (pero del otro lado). Así que suspendí aquel año…, y suspendí al siguiente…, y suspendí al siguiente… Pero no penséis que porque mi temario no era bueno, sino porque en la mayoría de las convocatorias a las que me presenté no me salió ninguno de los preparados; y en las que sí lo hizo, aprobé los exámenes pero me quedé en las puertas.

¿Alguien ha dicho que las oposiciones son justas?

Recuerdo una conversación con un buen amigo en aquel verano de 2000. Él también opositaba aunque al Cuerpo de Letrados de la Seguridad Social, nada más y nada menos; y coincidíamos en que las pruebas a las que nos teníamos que someter no eran justas. Pensábamos que independientemente de la dureza o de la cantidad de temas a estudiar, no era posible que alguien que se hubiera preparado un único tema de cada bloque correspondiente, pudiera aprobar, y alguien que lo hubiera hecho con todos menos con tres pudiera suspender.

Le trasladé además mi opinión sobre la calidad de algunos de los temarios que se comercializaban; y que esa era la razón por la que había tenido que elaborar mis propios temas. Me dijo que porqué no me planteaba redactarlos, pasarlos a ordenador y publicarlos. La idea se me quedó grabada, si bien sabía que necesitaba reescribir al menos dos mil páginas de Matemáticas y luego encontrar una editorial que se arriesgara y las publicara. En aquel momento resultaba inviable, tanto por una razón como por la otra.

Un cuadernillo = Un tema + ¿Cómo preparar este tema?

Ya han pasado casi veinte años desde entonces. Ahora sí puedo encontrar editoriales que publiquen lo que escribo, ahora puedo publicar online, en PDF, o en otros formatos. Y aquí estamos.

Voy a intentar llevar a cabo la idea original con algunas modificaciones. Me han preguntado numerosos opositores, a través del canal de YouTube, del blog o a través de mi correo electrónico, si era preparador. A todos les he contestado que no, que no sabría qué precio fijar, y que además no tengo sitio físico para ello. También es verdad que, descartándolo para este curso escolar 2019/20, estoy barajando la posibilidad de hacerlo online para convocatorias posteriores.

La intención que tengo ahora mismo es la de elaborar cada tema de forma independiente, en un cuadernillo propio. Dicho cuadernillo podrá adquirirse o bien online, en formato PDF, o bien en formato papel.

Lo más interesante es que en dicho cuadernillo os encontraréis una sección denominada: “¿Cómo estudiar este tema?”. En ella daré una serie de indicaciones sobre qué saber de cada tema, sobre cómo estudiarlo, y en general sobre la cantidad de contenidos que deberíais dominar. Obviamente una sección de este tipo no sustituye a un preparador, pero a mi modo de ver ayuda bastante. Creo que si os ajustáis a lo que os propongo, lo único que tendríais que hacer es estudiarlo; la parte de preparación ya os la encontráis hecha.

Los cuadernos o cuadernillos podréis adquirirlos en Amazon, al menos por ahora. El formato PDF es para su lectura en móviles, tabletas, u ordenadores; no se pueden visualizar en eReaders. El paso de PDF a ePub o a otro formato de lectura electrónica no es tan sencillo con Latex; en general se desencuadra todo bastante. Además de en PDF tengo intención de publicarlos también en papel, por si preferís este tipo de formato.

Por otra parte, en las siguientes entradas de este blog encontraréis más información sobre algunos temas concretos; o sobre prácticos resueltos de distintas convocatorias y comunidades autónomas:

Quiero finalizar diciendo para todos los futuros lectores que adquieran alguno de los temas, que si queréis hacer cualquier tipo de comentario podéis hacerlo bien a través del blog o directamente a mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Un saludo y mucha suerte a todos los que os presentáis a las oposiciones.

Jorge Morra.

Base y ecuaciones de un subespacio vectorial. Subespacios vectoriales de dimensión finita.

Hola, muy  buenas.

En este tercer post voy a explicar cómo podemos encontrar o calcular una base de un subespacio vectorial de dimensión finita que se encuentre generado por un conjunto finito de vectores; y además cómo escribir una ecuaciones de dicho espacio.

Lo cierto es que me decidí a escribirlo porque una ex-alumna me planteó algunas dudas sobre un posible examen final del Grado que está haciendo. Dentro de dicha prueba, la primera cuestión estaba relacionada con obtener una base de un subespacio del espacio vectorial real de cuatro dimensiones. De dicho subespacio nos daban cinco vectores »generadores»; y se tenía que encontrar una base y por defecto la dimensión del subespacio.

Además se pedían unas ecuaciones paramétricas y otras cartesianas o implícitas de dicho subespacio.

Supongamos un espacio vectorial de dimensión »m»; y consideremos dentro de él otro subespacio vectorial generado en este caso por un número finito de vectores, »n», por ejemplo. Para calcular la dimensión basta considerar la matriz formada por dichos vectores y estudiar su rango. Es obvio que no podrá ser mayor que »n», y es obvio también que no podrá ser mayor que la dimensión del espacio que le contiene, es decir, no podrá ser mayor que »m».

El cálculo es muy sencillo, basta escribir la matriz de los vectores generadores del subespacio y calcular su rango. Éste valor, »k» por ejemplo, será la dimensión del espacio. Para calcular la base escogemos del sistema generador dado, los vectores que son linealmente independientes y que son los que nos han permitido afirmar que el rango de la matriz es »k».

Las ecuaciones paramétricas se obtienen teniendo en cuenta que cualquier vector del subespacio se obtiene como combinación lineal de los vectores de la base.

Cuando hayamos obtenido las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones implícitas o cartesianas se escriben resolviendo el sistema obtenido con las paramétricas, teniendo en cuenta que en dicho sistema las incógnitas serán los parámetros que nos definen el subespacio.

Es claro también que si el subespacio es de dimensión 1, es decir una recta, las ecuaciones paramétricas solamente contendrán un parámetro; si es de dimensión 2, dos parámetros; si es 3, tres parámetros y así sucesivamente.

Lo escrito hasta ahora se puede encontrar en cualquier libro de Álgebra Lineal, y seguramente mucho mejor explicado que como lo he hecho yo. Por tanto, lo mejor es que si tenéis dudas veáis el video siguiente: »Cómo calcular una base y unas ecuaciones de un subespacio vectorial»: