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Oposiciones Matemáticas. Práctico de Castilla y León (Burgos 2018).

Hola, muy buenas.

En esta entrada encontraréis los vídeos en los que resuelvo los problemas de la parte práctica de las oposiciones de Matemáticas de la comunidad de Castilla y León; concretamente del año 2018.

En su momento me llamaron la atención porque oí que la dificultad del mismo había sido excesiva. Sin embargo hasta este mes de octubre no me he decidido finalmente a resolverlos; después a hacer los vídeos, editarlos y subirlos al canal que tengo en YouTube.

Es verdad que si los comparamos los problemas con los de Madrid o de Castilla la Mancha, también del año 2018, ganan abrumadoramente, porque de media son claramente más difíciles. Dicho esto, también creo que aunque es literalmente imposible hacerlos todos en el tiempo que os dan, no es complicado hacer dos o con algo de suerte incluso tres. Es verdad también que centrarse en los más fáciles no es factible puesto que en el examen desconoces cuáles son asequibles y cuáles no. Podéis descargaros el práctico aquí.

Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

Problema 1

El primer problema es en el fondo sencillo. Su dificultad se encuentra esencialmente en el planteamiento.

Hallar el número de n-uplas, (a_1,a_2,...,a_n) de componentes a_i, números enteros positivos que satisfacen las tres ecuaciones siguientes:

\sum_{i=1}^n a_i =26,\;\; \sum_{i=1}^n a_i^2=72,\;\; \sum _{i=1}^n a_i^3=224

La idea consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones se encuentran restringidas a algunos números enteros.

Problema 2

El segundo problema es, en mi opinión, el más complicado de los cinco. Nos dan una función continua y positiva definida sobre el intervalo unidad; y después nos piden que demostremos que existe un punto en el que f(x)=f(x+f(x)). Bueno, el problema no dice exactamente esto, pero sí es su esencia.

Sea f:[0,1]\rightarrow [0,\infty] una función continua tal que f(0)=f(1)=0 y \forall x\in (0,1), f(x)>0. Demostrar que existe un cuadrado con dos vértices en el intervalo (0,1) del eje de abscisas y los otros dos en la gráfica de f.

Problema 3

Aquí se nos pide que realicemos el producto infinito de una sucesión recurrente. Cuando tengamos que realizar la suma de una serie infinita o un producto infinito de una sucesión, tendremos que recurrir en la mayoría de las ocasiones a conocimientos ajenos a lo que nos están pidiendo. Curiosamente en este problema no se da el caso. Podremos resolverlo recordando el producto de otra sucesión muy conocida, que es la de Viète.

Dada la sucesión (x_n)_{n\in \mathbb{N}} definida recurrentemente por x_1=\sqrt{2} y </em>\forall n\in \mathbb{N}: x_{n+1}=\sqrt{\frac{2x_n}{1+x_n}} Calcular: \prod_{n=1}^\infty x_n

Problema 4

Los problemas 4 y 5 forman parte del mismo ejercicio, lo que significa que puntuando sobre 10, cada uno de ellos vale 1,25. El 4º es sobre un lugar geométrico, en el que se utilizan conceptos de geometría de la circunferencia y del triángulo. No es nada difícil, podéis comprobarlo vosotros mismos.

Sea \mathcal{C} una circunferencia y en ella dos puntos distintos, no diametralmente opuestos A y B. Describir el lugar geométrico del ortocentro de los triángulos ABC, siendo C un punto de \mathcal{C} distinto de A y B.

Problema 5

Este último problema forma parte junto con el 4º, del ejercicio 4. También vale 1,25 puntos y es, después del segundo, de los más largos. Es un problema de probabilidad y se trata de valorar cuánto puede valer un cierto a positivo para que se cumplan una serie de condiciones. Nos enfrentamos a un planteamiento no muy complicado que sí tiene diferentes casos y unas cuantas operaciones relativamente sencillas. Al final, lo cicho: algo largo.

Se eligen aleatoriamente los números b,c\in[0,a]. La probabilidad de que la distancia en el plano complejo de las raíces del polinomio z^2+bz+c no sea mayor que 1, no es menor que 0,25, hallar a.

No existen fórmulas para aprender a resolver problemas, salvo haber resuelto muchos. Mi recomendación es que intentéis el práctico vosotros mismos, sin ver ninguno de los vídeos; y solo después de haber dedicado bastante tiempo a cada problema visualizar como los resuelvo yo.

Por último deciros que podéis hacerme llegar cualquier comentario, bien a través del blog, bien a través de mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Jorge Morra

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Temario de las Oposiciones de Matemáticas

En esta entrada quiero presentaros los temas que estoy publicando en Amazon. El objetivo, como ya dije en el anterior post, es que cada cierto tiempo tengáis la posibilidad de adquirirlo bien descargándolo online o en formato papel.

El formato online, que básicamente es PDF, no puede leerse en un e-reader porque no es posible la transformación de un formato a otro. Sin embargo sí se puede visualizar en cualquier ordenador, móvil o tablet, independientemente del sistema operativo. No importa que tengáis Windows o IOS, ni tampoco que vuestro smartphone o tablet trabaje con Android o tengáis un iPad o un iPhone; para todas estas posibilidades, Amazon permite la descarga gratuita de su aplicación »Kindle»; y con ésta puedes visualizar sin problema cualquier tema.

Aunque es cierto que en Amazon tenéis la posibilidad de descargaros una muestra del cuadernillo que queráis adquirir; éste se limita a las portadas porque solamente permite el 10% de todo el tema. La longitud de éstos es un poco mayor de las veinte páginas, y el 10% de 20 es 2. Esta es la razón por la que he decidido introducir en esta entrada las primeras páginas de cada cuadernillo. Podéis descargarlas en los siguientes enlaces:

Por otra parte, si queréis encontrar algo más sobre temas o sobre prácticos podéis hacerlo aquí.

Por último deciros que podéis hacerme cualquier observación, bien a través del blog o bien directamente a mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Jorge Morra

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¿Sabes cómo prepararte las oposiciones de Matemáticas?

Has pensado presentarte a las oposiciones de Matemáticas y ni siquiera sabes cómo empezar, ni qué temario vas a utilizar. Es lógico, no te preocupes, si sigues leyendo este post es posible que resuelvas algunas de tus dudas.

No quiero asustarte, pero antes de nada has de saber que las oposiciones de Matemáticas no son para nada triviales, que vas a tener que dedicarles mucho tiempo y mucho estudio si quieres aprobarlas; pero que no son imposibles.

Una pequeña historia: la mía.

Cuando decidí, hace más de dos décadas, presentarme a ellas, no creí que aprobarlas me podía resultar difícil. Había estudiado Matemática Fundamental en la Universidad Complutense de Madrid y todos o prácticamente todos mis compañeros de promoción habían decidido continuar su formación con el doctorado. Recuerdo a este respecto cierta conversación con un conocido un año antes de acabar la licenciatura, cuando yo estaba en 4º y él en 5º. Le pregunté que qué quería hacer después de acabar la carrera. Me contestó, sin levantar la mirada de la partida de ajedrez que estábamos jugando: —Una tesis—. Yo sí levanté la mirada de las piezas y repetí, —¿una tesis?—. El tono le hizo, ahora sí, dejar por un momento de pensar en su siguiente movimiento y me dijo: —¿Y qué quieres hacer después de acabar Fundamentales?

En aquel momento pensé que tal vez llevara razón. Algunas especialidades tales como «Computación» o «Investigación Operativa» estaban más diseñadas para el mercado laboral; y otras como «Metodología» para la docencia; así que parecía lógico continuar con el doctorado. Sin embargo un año más tarde no opté por esta opción, sino que decidí salir al mercado laboral y al servicio militar, por aquel entonces obligatorio.

Después de la “mili”, el trabajo fuera de la docencia no estaba complicado; pero en plena crisis económica y teniendo en cuenta que la demanda de profesores de Matemáticas había aumentado en los últimos años, contemple seriamente la posibilidad de dedicarme a la enseñanza; y eso fue lo que hice.

No me daba miedo estudiar, pero “La Blanca» (así llamábamos a la cartilla militar en aquellos años; no sé si ahora se sigue llamando igual), no la obtuve hasta finales del mes de febrero y las pruebas se celebrarían a principios de julio. Apenas tuve tiempo para concienciarme de todo lo que conlleva una oposición y no me presenté con la confianza necesaria para aprobar. Obviamente suspendí.

Lo peor no fue suspender, lo peor fue que cambiaron el temario y los tipos de pruebas para acceder a la plaza. Durante tres años consecutivos el sistema de examen había sido la típica encerrona, eligiendo un tema de entre cuatro al azar. Ahora con el cambio teníamos una primera prueba en la que debíamos desarrollar un tema de entre dos, después un tema de LOGSE (para los más jóvenes: Ley Orgánica General del Sistema Educativo), y por último un práctico. Si pasabas esta primera parte entonces llegabas a la segunda que era propiamente la encerrona, pero ahora eligiendo también un tema de entre dos.

¿Alguien ha dicho que las oposiciones son fáciles?

En un primer momento no sentí que podía haber excesivas dificultades para obtener plaza porque tenía conocimientos de Matemáticas de sobra, de hecho nunca tuve  “problemas” con los problemas (valga la redundancia); pero reconozco que sí los tuve con los temas.

Compré un par de libros de problemas de una editorial para ponerme al día con los ejercicios que podía encontrarme en el práctico; y creí que sería una buena idea adquirir también los temas, aunque para la preparación no asistiera a una academia ni a ningún preparador, sino que corriera por mi cuenta. Me fui una tarde a una librería especializada del centro de Madrid para echar un vistazo al temario y adquirirlo. Pero en el último momento lo deseché. No me convenció. Era una verdadera calamidad.

Ojeándolos me encontré con obviedades, con un mismo desarrollo hecho de retales, de fotocopias de libros pegadas y vueltas a fotocopiar. Tan desastrosos que en una misma página podían distinguirse dos párrafos con tipos de letras distintos, con teoremas o proposiciones mal demostrados…, y lo peor de todo, la sensación de mal estructurado. Llegué a pensar que aquello no podía tener Copyright, porque era poco más que una vulgar copia; pero la verdad es que lo vendían. En resumidas cuentas, en poco más de media hora había cambiado de opinión y había decidido que tenía que prepararlos yo mismo.

Todo iba a ser “coser y cantar”. Mis temas me los iba a preparar yo y una de las plazas del 94 iba a ser mía. Nada más lejos de la realidad. Fue imposible prepararme en un año setenta y un temas de oposición (creo que no llegué ni a cuarenta); y la suerte de las bolas cayó de lado (pero del otro lado). Así que suspendí aquel año…, y suspendí al siguiente…, y suspendí al siguiente… Pero no penséis que porque mi temario no era bueno, sino porque en la mayoría de las convocatorias a las que me presenté no me salió ninguno de los preparados; y en las que sí lo hizo, aprobé los exámenes pero me quedé en las puertas.

¿Alguien ha dicho que las oposiciones son justas?

Recuerdo una conversación con un buen amigo en aquel verano de 2000. Él también opositaba aunque al Cuerpo de Letrados de la Seguridad Social, nada más y nada menos; y coincidíamos en que las pruebas a las que nos teníamos que someter no eran justas. Pensábamos que independientemente de la dureza o de la cantidad de temas a estudiar, no era posible que alguien que se hubiera preparado un único tema de cada bloque correspondiente, pudiera aprobar, y alguien que lo hubiera hecho con todos menos con tres pudiera suspender.

Le trasladé además mi opinión sobre la calidad de algunos de los temarios que se comercializaban; y que esa era la razón por la que había tenido que elaborar mis propios temas. Me dijo que porqué no me planteaba redactarlos, pasarlos a ordenador y publicarlos. La idea se me quedó grabada, si bien sabía que necesitaba reescribir al menos dos mil páginas de Matemáticas y luego encontrar una editorial que se arriesgara y las publicara. En aquel momento resultaba inviable, tanto por una razón como por la otra.

Un cuadernillo = Un tema + ¿Cómo preparar este tema?

Ya han pasado casi veinte años desde entonces. Ahora sí puedo encontrar editoriales que publiquen lo que escribo, ahora puedo publicar online, en PDF, o en otros formatos. Y aquí estamos.

Voy a intentar llevar a cabo la idea original con algunas modificaciones. Me han preguntado numerosos opositores, a través del canal de YouTube, del blog o a través de mi correo electrónico, si era preparador. A todos les he contestado que no, que no sabría qué precio fijar, y que además no tengo sitio físico para ello. También es verdad que, descartándolo para este curso escolar 2019/20, estoy barajando la posibilidad de hacerlo online para convocatorias posteriores.

La intención que tengo ahora mismo es la de elaborar cada tema de forma independiente, en un cuadernillo propio. Dicho cuadernillo podrá adquirirse o bien online, en formato PDF, o bien en formato papel.

Lo más interesante es que en dicho cuadernillo os encontraréis una sección denominada: “¿Cómo estudiar este tema?”. En ella daré una serie de indicaciones sobre qué saber de cada tema, sobre cómo estudiarlo, y en general sobre la cantidad de contenidos que deberíais dominar. Obviamente una sección de este tipo no sustituye a un preparador, pero a mi modo de ver ayuda bastante. Creo que si os ajustáis a lo que os propongo, lo único que tendríais que hacer es estudiarlo; la parte de preparación ya os la encontráis hecha.

Los cuadernos o cuadernillos podréis adquirirlos en Amazon, al menos por ahora. El formato PDF es para su lectura en móviles, tabletas, u ordenadores; no se pueden visualizar en eReaders. El paso de PDF a ePub o a otro formato de lectura electrónica no es tan sencillo con Latex; en general se desencuadra todo bastante. Además de en PDF tengo intención de publicarlos también en papel, por si preferís este tipo de formato.

Por otra parte, en las siguientes entradas de este blog encontraréis más información sobre algunos temas concretos; o sobre prácticos resueltos de distintas convocatorias y comunidades autónomas:

Quiero finalizar diciendo para todos los futuros lectores que adquieran alguno de los temas, que si queréis hacer cualquier tipo de comentario podéis hacerlo bien a través del blog o directamente a mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Un saludo y mucha suerte a todos los que os presentáis a las oposiciones.

Jorge Morra.

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Oposiciones Matemáticas. Extremadura. Badajoz (2000)

[mathjax]

En esta entrada voy a resolver el ejercicio práctico de las oposiciones de Matemáticas en la Comunidad de Extremadura, en Badajoz, en el año 2000.

Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

También podéis encontrar temas desarrollados en los enlaces:

Este práctico constaba de cuatro problemas o ejercicios. Ninguno de ellos especialmente complicado, y con tiempo os daréis cuenta que podéis resolverlos sin excesivas complicaciones.

Problema 1

El primer de ellos es un problema de espacios duales.

Sea E el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos y sea \{w_1,w_2,w_3\} la base dual de la base canónica \{1,x,x^2\}.

Consideramos la base del espacio dual E^* definida por las aplicaciones \overline{w_1}, \overline{w_2} y \overline{w_3}:

    \[\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1p(x)dx\]

    \[\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1x\cdot p(x)dx\]

    \[\overline{w}_3(p(x)):=\int_0^1x^2\cdot p(x)dx\]

(a) Halla las coordenadas de \overline{w}_1, \overline{w}_2 y \overline{w}_3 en la base \{w_1,w_2,w_3\}.

(b) Determina la base de E para la que \{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\overline{w}_3\} es su base dual.

Su resolución pasa por conocer conceptos importantes en Matemáticas, como es el de espacio dual. El conjunto de las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre el cuerpo en el que está construido tiene estructura a su vez de espacio vectorial; y es lo que se denomina el «espacio dual» asociado al espacio vectorial original. La demostración de que verifica las propiedades de e.v. no es complicada e invito a que lo intentéis vosotros mismos sin necesidad de consultar ningún libro de Algebra Lineal. Es curioso a su vez, que la dimensión que tiene dicho espacio coincide, en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita, con la dimensión de su espacio original. Sin embargo en el caso de e.v. de dimensión infinita, este hecho no es cierto.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Espacios Duales

Por otra parte, aunque en el problema solo se incide sobre la parte algebraica, siempre se puede considerar la parte topológica. En este caso, cuando trabajemos con espacios vectoriales topológicos, es decir, espacios vectoriales en los que asociamos una topología (dada habitualmente por una norma o una métrica), bien espacios de Banach, o espacios de Hilbert; los espacios duales asociados también mantienen la misma dimensión e incluso topologías análogas siempre que ésta sea finita; y distintas siempre que las dimensiones sean infinitas. Los e.v.t. se estudian principalmente en los textos de Análisis Funcional.

Problema 2

El segundo problema de este examen práctico es de Geometría en el plano. Consiste en calcular el área de un polígono definido a partir de otro del cual ya conocemos su superficie. Una vez que hayamos hecho el dibujo, que por otra parte no es muy difícil, el procedimiento para resolver el problema no es nada complicado. Se trata de «dividir» la superficie a calcular en triángulos y calcular el área de dichos triángulos. Si se siguen los pasos adecuados se llega al resultado sin excesiva complicación.

Sea un cuadrilátero convexo de vértices ABCD y superficie Sm^2. Se prolonga el lado AB por el punto B hasta un punto M de forma que la longitud de BM se igual a la mitad de la longitud del lado AB. Análogamente se prolonga el lado BC por el punto C hasta el punto N de forma que CN=\frac{1}{2}BC. El lado CD se polonga por D hasta P tal que DP=\frac{1}{2}CD y por ultimo el lado DA se prolonga por A hasta Q, tal que AQ=\frac{1}{2}DA.
Halla la superficie del cuadrilátero de vértices MNPQ.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Geometría

Como en todos los ejercicios que resuelvo en los vídeos, mi recomendación es que intentéis hacerlos vosotros antes de ver la resolución. A los problemas, y esto es algo que ya me habéis oído decir en numerosas ocasiones, hay que dedicarles mucho tiempo; hay que empaparse de ellos porque es la única forma de aprender a hacerlos.

Problema 3

En el tercer problema nos piden que calculemos el volumen de un sólido definido a partir de los tres planos coordenados y del movimiento de una recta que se apoya en otras dos rectas. Es una superficie reglada. Es posiblemente el ejercicio más difícil de este práctico.

Calcula el volumen del sólido limitado por los planos cartesianos y por la superficie reglada engendrada por el movimiento de una recta que se conserva paralela al plano XOZ, apoyándose en las rectas r_1:{x=0,z=2} y r_2:{z=0 \text{ y pasa por los puntos }A(3,0,0) \text{ y } B(0,4,0)}

Oposiciones Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 3: Volumen de una superficie reglada.

Las superficies regladas son aquellas superficies que se definen por el movimiento de una recta que se apoya en dos curvas. Los cilindros de revolución son ejemplos de superficies regladas, los conos de revolución también. Pero no solamente aquellas que puedan provenir de la revolución de una recta alrededor de un eje son superficies regladas. Imaginemos un cilindro en el que las bases, (la «tapa» inferior y la superior) fueran dos elipses, es decir, dos superficies limitadas por dos elipses. En este caso no estamos con una superficie de revolución pero sí con una superficie reglada.

La dificultad de este problema es saber representar correctamente el sólido del cual queremos calcular su volumen. Después, tendremos que resolver una integral triple, de la que lo más difícil será calcular los límites de integración.

Problema 4

El cuarto y último problema es de probabilidad. Es un sencillo ejercicio de diagramas en árbol.

De una urna que contiene a bolas blancas y b bolas negras, dos jugadores hacen extracciones alternativas reemplazando cada uno su bola antes de la siguiente extracción. Gana el jugador que consigue sacar primero una bola blanca.
Calcula la probabilidad de ganar que tiene cada uno de los jugadores.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 4: Probabilidad

La mayor complicación que os encontraréis aquí es que tendréis que efectuar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. El desarrollo de las probabilidades hasta llegar a las sumas infinitas es sencillo. Aplicando Laplace y el sentido común se llega sin dificultad al resultado.

Si quieres hacer algún comentario o alguna sugerencia puedes hacerlo rellenando el siguiente formulario:

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Oposiciones Matemáticas Albacete 2015. Parte Práctica

En este post voy a resolver los problemas de la parte práctica de las Oposiciones de Matemáticas en Castilla la Mancha; y más concretamente en la provincia de Albacete en el 2015. Si accedéis a la entrada Oposiciones de Matemáticas, encontraréis algunos consejos y otros enlaces a temas desarrollados de la misma oposición. Los vídeos son más extensos que los de la resolución de problemas pero también os pueden ser interesantes. En cada uno de los tres vídeos resolveré uno de los problemas con los que se enfrentaron los opositores de ese año. Tienen dificultades diferentes; así mientras que el primer y tercer problema son asequibles en el tiempo que tienes para resolverlos; el segundo problema es de mucha mayor dificultad. Es obvio que el nivel de los problemas es la mejor forma de discriminar a los que tienen un mayor conocimiento de las Matemáticas de los que no la tienen. Sin embargo, en ocasiones aumentar mucho la dificultad no consigue discriminar sino todo lo contrario; puesto que el porcentaje que llega a resolverlo es prácticamente nulo. En las siguientes líneas tenéis los tres problemas y los vídeos que los resuelven. Espero que se entiendan y que os ayuden.
Problema nº 1
Sea R la región del plano definida por la parte positiva de los ejes de coordenadas y la curva y=2\cos x en 0\leq x \leq \frac{\pi}{2}. Halla el valor de a tal que la curva y=a\sin x, divida la región R en dos regiones de igual área. Este problema se resuelve utilizando el concepto de integral definida como el área encerrada entre una curva y el eje X; o como el área encerrada entre dos curvas.
Problema nº2
Demostrar la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: «Para todo número n\in \mathbb{N}, se puede encontrar un conjunto de n números naturales consecutivos que no contiene ningún número primo.» En este vídeo demuestro que tal resultado es cierto. La forma de hacerlo es más propia de idea feliz que de seguir un procedimiento propio en una demostración matemática. Yo tardé en resolverlo bastante más que los otros dos juntos. La Reducción al Absurdo no me funcionó, la Inducción Matemática tampoco, y las clases \mathbb{Z}_n aunque más cerca, no llegaron a demostrarlo. La inspiración vino del aire y de repente.
Problema nº3
En el triángulo acutángulo ABC; AH, AD y AM son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten de A estando H, D y M en el lado BC. Si las longitudes de AB, AC y MD son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento DH. Este problema de triángulos es finalmente de Trigonometría. Los cálculos empiezan por utilizar el Teorema del Seno, y acabar con el Teorema de Pitágoras. Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces: Como siempre digo; si algo no ha quedado claro o si queréis hacer algún comentario, podéis dejar una nota o bien enviarme un correo electrónico: jorgemorra@outlook.es. Un saludo. Jorge.