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Tema 4. Números enteros. Divisibilidad. Números primos. Congruencias.

La definición de los números enteros como el conjunto de las clases de equivalencia de una relación, resuelve el problema de la resolución de ecuaciones dentro del conjunto de los números naturales. Las ampliaciones o extensiones que tienen los números desde los naturales a los complejos, pueden verse como consecuencia de la resolución de algunas ecuaciones que en sus conjuntos originales no encontraban solución.

El primer caso lo tenemos delante al intentar resolver en \mathbb{N} la ecuación n+4=3. El conjunto de los números enteros surge, además de ser una consecuencia de la axiomatización de la Aritmética, (uno de los objetivos de Hilbert), como solución al problema de la resolución de cualquier ecuación con números naturales.

Esta extensión consigue ampliar la estructura de \mathbb{N} a una de grupo conmutativo con la adición, añadiendo incluso un elemento neutro (el cero). Además con la operación »producto» (ya definida sobre \mathbb{N}), y la demostración de algunas de sus propiedades, el conjunto de los enteros obtendrá una nueva estructura que será la de Dominio de Integridad.

La definición de divisibilidad permite introducirnos dentro del mundo de los números primos y del Teorema Fundamental de la Aritmética, así como de la demostración del Teorema de Euclides.

La parte más interesante del tema se encuentra al abordar la cantidad de números primos que existen. La conjetura de Riemann junto con la demostración de Euler de que la suma de los inversos de los primos es infinita nos acerca a una aproximación bastante real del cardinal de dicho conjunto.

El desarrollo del tema al completo puedes encontrarlo en amazon, en formato kindle o en formato papel como prefieras. También aquí puedes encontrar la relación de los temas que he publicado hasta ahora; y en el siguiente enlace puedes descargarte las primeras páginas:

Tema 4. Números enteros. Divisibilidad. Números primos. Congruencias.

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Tema 3. Técnicas de recuento. Combinatoria

La Combinatoria es una de las nuevas ramas de la Matemática que se encarga de estudiar los distintos agrupamientos que pueden realizarse con los elementos de un conjunto sin tener en cuenta el tipo, forma, color, etc, de los mismos.

Los comienzos de la Combinatoria datan del siglo XVII con los primeros estudios sobre probabilidades de Fermat y Pascal. Éste último es el primero en darse cuenta la relación que existe entre los números combinatorios y la fórmula del desarrollo de un binomio. Recordemos a este respecto que los elementos con los que se construye su famoso triángulo, no son más que una serie de números combinatorios.

Por otra parte en «Disertatio de Arte Combinatoria» de 1666, Leibnitz (1646-1716) introduce los primeros conceptos sobre permutaciones y combinaciones, dando incluso algunas de las primeras fórmulas reconocidas con números combinatorios.

Pero el principal precursor de esta rama de la Matemática fue Jackes Bernouilli (1654-1705), quien en su obra «Arte de la Conjetura, publicada a título póstumo, desarrolla toda una teoría general de permutaciones y combinaciones aplicadas principalmente a la teoría de juegos, pero que se extiende a otros muchos problemas de la época y posteriores. Es precisamente Bernouilli quien por primera vez introduce y demuestra el teorema binomial para exponentes enteros:(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k

Poco después fue Euler, quien en «Departitione Numerotum» realiza un estudio sobre las distintas formas en las que se puede escribir un entero positivo como suma de enteros positivos, e incide de nuevo en toda la teoría combinatoria que había hasta el momento. Este problema, que se llamó poco después una partición del natural n, y cada uno de los sumandos una parte; lo plantearemos en secciones posteriores de este tema; concretamente cuando estudiemos las distribuciones y los llenados.

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Tema 3. Técnicas de recuento. Combinatoria.

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Oposiciones Matemáticas. Práctico de la Comunidad de Madrid 2018.

Hola, muy buenas.

En esta entrada voy a resolver los ejercicios del práctico de las oposiciones de Matemáticas de la Comunidad de Madrid en 2018. Esta prueba constaba de cuatro ejercicios. El primero era de geometría y trigonometría, el segundo de funciones, el tercero de series de potencias y determinantes y el último de probabilidad.

Además en las siguientes entradas puedes encontrar otros prácticos también resueltos:

En el práctico de Madrid ninguno de los cuatro ejercicios era excepcionalmente difícil. La realidad es que con algunas pequeñas cuestiones que se salían de lo impartido en 2º de Bachillerato, una gran parte de los contenidos eran propios de dicho curso.

Ejercicio 1.

Sean C y C' dos circunferencias concéntricas de radios r y r' respectivamente, con r<r'. En la corona limitada por C y C' existen ocho circunferencias donde cada C_i es tangente a C_{i+1} para i=1,2\ldots 7, y C_8 es también tangente a C_1. Determine el valor de \frac{r'}{r}.

Ejercicio 2

Sean a y b dos números reales positivos. Demuéstrese que si a<b<e entonces a^b<b^a, y que si e<a<b entonces a^b>b^a.

Ejercicio 3

Calcule el límite en el infinito de la sucesión A_n, siendo A_n el siguiente determinante:

A_n=\left|\begin{array}{crrrrrr}1&-\frac{1}{2}&0&0&0&\ldots&0\\ x&1&-\frac{1}{3}&0&0&\ldots&0 \\ x^2&0&1&-\frac{1}{4}&0&\ldots&0 \\ x^3&0&0&1&-\frac{1}{5}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x^{n-2}&0&0&0&0&1&-\frac{1}{n}\\ x^{n-1}&0&0&0&0&0&1 \end{array}\right|

Ejercicio 4

Un juego de dados tiene las siguientes reglas: se tiran dos dados equilibrados, numerados del 1 al 6, hasta que sumen 4 o 7; si suma 4 gana el tirador, mientras que pierde si la suma es 7. Determine la probabilidad de ganar en dicho juego.

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Tema 11. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

En el edificio de las Matemáticas un concepto es el básico y precursor de todos los restantes, el de conjunto. Cualquier concepto, cualquier teorema, cualquier definición se basa en la premisa de conocer correctamente el concepto de conjunto. Es más, sabemos que todos los resultados o proposiciones con los que podamos trabajar en Matemáticas pueden definirse formalmente a partir de los conjuntos. Esto es, por supuesto, inviable desde el punto de vista práctico pues la combinación de definiciones, axiomas y proposiciones más sencillas nos hacen llegar a teoremas demasiado complicados como para que podamos volver a los fundamentos de una manera inmediata.

George Cantor (1845-1918) definió en el siglo XIX un conjunto como »cualquier colección, considerada como un todo, de objetos definidos y separados en nuestra intuición o en nuestro pensamiento». Esta definición, aceptada originalmente por intuitiva por la comunidad matemática tuvo en el fondo cierta controversia; si bien es cierto también, que los resultados obtenidos por Cantor no fueron invalidados cuando se trabajó con una definición más formal de conjunto.

El hecho fue que, considerar un conjunto como una familia de elementos que verifiquen una propiedad concreta, que por la propia definición de Cantor, podríamos considerar válido, condujo a diferentes paradojas.

Partamos del conjunto de todos los conjuntos, X, que es intuitivamente aceptable, pues no parece complicado pensar en un conjunto que englobe todos los conjuntos. Pero aquí ya llegamos a una contradicción, pues el mismo Cantor ya había demostrado que la potencia de un conjunto, es decir, el conjunto de sus partes tenía un cardinal estrictamente mayor que el propio conjunto, luego
card(X)<card(\mathcal{P}(X))
Esto implicaba necesariamente que X\subsetneq \mathcal{P}(X) lo que nos lleva a contradicción puesto que X era originalmente el conjunto de todos los conjuntos.

La paradoja más conocida fue la de Bertrand Russell (1872-1970), conocida como la Paradoja del Barbero. El planteamiento es muy sencillo: en un pueblo hay un barbero que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos; la pregunta que nos hacemos es: ¿quién afeita al barbero?.

Es cierto que puede parecer más un juego de palabras que proviene del mismo lenguaje, pero si ahondamos en la abstracción que percibimos detrás, llegamos a que en el fondo el problema se encuentra en la definición que tenemos de conjunto.

En primer lugar, la definición de Cantor adolecía de algo necesario en Matemáticas, es decir, de formalidad. Se creía que se podía considerar un conjunto como una familia de elementos que cumpliera una condición previa.
C=\{x\in X: \mathcal{R}(x) \text{ es cierta }\}
Sin embargo Russell consideró un conjunto A con una relación peculiar, la de no-pertenencia:
A=\{x\in X: x\notin x\}
Aparentemente no se estaba incurriendo en ninguna contradicción puesto que no se había hecho otra cosa más que definir una condición sobre unos elementos x de otro conjunto X.

Ahora nos cuestionamos: ¿A es parte de A? es decir, ¿A\in A?

La respuesta queda lejos de ser trivial, y de hecho es una de las paradojas más conocidas de las matemáticas.

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Tema 11. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

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Tema 10. Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Evolución histórica y problemas que resuelve cada una.

El concepto de número es posiblemente el concepto más importante que podemos encontrarnos en todo el edificio de las matemáticas. Se forma a través de un prolongado desarrollo histórico, a partir de cuando el hombre es capaz de diferenciar una parte de varias; y concluye cuando las necesidades internas de la propia ciencia necesita de su concreción. El surgimiento y la formación de este concepto tuvieron lugar a la par del nacimiento y desarrollo de las matemáticas.

Al comienzo se trataba únicamente de la necesidad de poder contar y diferenciar objetos de forma abstracta. En muchas culturas la introducción de los primeros números no se hizo abstrayendo el concepto de lo que querían diferenciar sino que en la propia palabra o expresión se incluía lo que se contaba; así, tres árboles tenía una expresión distinta que tres animales; puesto que posiblemente para el hombre primitivo no era necesario saber contar para establecer si un cierto conjunto estaba completo.

Es de rigor afirmar que independientemente de los comienzos, la necesidad de contar objetos conjunto al surgimiento del concepto abstracto de número natural. Las primeras formas nacen básicamente por la necesidad de transmitir información acerca de la cantidad de elementos de un conjunto concreto; utilizando en algunos casos partes del cuerpo humano, palos, piedras, muescas, nudos en cuerdas, etc. A este respecto se han encontrado huesos en Europa con marcas que bien pudieran ser formas de registrar un calendario lunar. Sin embargo hasta que no se introduce la escritura no encontramos los primeros vestigios de los primeros sistemas de numeración que abstraían el concepto de número natural.

El paso siguiente de la abstracción es la forma de escribir el número, y para ello comienzan a surgir los primeros sistemas de numeración. El proceso de formación del que utilizamos en la actualidad ha sido el final de una serie muy entremezclada de sistemas de numeración diversos y con distintas posibilidades. En épocas muy cercanas en el tiempo podemos encontrarnos diferentes formas de denotar los números y las operaciones que podían hacer entre ellos.

A lo largo de la historia los pueblos han ido adoptando el concepto de número natural y han trabajado con él de distintas formas. La misma ciencia es la que a partir del siglo XV comienza a necesitar ampliar el concepto de natural a un nuevo conjunto, el de los enteros, al introducir dos nuevas ideas: el cero y los negativos. Posteriormente fueron necesarias nuevas ampliaciones por la necesidad de las propias matemáticas. Los enteros al resolver ecuaciones que en los números naturales no tenían solución; los racionales como cuerpo de fracciones del dominio de integridad de los enteros; los reales como único cuerpo ordenado, arquimediano y completo que incluye a los racionales; los complejos como extensión algebraica de los reales resolviendo aquellas ecuaciones con raíces negativas; y por último los cuaterniones como necesarios para interpretar y operar con magnitudes físicas que requirieran de varias coordenadas.

A comienzos del siglo XIX, como consecuencia de los grandes éxitos del cálculo diferencial, muchos matemáticos pensaron que era necesario argumentar las bases del análisis, es decir, la teoría de los límites. El número natural se concebía como un conjunto finito de unidades, el racional, como una razón de ciertas magnitudes, el real, como la longitud de un segmento en la recta y el complejo como un punto en el plano. Sí estaba claro que cada nuevo conjunto de números tenía que ser una extensión algebraica del anterior, lo que implicaba que las operaciones definidas tenían que conservarse de unos a otros.

Desde esta perspectiva se formuló el llamado »principio de permanencia de las leyes formales del cálculo». Esta máxima indicaba que cada vez que construyera un nuevo sistema numérico, más amplio que el inicial, las operaciones debían generalizarse de modo que se conservaran las leyes de las operaciones que ya tenían los números.

Esta idea, junto con la opinión generalizada de que la construcción de las matemáticas debía pasar por el método axiomático basado en la teoría de conjuntos, indujo a los matemáticos de finales del XIX a definir nuevos sistemas numéricos utilizando la noción de »extensión de un sistema algebraico». Para este proceso se entendía que los axiomas no eran más que las relaciones y operaciones algebraicas satisfechas por un conjunto en unas determinadas condiciones. Así por ejemplo se definen los naturales, o incluso los reales.

El principio de permanencia podría formularse de la siguiente forma:
Definición: Principio de permanencia
El sistema algebraico A' se denomina extensión del sistema algebraico A si el conjunto fundamental de A es un subconjunto del conjunto fundamental de A', siempre que exista una aplicación biyectiva del conjunto de las relaciones del sistema A' en el conjunto de las relaciones del sistema A y, si para cualquier juego de elementos del sistema A, en cuyo caso de cumple alguna relación de este sistema, se verifica la correspondiente relación del sistema A'.

En esencia este principio viene a decir que en toda ampliación del concepto de número deben conservarse las leyes formales (conmutativa, asociativa,…) de las operaciones aritméticas.

El desarrollo del tema al completo puedes encontrarlo en amazon, en formato kindle o en formato papel como prefieras. También aquí puedes encontrar la relación de los temas que he publicado hasta ahora; y en el siguiente enlace puedes descargarte las primeras páginas:

Tema 10. Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Evolución histórica y problemas que resuelve cada una.

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Oposiciones Matemáticas. Práctico de Castilla y León (Burgos 2018).

Hola, muy buenas.

En esta entrada encontraréis los vídeos en los que resuelvo los problemas de la parte práctica de las oposiciones de Matemáticas de la comunidad de Castilla y León; concretamente del año 2018.

En su momento me llamaron la atención porque oí que la dificultad del mismo había sido excesiva. Sin embargo hasta este mes de octubre no me he decidido finalmente a resolverlos; después a hacer los vídeos, editarlos y subirlos al canal que tengo en YouTube.

Es verdad que si los comparamos los problemas con los de Madrid o de Castilla la Mancha, también del año 2018, ganan abrumadoramente, porque de media son claramente más difíciles. Dicho esto, también creo que aunque es literalmente imposible hacerlos todos en el tiempo que os dan, no es complicado hacer dos o con algo de suerte incluso tres. Es verdad también que centrarse en los más fáciles no es factible puesto que en el examen desconoces cuáles son asequibles y cuáles no. Podéis descargaros el práctico aquí.

Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

Problema 1

El primer problema es en el fondo sencillo. Su dificultad se encuentra esencialmente en el planteamiento.

Hallar el número de n-uplas, (a_1,a_2,...,a_n) de componentes a_i, números enteros positivos que satisfacen las tres ecuaciones siguientes:

\sum_{i=1}^n a_i =26,\;\; \sum_{i=1}^n a_i^2=72,\;\; \sum _{i=1}^n a_i^3=224

La idea consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones se encuentran restringidas a algunos números enteros.

Problema 2

El segundo problema es, en mi opinión, el más complicado de los cinco. Nos dan una función continua y positiva definida sobre el intervalo unidad; y después nos piden que demostremos que existe un punto en el que f(x)=f(x+f(x)). Bueno, el problema no dice exactamente esto, pero sí es su esencia.

Sea f:[0,1]\rightarrow [0,\infty] una función continua tal que f(0)=f(1)=0 y \forall x\in (0,1), f(x)>0. Demostrar que existe un cuadrado con dos vértices en el intervalo (0,1) del eje de abscisas y los otros dos en la gráfica de f.

Problema 3

Aquí se nos pide que realicemos el producto infinito de una sucesión recurrente. Cuando tengamos que realizar la suma de una serie infinita o un producto infinito de una sucesión, tendremos que recurrir en la mayoría de las ocasiones a conocimientos ajenos a lo que nos están pidiendo. Curiosamente en este problema no se da el caso. Podremos resolverlo recordando el producto de otra sucesión muy conocida, que es la de Viète.

Dada la sucesión (x_n)_{n\in \mathbb{N}} definida recurrentemente por x_1=\sqrt{2} y </em>\forall n\in \mathbb{N}: x_{n+1}=\sqrt{\frac{2x_n}{1+x_n}} Calcular: \prod_{n=1}^\infty x_n

Problema 4

Los problemas 4 y 5 forman parte del mismo ejercicio, lo que significa que puntuando sobre 10, cada uno de ellos vale 1,25. El 4º es sobre un lugar geométrico, en el que se utilizan conceptos de geometría de la circunferencia y del triángulo. No es nada difícil, podéis comprobarlo vosotros mismos.

Sea \mathcal{C} una circunferencia y en ella dos puntos distintos, no diametralmente opuestos A y B. Describir el lugar geométrico del ortocentro de los triángulos ABC, siendo C un punto de \mathcal{C} distinto de A y B.

Problema 5

Este último problema forma parte junto con el 4º, del ejercicio 4. También vale 1,25 puntos y es, después del segundo, de los más largos. Es un problema de probabilidad y se trata de valorar cuánto puede valer un cierto a positivo para que se cumplan una serie de condiciones. Nos enfrentamos a un planteamiento no muy complicado que sí tiene diferentes casos y unas cuantas operaciones relativamente sencillas. Al final, lo cicho: algo largo.

Se eligen aleatoriamente los números b,c\in[0,a]. La probabilidad de que la distancia en el plano complejo de las raíces del polinomio z^2+bz+c no sea mayor que 1, no es menor que 0,25, hallar a.

No existen fórmulas para aprender a resolver problemas, salvo haber resuelto muchos. Mi recomendación es que intentéis el práctico vosotros mismos, sin ver ninguno de los vídeos; y solo después de haber dedicado bastante tiempo a cada problema visualizar como los resuelvo yo.

Por último deciros que podéis hacerme llegar cualquier comentario, bien a través del blog, bien a través de mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Jorge Morra

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Temario de las Oposiciones de Matemáticas

En esta entrada quiero presentaros los temas que estoy publicando en Amazon. El objetivo, como ya dije en el anterior post, es que cada cierto tiempo tengáis la posibilidad de adquirirlo bien descargándolo online o en formato papel.

El formato online, que básicamente es PDF, no puede leerse en un e-reader porque no es posible la transformación de un formato a otro. Sin embargo sí se puede visualizar en cualquier ordenador, móvil o tablet, independientemente del sistema operativo. No importa que tengáis Windows o IOS, ni tampoco que vuestro smartphone o tablet trabaje con Android o tengáis un iPad o un iPhone; para todas estas posibilidades, Amazon permite la descarga gratuita de su aplicación »Kindle»; y con ésta puedes visualizar sin problema cualquier tema.

Aunque es cierto que en Amazon tenéis la posibilidad de descargaros una muestra del cuadernillo que queráis adquirir; éste se limita a las portadas porque solamente permite el 10% de todo el tema. La longitud de éstos es un poco mayor de las veinte páginas, y el 10% de 20 es 2. Esta es la razón por la que he decidido introducir en esta entrada las primeras páginas de cada cuadernillo. Podéis descargarlas en los siguientes enlaces:

Por otra parte, si queréis encontrar algo más sobre temas o sobre prácticos podéis hacerlo aquí.

Por último deciros que podéis hacerme cualquier observación, bien a través del blog o bien directamente a mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Jorge Morra

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¿Sabes cómo prepararte las oposiciones de Matemáticas?

Has pensado presentarte a las oposiciones de Matemáticas y ni siquiera sabes cómo empezar, ni qué temario vas a utilizar. Es lógico, no te preocupes, si sigues leyendo este post es posible que resuelvas algunas de tus dudas.

No quiero asustarte, pero antes de nada has de saber que las oposiciones de Matemáticas no son para nada triviales, que vas a tener que dedicarles mucho tiempo y mucho estudio si quieres aprobarlas; pero que no son imposibles.

Una pequeña historia: la mía.

Cuando decidí, hace más de dos décadas, presentarme a ellas, no creí que aprobarlas me podía resultar difícil. Había estudiado Matemática Fundamental en la Universidad Complutense de Madrid y todos o prácticamente todos mis compañeros de promoción habían decidido continuar su formación con el doctorado. Recuerdo a este respecto cierta conversación con un conocido un año antes de acabar la licenciatura, cuando yo estaba en 4º y él en 5º. Le pregunté que qué quería hacer después de acabar la carrera. Me contestó, sin levantar la mirada de la partida de ajedrez que estábamos jugando: —Una tesis—. Yo sí levanté la mirada de las piezas y repetí, —¿una tesis?—. El tono le hizo, ahora sí, dejar por un momento de pensar en su siguiente movimiento y me dijo: —¿Y qué quieres hacer después de acabar Fundamentales?

En aquel momento pensé que tal vez llevara razón. Algunas especialidades tales como «Computación» o «Investigación Operativa» estaban más diseñadas para el mercado laboral; y otras como «Metodología» para la docencia; así que parecía lógico continuar con el doctorado. Sin embargo un año más tarde no opté por esta opción, sino que decidí salir al mercado laboral y al servicio militar, por aquel entonces obligatorio.

Después de la “mili”, el trabajo fuera de la docencia no estaba complicado; pero en plena crisis económica y teniendo en cuenta que la demanda de profesores de Matemáticas había aumentado en los últimos años, contemple seriamente la posibilidad de dedicarme a la enseñanza; y eso fue lo que hice.

No me daba miedo estudiar, pero “La Blanca» (así llamábamos a la cartilla militar en aquellos años; no sé si ahora se sigue llamando igual), no la obtuve hasta finales del mes de febrero y las pruebas se celebrarían a principios de julio. Apenas tuve tiempo para concienciarme de todo lo que conlleva una oposición y no me presenté con la confianza necesaria para aprobar. Obviamente suspendí.

Lo peor no fue suspender, lo peor fue que cambiaron el temario y los tipos de pruebas para acceder a la plaza. Durante tres años consecutivos el sistema de examen había sido la típica encerrona, eligiendo un tema de entre cuatro al azar. Ahora con el cambio teníamos una primera prueba en la que debíamos desarrollar un tema de entre dos, después un tema de LOGSE (para los más jóvenes: Ley Orgánica General del Sistema Educativo), y por último un práctico. Si pasabas esta primera parte entonces llegabas a la segunda que era propiamente la encerrona, pero ahora eligiendo también un tema de entre dos.

¿Alguien ha dicho que las oposiciones son fáciles?

En un primer momento no sentí que podía haber excesivas dificultades para obtener plaza porque tenía conocimientos de Matemáticas de sobra, de hecho nunca tuve  “problemas” con los problemas (valga la redundancia); pero reconozco que sí los tuve con los temas.

Compré un par de libros de problemas de una editorial para ponerme al día con los ejercicios que podía encontrarme en el práctico; y creí que sería una buena idea adquirir también los temas, aunque para la preparación no asistiera a una academia ni a ningún preparador, sino que corriera por mi cuenta. Me fui una tarde a una librería especializada del centro de Madrid para echar un vistazo al temario y adquirirlo. Pero en el último momento lo deseché. No me convenció. Era una verdadera calamidad.

Ojeándolos me encontré con obviedades, con un mismo desarrollo hecho de retales, de fotocopias de libros pegadas y vueltas a fotocopiar. Tan desastrosos que en una misma página podían distinguirse dos párrafos con tipos de letras distintos, con teoremas o proposiciones mal demostrados…, y lo peor de todo, la sensación de mal estructurado. Llegué a pensar que aquello no podía tener Copyright, porque era poco más que una vulgar copia; pero la verdad es que lo vendían. En resumidas cuentas, en poco más de media hora había cambiado de opinión y había decidido que tenía que prepararlos yo mismo.

Todo iba a ser “coser y cantar”. Mis temas me los iba a preparar yo y una de las plazas del 94 iba a ser mía. Nada más lejos de la realidad. Fue imposible prepararme en un año setenta y un temas de oposición (creo que no llegué ni a cuarenta); y la suerte de las bolas cayó de lado (pero del otro lado). Así que suspendí aquel año…, y suspendí al siguiente…, y suspendí al siguiente… Pero no penséis que porque mi temario no era bueno, sino porque en la mayoría de las convocatorias a las que me presenté no me salió ninguno de los preparados; y en las que sí lo hizo, aprobé los exámenes pero me quedé en las puertas.

¿Alguien ha dicho que las oposiciones son justas?

Recuerdo una conversación con un buen amigo en aquel verano de 2000. Él también opositaba aunque al Cuerpo de Letrados de la Seguridad Social, nada más y nada menos; y coincidíamos en que las pruebas a las que nos teníamos que someter no eran justas. Pensábamos que independientemente de la dureza o de la cantidad de temas a estudiar, no era posible que alguien que se hubiera preparado un único tema de cada bloque correspondiente, pudiera aprobar, y alguien que lo hubiera hecho con todos menos con tres pudiera suspender.

Le trasladé además mi opinión sobre la calidad de algunos de los temarios que se comercializaban; y que esa era la razón por la que había tenido que elaborar mis propios temas. Me dijo que porqué no me planteaba redactarlos, pasarlos a ordenador y publicarlos. La idea se me quedó grabada, si bien sabía que necesitaba reescribir al menos dos mil páginas de Matemáticas y luego encontrar una editorial que se arriesgara y las publicara. En aquel momento resultaba inviable, tanto por una razón como por la otra.

Un cuadernillo = Un tema + ¿Cómo preparar este tema?

Ya han pasado casi veinte años desde entonces. Ahora sí puedo encontrar editoriales que publiquen lo que escribo, ahora puedo publicar online, en PDF, o en otros formatos. Y aquí estamos.

Voy a intentar llevar a cabo la idea original con algunas modificaciones. Me han preguntado numerosos opositores, a través del canal de YouTube, del blog o a través de mi correo electrónico, si era preparador. A todos les he contestado que no, que no sabría qué precio fijar, y que además no tengo sitio físico para ello. También es verdad que, descartándolo para este curso escolar 2019/20, estoy barajando la posibilidad de hacerlo online para convocatorias posteriores.

La intención que tengo ahora mismo es la de elaborar cada tema de forma independiente, en un cuadernillo propio. Dicho cuadernillo podrá adquirirse o bien online, en formato PDF, o bien en formato papel.

Lo más interesante es que en dicho cuadernillo os encontraréis una sección denominada: “¿Cómo estudiar este tema?”. En ella daré una serie de indicaciones sobre qué saber de cada tema, sobre cómo estudiarlo, y en general sobre la cantidad de contenidos que deberíais dominar. Obviamente una sección de este tipo no sustituye a un preparador, pero a mi modo de ver ayuda bastante. Creo que si os ajustáis a lo que os propongo, lo único que tendríais que hacer es estudiarlo; la parte de preparación ya os la encontráis hecha.

Los cuadernos o cuadernillos podréis adquirirlos en Amazon, al menos por ahora. El formato PDF es para su lectura en móviles, tabletas, u ordenadores; no se pueden visualizar en eReaders. El paso de PDF a ePub o a otro formato de lectura electrónica no es tan sencillo con Latex; en general se desencuadra todo bastante. Además de en PDF tengo intención de publicarlos también en papel, por si preferís este tipo de formato.

Por otra parte, en las siguientes entradas de este blog encontraréis más información sobre algunos temas concretos; o sobre prácticos resueltos de distintas convocatorias y comunidades autónomas:

Quiero finalizar diciendo para todos los futuros lectores que adquieran alguno de los temas, que si queréis hacer cualquier tipo de comentario podéis hacerlo bien a través del blog o directamente a mi correo electrónico: jorgemorra@outlook.es.

Un saludo y mucha suerte a todos los que os presentáis a las oposiciones.

Jorge Morra.

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Oposiciones Matemáticas. Extremadura. Badajoz (2000)

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En esta entrada voy a resolver el ejercicio práctico de las oposiciones de Matemáticas en la Comunidad de Extremadura, en Badajoz, en el año 2000.

Si queréis ver otras entradas donde también resuelvo otros prácticos de otras comunidades podéis encontrarlas en los enlaces:

También podéis encontrar temas desarrollados en los enlaces:

Este práctico constaba de cuatro problemas o ejercicios. Ninguno de ellos especialmente complicado, y con tiempo os daréis cuenta que podéis resolverlos sin excesivas complicaciones.

Problema 1

El primer de ellos es un problema de espacios duales.

Sea E el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos y sea \{w_1,w_2,w_3\} la base dual de la base canónica \{1,x,x^2\}.

Consideramos la base del espacio dual E^* definida por las aplicaciones \overline{w_1}, \overline{w_2} y \overline{w_3}:

    \[\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1p(x)dx\]

    \[\overline{w}_1(p(x)):=\int_0^1x\cdot p(x)dx\]

    \[\overline{w}_3(p(x)):=\int_0^1x^2\cdot p(x)dx\]

(a) Halla las coordenadas de \overline{w}_1, \overline{w}_2 y \overline{w}_3 en la base \{w_1,w_2,w_3\}.

(b) Determina la base de E para la que \{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\overline{w}_3\} es su base dual.

Su resolución pasa por conocer conceptos importantes en Matemáticas, como es el de espacio dual. El conjunto de las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre el cuerpo en el que está construido tiene estructura a su vez de espacio vectorial; y es lo que se denomina el «espacio dual» asociado al espacio vectorial original. La demostración de que verifica las propiedades de e.v. no es complicada e invito a que lo intentéis vosotros mismos sin necesidad de consultar ningún libro de Algebra Lineal. Es curioso a su vez, que la dimensión que tiene dicho espacio coincide, en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita, con la dimensión de su espacio original. Sin embargo en el caso de e.v. de dimensión infinita, este hecho no es cierto.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Espacios Duales

Por otra parte, aunque en el problema solo se incide sobre la parte algebraica, siempre se puede considerar la parte topológica. En este caso, cuando trabajemos con espacios vectoriales topológicos, es decir, espacios vectoriales en los que asociamos una topología (dada habitualmente por una norma o una métrica), bien espacios de Banach, o espacios de Hilbert; los espacios duales asociados también mantienen la misma dimensión e incluso topologías análogas siempre que ésta sea finita; y distintas siempre que las dimensiones sean infinitas. Los e.v.t. se estudian principalmente en los textos de Análisis Funcional.

Problema 2

El segundo problema de este examen práctico es de Geometría en el plano. Consiste en calcular el área de un polígono definido a partir de otro del cual ya conocemos su superficie. Una vez que hayamos hecho el dibujo, que por otra parte no es muy difícil, el procedimiento para resolver el problema no es nada complicado. Se trata de «dividir» la superficie a calcular en triángulos y calcular el área de dichos triángulos. Si se siguen los pasos adecuados se llega al resultado sin excesiva complicación.

Sea un cuadrilátero convexo de vértices ABCD y superficie Sm^2. Se prolonga el lado AB por el punto B hasta un punto M de forma que la longitud de BM se igual a la mitad de la longitud del lado AB. Análogamente se prolonga el lado BC por el punto C hasta el punto N de forma que CN=\frac{1}{2}BC. El lado CD se polonga por D hasta P tal que DP=\frac{1}{2}CD y por ultimo el lado DA se prolonga por A hasta Q, tal que AQ=\frac{1}{2}DA.
Halla la superficie del cuadrilátero de vértices MNPQ.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 1: Geometría

Como en todos los ejercicios que resuelvo en los vídeos, mi recomendación es que intentéis hacerlos vosotros antes de ver la resolución. A los problemas, y esto es algo que ya me habéis oído decir en numerosas ocasiones, hay que dedicarles mucho tiempo; hay que empaparse de ellos porque es la única forma de aprender a hacerlos.

Problema 3

En el tercer problema nos piden que calculemos el volumen de un sólido definido a partir de los tres planos coordenados y del movimiento de una recta que se apoya en otras dos rectas. Es una superficie reglada. Es posiblemente el ejercicio más difícil de este práctico.

Calcula el volumen del sólido limitado por los planos cartesianos y por la superficie reglada engendrada por el movimiento de una recta que se conserva paralela al plano XOZ, apoyándose en las rectas r_1:{x=0,z=2} y r_2:{z=0 \text{ y pasa por los puntos }A(3,0,0) \text{ y } B(0,4,0)}

Oposiciones Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 3: Volumen de una superficie reglada.

Las superficies regladas son aquellas superficies que se definen por el movimiento de una recta que se apoya en dos curvas. Los cilindros de revolución son ejemplos de superficies regladas, los conos de revolución también. Pero no solamente aquellas que puedan provenir de la revolución de una recta alrededor de un eje son superficies regladas. Imaginemos un cilindro en el que las bases, (la «tapa» inferior y la superior) fueran dos elipses, es decir, dos superficies limitadas por dos elipses. En este caso no estamos con una superficie de revolución pero sí con una superficie reglada.

La dificultad de este problema es saber representar correctamente el sólido del cual queremos calcular su volumen. Después, tendremos que resolver una integral triple, de la que lo más difícil será calcular los límites de integración.

Problema 4

El cuarto y último problema es de probabilidad. Es un sencillo ejercicio de diagramas en árbol.

De una urna que contiene a bolas blancas y b bolas negras, dos jugadores hacen extracciones alternativas reemplazando cada uno su bola antes de la siguiente extracción. Gana el jugador que consigue sacar primero una bola blanca.
Calcula la probabilidad de ganar que tiene cada uno de los jugadores.

Oposiciones Matemáticas Extremadura. Badajoz (2000). Ejercicio 4: Probabilidad

La mayor complicación que os encontraréis aquí es que tendréis que efectuar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. El desarrollo de las probabilidades hasta llegar a las sumas infinitas es sencillo. Aplicando Laplace y el sentido común se llega sin dificultad al resultado.

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Álgebra Lineal I. UNED. Febrero 2016. (B)

En esta entrada voy a resolver el examen de la UNED de la asignatura Álgebra Lineal I; concretamente de febrero de 2016, y en este caso de la segunda semana. En Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números podéis encontrar otro post en el que resuelvo el examen de esta asignatura de febrero de 2018.

La asignatura de Álgebra Lineal está dividida en dos. Una primera, del primer cuatrimestre, llamada Álgebra Lineal I, y una segunda del segundo cuatrimestre llamada Álgebra Lineal II. Como veis los matemáticos no nos esforzamos mucho en caracterizar las asignaturas por nombres; de hecho recuerdo que en mi carrera tuve Geometría I, Geometría II, Geometría III, Geometría IV y Geometría V; ¿para qué cambiar, no?

Pero bueno…, bromas aparte, es cierto que los contenidos que se imparten y estudian en Álgebra Lineal I, no son los mismos que en Álgebra Lineal II, aunque es verdad que la base son los espacios vectoriales y las aplicaciones entre dichos espacios, es decir, los homomorfismos.

El examen podéis descargarlo aquí, y cómo podéis observar consta de tres ejercicios prácticos y una pregunta teórica, en la que hay que definir algunos conceptos.

La pregunta teórica se resuelve estudiando, sí, estudiando. Puede parecer de perogrullo, pero la teoría hay que estudiarla para poder entender los conceptos, y hay que dedicarle mucho tiempo porque aunque pueda parecer una tontería, cuando entiendes verdaderamente un concepto los problemas te parecen nimiedades.

Ejercicio 1

Los restantes tres ejercicios son más difíciles. El primero es un ejercicio teórico, un posible corolario que podríamos encontrarnos en un texto cualquiera de Álgebra Lineal.

Es una demostración en toda regla. Se nos plantean unas condiciones iniciales y nos piden que demostremos unas condiciones finales. Básicamente es un «si y sólo si», o cómo también podemos encontrarnos «una condición necesaria y suficiente» de que algo ocurra para que algo ocurra. Es posible que éste sea el más díficil para todos aquellos que empiezan en el grado porque al principio no es sencillo entender qué es lo que me están pidiendo ni cómo me lo están pidiendo.

No puedo dar muchas recomendaciones sobre cómo se resuelven este tipo de problemas. Nos están pidiendo una demostración, y debemos hacerla de la misma forma y con los mismos argumentos que podemos encontramos en un texto de Álgebra Lineal. Nos va a parecer muy difícil en un primer momento porque no estamos acostumbrados a ello, pero con el tiempo y viendo muchas demostraciones de teoremas, lemas y corolarios acabaremos aprendiendo a hacerlo y a conocer diferentes métodos para lograrlo.

Ejercicio 2

El segundo es un problema práctico. Se trata de trabajar con las matrices 2×2 y con dos subespacios suyos. Su resolución no es difícil si observamos que podemos «trasladarnos» al espacio vectorial \mathbb{K}^4 y trabajar en dicho espacio.

Al movernos al espacio \mathbb{K}^4, estamos en un lugar más asequible y más conocido. Podemos hacerlo por la isomorfía que existe entre ambos, y curiosamente podemos hacerlo enumerando y ordenando las coordenadas de las matrices y las coordenadas de los vectores de \mathbb{K}^4, aunque desconozcamos cuál es el isomorfismo que les hace esencialmente idénticos.

Ejercicio 3

El tercer y último ejercicio es otro problema, concretamente de aplicaciones lineales, o como prefiero llamarlas, de homomorfismos.

Aunque en todos o en la inmensa mayoría de los textos de Álgebra Lineal los conceptos de aplicación lineal y homomorfismo son idénticos, a mí me gusta diferenciarlos. Yo defino un homomorfismo una aplicación entre espacios vectoriales que conserva la estructura; y defino una aplicación lineal como una aplicación entre un espacio vectorial y el cuerpo en el que se contruye. Se puede considerar a un cuerpo como un espacio vectorial; y es por ello que no estaríamos hablando de conceptos distintos (el de aplicación lineal y homomorfismo); pero cuando la aplicación es sobre \mathbb{K}, la idea que subyace detrás no es la de conservar la estructura. Recordad a este respecto los espacios duales de los espacios vectoriales; que no son más que los espacios de las aplicaciones lineales sobre el cuerpo \mathbb{K} del espacio vectorial.

De todas formas el nombre que le pongamos es, obviamente, lo de menos. Cuando en Matemáticas se estudia un conjunto, y por tanto se estudia su estructura con operaciones internas o externas que contenga, se estudian después las aplicaciones que conservan dicha estructura. Los homomorfismos son dichas aplicaciones.